В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

2.5, подлетает слева мик­рочастица, с которой связана плотность потока вероятности ji (~па­дающий~ на барьер поток вероятности) . Прошедший сквозь барьерпоток jt и отраженный поток вероятности jr . По закону сохранениявероятности ji = jtjr . Мы можем теперь определить безразмерные+коэффициент прохождения микрочастицы через потенциальный барьерпо формуле Т= jtfji и коэффициент отражения от барьера R = jrfji.Очевидно, что RТ = 1.

Эти выражения и раскрывают физический+смысл коэффициентов Т иR.Мы используем плотность потока вероятности(2.43)в п.11. 7.5прирассмотрении принципов функционирования сверхпроводящих контак-Гл.422.Мате.матичес/Сuй аппарат ~евантовой механи/Ситов, реализующих кубиты в современных квантовых компьютерах насверхпроводниках.Квантовое туннелирование играет важную роль во многих физиче­ских системах и устройствах. Туннелированне а-частиц из неустойчи­вых ядер вызывает радиактивный распад элементов (а-распад).

В клас­сическихкомпьютерах,туннелированиеэлектроновчерезизолирую­щие слои приводит к утечке электрического тока и нагреву компонен­тов компьютера и устанавливает нижний предел(1-3 нм)на размеркомпьютерных чипов.При приложении достаточно сильного постоянного электрическогополя к полупроводнику,поверхностный потенциальный барьер дляэлектрона становится достаточно тонким для осуществления туннели­рования электрона из объема полупроводника наружу, что приводитк появлению тока,экспоненциальносильно зависящего от напряжен­ности поля (холодная электронная эмиссия).

Эта зависимость являетсяследствием экспоненциальной зависимости коэффициента прохожде­ния потенциального барьера от его толщины, формула(2.40).Эффектхолодной электронной эмиссии используется в электронных сканирую­щих микроскопах и в устройствах флэш-памяти.Потенциальный барьер для электронов создается при разделениидвухпроводниковилисверхпроводниковтонкимслоем · изолятора.Эти, так называемые туннельные (или джозефсоновские) контактынаходят применение как чувствительные магнитометры и вольтметры.В последнее время джозефсонавекие сверхпроводящие контакты былииспользованы в качестве квантовых битов (кубитов) для созданияаналогового квантового компьютера, содержащего более сотни кубитовв рабочем регистре (см. раздел 11.7.5).Глава3АТОМ ВОДОРОДА.

ПРИБЛИЖЕНИЕДВУХУРОВНЕВОГО АТОМА. КВАНТОВЫЙГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОРВ настоящей главе рассматриваются две квантовые системы, урав­нение Шредингера для которых допускает аналитической решение.Первой из них является атом водорода (Шредингер,1926г.). Элек­трон в атоме водорода движется в трехмерной центральносимметрич­ной потенциальной яме и имеет дискретный энергетический спектр.J{искретность энергетического спектра характерна и для других, бо­лее сложных атомов.

Неэквидистантность уровней энергии в атомныхспе!tтрах позволяет выделить два энергетических уровня (приближениедвухуровневого атома). J{вухуровневые атомы используются в качествеквантовых битов (кубитов) в прототипах квантовых компьютеров и влазерах для генерации когерентного излучения, при переходах междудвумя уровнями энергии.Вторая система - квантовый гармонический осциллятор, которыйинтересен тем, что широко встречается в физике (колебания атомовв молекулах и твердых телах, моды электромагнитного поля в резона­торе).

Спектр гармонического осциллятора эквидистантный и содержитбесконечное число уровней. В этом отношении гармонический осцил­лятор является прямой противоположностью двухуровневому атому.3.1.Уравнение Шредингера для атома водорода и егорешениеАтом водорода состоит из положительно заряженного ядра-прото­на и отрицательно заряженного электрона .

