В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 11
Текст из файла (страница 11)
3.5,с классической плотностью вероятности wкл(х) найти частицу в точкех. Классический осциллятор совершает гармонические колебания позакону x(t) = asin(wot), где амплитуда а= (2E/rrtv.Jб) 112 . Скоростьчастицы v(t) = awocos(wot) = awo (1- (x(t) 2 fa 2 )) 112 • Классическаявероятность найти частицу в точке х в интервалеинтервалу времениdtdtWкл(х)dх =Т=где Т-dxпропорциональнапребывания частицы в интервалеwo dx21ГV=dx:dx21Га(l-(х2 /а2 ))1/2'(3.34)период колебаний, х находится внутри классически доступнойобласти: -а~ х ~+а (рис. 3.5) .• Классическая плотность вероятности Wкл(х) максимальна в точкахповорота х 1 ,2 = ±а.
Из рис. 3.5 видно, что для низшего состоянияn=O,предсказание классической теории качественно иное, чем квантовой: максимум I'Фn(x)l 2 достигается при х=О . Однако , с увеличениемквантового числа n, два абсолютных максимума квантовой плотностивероятности становятся все ближе и ближе к точкам поворота, а ихвеличина возрастает. Это поведение соответствует общему для квантовых систем правилу: в пределе больших энергетических квантовыхчисел n (т.е . в пределе больших энергий) квантовые системы ведутсебя классическим образом.Глава4ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМПОТЕНЦИАЛЕ.
ЗОННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙСПЕКТР. МЕТАЛЛЫ, ПОЛУПРОВОДНИКИИ ДИЭЛЕКТРИКИ. НИЗКОРАЗМЕРНЫЕНАН ОСТРУКТУРЫВ потенциальной яме микрочастица (электрон) имеет дискретныйэнергетический спектр (Глава 3). Повторяя периодически в пространствепотенциальнуюяму,мыприходимкмоделипериодическогопотенциала.Важнейшим . ' примером движения микрочастицы в периодическомпотенциале является движение электрона в кристалле, в котором атомы (ионы) образуют периодическую кристаллическую решетку. Электроны внешних оболочек атомов обобществляются и образуют электронный газ.Как мы увидим, энергетический спектр электрона, движущегосяв периодическом потенциале - зонный. Особенностями зонного спектра объясняются различия в свойствах диэлектриков, полупроводникови металлов.
Зонный спектр позволяет реализовывать полупроводниковый транзистор, который производит логические операции в классическом компьютере, а также выполняет функции ячейки памяти (бита)при выполнении вычислений.4.1.Движение частицы в периодическом потенциалеКристаллическая решетка. Кристалл образуется из элементарных ячеек.
В самой простой - кубической ячейке атомы рас4.1.1.положены в вершинах куба. В общем случае это параллелепипед ерсторонами ах, ау, az. В случае куба, длины сторон равны друг другу:~=~=~=~1Введем вектор трансляции1:(4.1)где ах, ау иaz -векторы, направленные вдоль осей х, у икоторых равны ах, ау,az (рис. 4.1), li -z,длиныцелые числа, принимающиекак положительные, так и отрицательные значения. Помещая атомы4.1.Рис.4.1.57Движение частицы в периодическом потенциалеЭлементарная кристаллическая ячейка с размерами а.,, ау,azв узлы с li = 1, а затем транслируя элементарную ячейку на векторыпостроим кристалл .
Если у нас есть такая решетка, построеннаяl,с помощью трансляции элементарной ячейки, то для нее можно ввестивектор обратной решеткиg:27Гх, у,z -27Г27Гg = nx-X + ny-Y + nz-Z,а.,ауazединичные орты, nx, ny. nz целые числа,(4.2)принимающиекак положительные, так и отрицательные значения. Вектор трансляциии·вектор обратной решетки обладают важным совместным свойством.Их скалярное произведениеg · l = 21Гlxnxгде т-+ 21Гlyny + 21Гlznz =21Гm,(4.3)целое число.
Поэтому(4.4)Эта формула, будет использоваться при описании движения электронав периодической решетке.В кристаллической решетке, таким образом, атомы (ионы) расположены периодически с периодомl.Они создают соответствующийпериодический потенциал, так что потенциальная энергия электронатакже периодична с периодом1:U(r)=U(r + l).(4.5)Это обстоятельство играет первостепенную роль в физике кристаллического состояния: электроны движутся в периодическом потенциале,создаваемом ионами. Какой он и как его найти это отдельныевопросы. Для нас сейчас это не важно, в нашем рассмотрении мыбудем использовать лишь сам факт периодичности этого потенциала.Для анализа уравнения Шредингера электрона, движущегося в периодическом потенциале, мы будем использовать аппарат преобразования Фурье периодических функций.Периодическую функциюФурье:f(r+ l)=f(r)можно разложить в рядГл.584.Движение электрона в периодическом потенциалеf(r)=L /geigr(4.6)gфункция с периодом 1, ее разложение в ряд Фурье содержит тольковектора обратной решетки,Фурье-компонента.
