В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Оно рассматривалосьв п . 4.2 как некое возмуЩение. Этот метод не работает для электронов,находящихся на более близких к ядру .~лектронных оболочках (элек­тронов, сильно связанных с ядром).Для того, чтобы рассчитать энергетический спектр для электроновиз глубоких оболочек используется приближение сильной связи, в ко­тором в качестве исходных функций, из которых строится функцияБлоха, Используются атомные волновые функции.

Ранее теорему Блохамы получили, исходя из приближения почти свободных электронов, но4.2.Зонная структура энергетического спектра электрона67на самом деле она не связана с применимостью этого прибли'~ения.Ее можно в общем виде сформулировать так. В периодическом потен­циале волновая функция, при сдвиге на вектор трансляции1,должнаменяться следующим образом:(4.30)Условиедолжно налагаться на любую волновую функцию элек­(4.30)трона в кристалле.Итак, мы попробуем построить блоховскую волновую функцию,удовлетворяющую условию (4.30), используя атомные волновые функ­ции. Исходя из общего положения о том, что электроны обобществля­ются при сближении атомов, мы записываем волновую функцию дляэлектрона в кристалле в виде суперпозиции атомных волновых функ­ций, каждая из которых центрирована в точке расположения атома:(4.31)где.амплитуда uk(r)в кристалле,ri -волновая функция,=~ Eeik(r.-r)tt'a(r- ri), N - число атомовvNiрадиус-вектор i-го атома,tt'a(r - ri) -атомнаяпринадлежащая какой-то определенной атомнойоболочке.

Амплитудав (4.31) периодична по r с периодом,l, и периодична по k с периодом, равнымвектору трансляции g, (4.2) . Функция 'Фk(r), (4.31), удовлетворяетусловию теоремы Блоха (4.30).Энергия электрона в состоянии k находится по формулеAk(r)равным вектору трансляции('Фk•IHI'l/Jk)Ek ==~ L::eik(r.-rj)(tpa(r-rj)IHirpa(r-ri)),(4.32)ijгде Н-функцияоператор Гамильтона электрона, 'Фk - блоховекая волновая(4.31).Кристаллы замечательны тем, что они обладают свойством транс­ляционной инвариантности . Рассмотрим какой-то j-й атом. Тогда в(4.32)будем иметь сумму поiотносительно этого j-го атома. Ре­зультат суммирования формально зависит от j. Но, по сути, результатсуммирования по i не должен зависеть от того, какой атом j мырассматриваем в качестве начала координат. Чтобы учесть это, сделаемзамену:ri-Гj= pi, r- Гj = r'.Матричный элемент в(4.32)тогдапереписывается в виде(rpa(r- Гj)IHirpa(r- ri)) = (rpa(r- Гj)IHirpa(r- Гj- Pi))== (rpa(r')IHirpa(r'- Pi)).Гл.684.Движение электрона в периодическом потенциалеРезультат суммирования по i не зависит от j, поэтому всуммирование по j дает N.

Тогда из (4.32) имеем:(4.32)(4.33)гдеPi -радиус-вектор i-го атома относительно атома, помещенногов начало координат (реперного атома) с радиусом-вектором р 0 = О.В (4.33) суммирование по i включает случай i =О .Рассмотрим сначала этот вклад с р 0= О.Экспонента даст единицу,а матричный элемент:<где ЕаО - энергия электрона на атомном уровне (отрицательнаяэнергия соответствует связанному состоянию электрона в атоме).Теперь рассмотрим ближайших к репериому атому соседей и про­суммируем по ним.

Запишем соответствующий матричный элементв (4.33) в общем виде:fdr (cpa(r1где р 1 -1~1)IНI'Pa(r -Pt))=-г,(4.34)радиус-вектор ближайшего к репериому атому соседа . Инте­грал (4:34) - это так называемый интеграл перекрытия. В нем фигу­рируют· атомные волновые функции, центрированные на двух соседнихузлах кристаллической решетки. Таким образом, энергия электроназадается выражением:(4.35)где, в принятом нами приближении, сумма берется только по ближай­шим соседям. Вид этой суммы зависит от симметрии решетки.Рассмотрим самый простой случай кубической, объемно­центрированной решетки. Элементарная ячейка - куб со стороной а,в его вершинах находятся атомы (рис.