Ядро имеет размер порядкаl0- 13 см, а размер атома -около l0- 8 см. Поскольку масса ядрабольше массы электрона приблизительно в 103 раз, то ядро, с большойточностью, можно считать неподвижным.Гамильтоннан электрона имеет вид~~2рН= -2 те+ U(r),Гл.44здесь р3. Атомводорода. Квантовый гармонический осциллятор2оператор импульса, -е - заряд электрона, U(r) = -~ ---потенциальная энергия электрона, +езаряд ядра .п оскольку~rр= -запишем оператор Гамильтона в следующем виде-ih \7~Н=n,2~- 2--~ + U(r).(3.1)теВведем сферические координаты стандартным образомх =где В-у=rsinBcosrp,угол между осьюпроекцией вектораrzrsinBsinrp,и радиус-вектором(3.2)z = rcosB,r,аrp -угол, междуна плоскость ху и осью х.Лапласиан, записанный в сферических координатах (рис .3.1), име­ет вид(3.3)где~r =l:2; (r 2:r) •д ( .д)~о.'Р =-:---е де sшВдеSШО~ r ~ +оо,О ~()~1r,2lд+ -.-2---2'SШ е дrрО ~(3.4)r.p ~ 21r.zхРис.3.1.Сферические координаты электрона в атоме водорода.

Ядро находитсяв начале координат,r -радиус-вектор электронаСтационарное уравнение ШредингераH'lj;(r, В, rp) = E'lj;(r, В, rp)с учетом~ ддrr(3.1)-(3.4)записывается в виде(r ддф)+ ~~о.'Р'Ф(r, В, rp) + 2 ~е [Е- U(r)]'Ф(r, В, rp) =О.rrn2(3 .5)(3.6)3.1.Уравнение Шредингера для атома водорода и его решение45Уравнение (3.6), описывающее движение частицы в произвольнамцентрально-симметричном потенциальном поле И= U(r), допускаетразделение переменных, т.е. его решение может быть представленов виде'1/J(r, О, ер)= R(r)Y(O, ер),гдеR(r) -(3.7)радиальная часть волновой функции; У( О, ер)-сфериче­ская функция, которая определяет угловую часть волновой функции.Подставляя волновую функциюи разделив обе части уравнения на!___дr(3.7) в уравнение Шредингера (3.6)'1/J,(r 28R) + 2m( [Е- U(r)]R(r)дrhполучим следующее выражение :L\у= _ ___!!д__= Л=У(6, 'Р)R(r)Поскольку левая часть первого равенства в(3.8)const.(3.8)зависит только отr,а правая часть - только от (} и ер, то обе они должны равнятьсяконстанте разделения переменных Л.

Тогда из (3.8) получаем уравнениедля радиальной части волновой функции:д.rR + 2 ~е (Е- ИэФФ(r))R =О,h(3.9)где введена эффективная потенциальная энергияИэФФ =U(r)h2+ Л--2 •(3.10)2merПервое слагаемое описывает кулонавекое притяжение электрона к яд­ру, а второе отталкивание, обусловленное вращением электронавокруг ядра. Уравнение для угловой части волновой функции следуеттакже из(3.8)и имеет видд.о.'РУ+ ЛУ =О.(3.11)Функция У= У(О, ер), в свою очередь, допускает разделение переменныхУ(О, ер)= 8(0)Ф(ер).Подставляем У(О, ер) в уравнение(3.11)и делим обе части на У.

Вводяновую постоянную разделения m 2 получаем два уравнения :(3 . 12а)(3.12Ь)Гл.463.Атом водорода. Квантовый гармонический осцилляторТаким образом, мы разделили переменвыенения для R(r), (3.9), и для Ф(<р) и 8(В),(3 . 12а) имеет видr, (}и <р, получив три урав­(3.12).

Решение уравненияКонстанта т называется магнитным квантовым числом. Граничныеусловия <р(О) =<p(27r)допускают для него лишь целые положительныеи отрицательные значеният = О,± 1, ±2, ±3, ....Для анализа уравнения (3.12Ь) сделаем замену переменныхcosB == ~. Тогда оно сводится к видуСуществует регулярный метод решения уравнений такого вида-методразложения в ряд. 1) Условия сходимости ряда приводят к следующимограничениям ;,,гдеl -Л=l(l+1),l=О,1, 2, 3, ...орбитальное квантовое число.