Свойство скалярного произведения g · l (4.3) как раз и обеспечивает выполнение усло-/g -вия периодичностина векторl,f(r).Если в этой функции произвести трансляциюто, используя преобразование Фурье, получаем:=Lf(r + 1)/geigr (eigl)Фурье-образной ячейкиv,/g= f(r).(4.7)~1gнаходится интегрированием по объему элементарэто следует из теории рядов Фурье:/g =ff(r)e-igrdr.(4.8)v4.1.2. Уравнение Шредингера для электрона в периодическомпотенциале. БЛоховекая волновая функция.
Приступим к записии анализу стационарного уравнения lllредингера для волновой функции '1/J(r) электрона в периодическом потенциале.Рассмотрим для простоты одномерный случай,'lj;(r)= 'lj;(x),и соответственноИ(х+ l) = U(x).(4.9)Далее запишем гамильтониан электрона в периодическом потенциале:-Нэл(х)--2т;те+ U(x),где те - масса свободного электрона.lllредингера будет иметь вид1i2(4.10)Соответственно, уравнениед2-2- - 2 '1/J + U(x)'lj;(x) = E'lj;(x).mдх(4.11)Проанализируем его качественно. Используем периодичность потенциала (10). Это первый шаг. Отсюда сразу следует, чтоИ(х) =L U ei 'x.991(4.12)gПредставим функцию 'ljJ в виде волнового пакета, не конкретизируяпока какие волновые числа (векторы) k могут фигурировать в нем:'lj;(x) =L C(k)eikx.k(4.13)4.1.Функция'1/JДвижение частицы в периодическом потенциале59относится к большому объему, поэтому результаты недолжны зависеть от вида граничных условий и можно использоватьудобное граничное условие - периодическое.Ставим периодические условия (так называемые условия БорнаКармана) на границах: '1/J(x =О) = '1/J(L) и тогда функция '1/J - периодическая с периодом, равным размеру кристалла L (но она, в отличиеот потенциала, не является периодической с периодом, равным векторутрансляции!).
Подставим эти разложениядингера, умножим уравнение почленно наe-ikx'1/J и U(x)e-ikx:в уравнение Шре(L 1i~~')2 C(k')eik'x + L L UgC(k')eik'x+igx) =k'еk'9=еL C(k')eik'x(4.14)k'и проинтегрируем по объему элементарной ячейкиv.Получим уравнение Шредингера в следующем виде:1i2k2)( 2me -е C(k)+LU9 C(k- g) =О.(4.15)gУравнение (4.15) можно трактовать так. Имеется волна с волновымk.
Она испытывает дифракцию на множестве дифракционныхрешеток с векторами решетки g. Уравнение (4.15) показывает, что еслипервоначально есть волна с заданным k, то в результате дифракциичисломпоявляются волны с волновыми векторами,kнасдвинутыми относительноg. Только такие волны с волновыми числами k- g, а такжеисходная волнаkдолжны фигурировать в волновом пакете(4.13).Таким образом, волновой пакет электрона в кристалле имеет вид:'1/Jk=LC(k- g)e-igxeikx= Ak(x)eikx(4.16)g(суммирование включает значенияволныAk(x)=g =О, g >Оиg < 0),где амплитудаL C(k- g)e-igx.gЛегко доказать, что амплитуда периодична в пространстве с периодом,равным вектору трансляции:(4.17)Кроме этого, амплитуда периодична в k-пространстве: Иk±g(x)= Ak(x).=Гл .604.
Движениеэлектрона в периодическом потенциалеРезультат, который мы получили качественно: стационарное состояние электрона в периодической решетке описывается волновой функцией, которая является плоской волной с амплитудой, модулированнойв пространстве с периодом, равным периоду решетки. Это утверждениесоставляет суть теоремы Блоха, а функция (4.16) называется функциейБлоха. Физическая суть нашего рассуждения: мы рассматриваем движение k-ого электрона в кристалле, происходит дифракция, уравнениеШредингера утверждает, что такая падающая волна при распространении в периодической решетке превращается в пакет волн с волновымивекторами, сдвинутыми по отношению к вектору падающей волны навектора обратной решетки (рис.4.2).волнаде БройляволновойпакетРис .4.2.Образование волнового пакета благодаря дифракции плоской волнына периодической структуреЭто означает, что волновой пакет, который мы задали формальнов (4.13), имеет структуру (4.16): в нем содержится исходная волна ei kx(g = О) и целая совокупность дифрагированных волн с волновыми векторами, сдвинутыми по отношению к исходному векторуобратной решетки.kна вектораМожно строго показать, что функция Блоха (4.16) действительноявляется решением уравнения Шредингера (4.11) .
Электрон в кристалле, таким образом, не рассеивается на периодическом потенциале, неменяет своего состояния, стационарно существует с волновой функцией 1/Jk - функцией Блоха . Отметим, что если электрон находитсяв состоянии 1/Jk , то величина 1ik не является собственным значениемоператора импульса, поэтому 1ik не является импульсом электронав кристалле . Но поскольку 1ik входит в законы сохранения При рассеянии электронов на колебаниях решетки, то эту величину называютквазиимпульсом.Зонная структура энергетического спектраэлектрона. Приближение почти соободных электронови приближение сильной связи4.2.Определение энергетического спектра электрона в кристалле важнейшая проблема физики твердого тела . Создание таких квантовыхприборов как полупроводниковые транзистор и лазер было бы невозможным без понимания строения энергетического спектра электрона4.2.Зонная структура энергетического спектра электрона61в кристалле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