Решением уравнен·ия (3.12Ь)являются функцииel.m=+ 1 . (l-lml)! olml(cosB)(l + lml)! .rl'2l41Г(3.13)где т= О, ±1, .. . , ±l. Входящие в (3.13) функции Fjlml(cosB) - при­соединенные функции Лежандра:dlml1 1Fj m (х) = (1- x2)lml/2 dxlml Pz(x),где Р1(х)-полиномы Лежандра:2 - 1)1] .Р1(х) = +~[(х2l! dxТаким образом,решение уравнения(3.11),определяющее угловуючасть волновой функции, можно представить следующим образом:,--------~' :-((}Yi.m , <р)=2l+ 1 . (l - jmj)! plml ( В) im<pl + jmj)! lcos е.41Г(3.14)Теперь осталось определить радиальную часть волновой функцииR(r),1)являющуюся решением уравнения(3.9) .Это уравнение сводитсяПолное решение этого уравнения изложено в [2].3.1.Уравнение Шредингера для атома водорода и его решение47к одномерному уравнению Шредингера со специальным граничнымусловием при rО. Для этого используем подстановку=R(r) = f(r)(3.15)rи, поскольку функция R(r) ограничена, то должно выполняться усло­вие f(O) =О.

Подставляя (3.15) в уравнение (3.9) получим одномерноеуравнение Шредингера:d2 f2dr-+ -2me2 (Е- Иэфф(r)) f1i=О.(3.16)Дальнейшее рассмотрение уравнения (3.16) требует конкретизации ви­да потенциала U(r). В случае кулонавекого потенциала имеем:е2Иэфф(r) = - -rПроанализируем уравнениезависит отl.1i2+ - -2 l(l + 1).(3.16)2merкачественно. Вид функции ИэффРассмотрим сначала случайИэфф(х) (см. рис.3.2).(3.17)l=О и изобразим зависимостьЭлектрон совершает финитное движение в по­тенциальной яме, следовательно, его энергетический спектр дискре­тен с уровнями энергии Е1, Е2 , Е3 .

. • . Ниже минимального уровня Е1опуститься невозможно из-за соотношения неопределенностей. Теперь>рассмотрим случай lО. Снова имеем потенциальную яму, в которойэнергия имеет дискретный спектр (рис. 3.3).хРис.3.2.Зависимость эффективной потенциальной энергии электрона от ко­ординаты х приl =О. Электрон находится в потенциальной яме, полученнойвращением кривой ИэФФ(х) относительно оси энергийРешая уравнение (3.16) в случае кулонавекого потенциала (см.,например, [2]) получим, что конечные и однозначные решения суще­ствуют только при следующих значениях энергии электрона:(3.18)Гл.48где число3.nАтом водорода. Квантовый гармонический осцилляторпринимает значенияn = 1, 2,3, ...и называется главным квантовым числом.ИэФФ(r)rоРис.3.3.Зависимость эффективной потенциальной энергии электрона от коор­динатыФормулаrпри(3.18)> О.lЕ1, Е1, Е2-дискретные уровни энергиив точности совпадает с формулой полуклассическойтеории атома водорода Бора и полностью подтверждается эксперимен­том.ФункцияRnt(r)задается выражениемRnt(r)=constexp( -r) (~) 1 L~:/ (~).aonaonaon(3.19)где а 0 = h 2 /mee2 = 0.5 · 1О- 8 см - радиус первой боровекой орбиты, а(3.20)-полином Лагерра.Такимобразом,в атоме водородарешение уравнения(3.6),Шредингера для электронаимеет вид(3.21)Главное квантовое числоn,орбитальноеlи магнитное т квантовыечисла могут принимать следующие значения:n = 1,2, ...

Характеристики

Список файлов книги