4.1, ах = ау = az = а).Суммирование производится по ближайшим соседям к репериомуатому. Радиус-векторы ближайших к нему соседей вдоль оси х:р 1 ~а,О,О},иеще две аналогичныевдоль осей у ипары-р 1 ~ {-а,О,О}1радиус-векторов ближайших соседейz.Тогда, производя суммирование в(4.35),с учетом вышесказанного,получаем, для энергии электрона в кристалле:(4.36)4.2.Зон.н.ая структура эн.ергетического спектра электрон.а69Первая зона Бриллюэна будет представпять собой куб с размеромребра21rja(см . рис .4.9).Итак , мы рассчитали матричный элемент оператора энергии элек­трона в состоянии k и нашли закон дисперсии Еkэлектрона в трехмер­ном кубическом кристалле . Вблизи центра зоны Бриллюэна с kО,=в области, где модуль k мал, можно разложить косинус в ряд . Вблизицентра зоны Бриллюэна закон дисперсии принимает вид :(4.37)где эффективная масса электрона(4.38)обратно пропорциональна интегралу перекрытия 'У· Значит, когда ин­теграл перекрытия велик, то эффективная масса электрона мала и на­оборот.

Если мы начинаем удалять атомы друг от друга все большеи больше, то интеграл перекрытия 'У становится все меньше и меньше .В пределе больших межатомных расстояний, электроны локализуютсявблизи атомов - никакого их обобществления не происходит. В этомслучае, эффективная масса электронаопределяемая формулойm:,(4.38),становится бесконечно большой ('У=0},т.

е. подвижность такихэлектронов становится пренебрежимо малой. Это случай диэлектрика.Наоборот, если сжимать кристалл , увеличивая 'У и при этом умень­шаяm:,то можно диэлектрик перевести в металлическое состояние.Например, под давлением порядка 100 килобар полупроводниковыйкремний металлизируется . Также известна проблема получения метал­лического водорода под большим давлением.Что касается ширины зоны разрешенных энергий, то, в приближе­нии сильной связи , она будет определяться, с точностью до константы,интегралом перекрытия 'У (см. рис. 4.9 и (4.39)).7rо7rkxааРис .

4.9. Закон дисперсии для одномерного двиЖения электрона в кристаллевдоль оси х. По формуле (4.36), где положено ky = kz =О и за начало отсчетаэнергии взято значение -(\Еа\+ 2-у) .Ширина одномерной зоны д= 4-уГл .70Движение электрона в периодическом потенциале4.В трехмерном случаеEk=O =-IEal -6')', Ek=1r/a =-IEal + 6')'и ширина зоны(4.39)Такимобразом,при разнесении атомов на достаточно большиерасстояния (/'----*О, д----* 0), зоны вырождаются в атомные уровни. Еслиже мы сближаем атомы (интеграл перекрытия 'У достаточно велик), токаждый уровень расщепляется в энергетическую зону, причем ширинарасщепления тем меньше, чем глубже атомный уровень, поскольку наболее глубоких уровнях атомные волновые функции сильнее локализо­ваны, и параметр перекрытия волновых функций 'У меньше (рис. 4.10).ЕЕn = 3 -\----\--,l--n=22n=1==Рис.

4.10. Расщепление атомных энергетических уровней (n1, n2 и т.д . )в энергетические зоны (1, 2 и т. д.) при уменьшении межатомного расстоянияа в кристалле . Чем ниже лежит атомный уровень, тем уже соответствующаязона~ожно сосчитать число электронных состояний в энергетическойзоне в кристалле, состоящем изNатомов . В кристалле изсимых атомов каждый атомный уровень энергииN -кратноNнезави­вырожден.Перекрытие атомных волновых функций в соседних узлах кристалли­ческой решетки снимает это вырождение и каждый атомный уровеньэнергии расщепляется на N уровней в зоне. Поскольку на каждомуровне могут находится 2 электрона (со спином вверх и со спиномвниз), то полное число разрешенных со'.стояний в зоне, расчитаннойв приближении сильной связи, равно 2N, как и в случае почти свобод­ных электронов.На этом мы завершаем иллюстративное рассмотрение образованияэлектронного зонного спектра в приближении сильной связи.

Более по­дробное рассмотрение зонной структуры в реальных кристаллах можнонайти в книге[9].4.3.Разделение твердых тел на металлы, полупроводники и диэлектрики4.3.71Зонная теория и разделение твердых тел наметаллы, полупроводники и диэлектрикиЗонная теория объясняет деление твердых тел на три основныхкласса: диэлектрики, полупроводники и металлы. На самом деле, полу­проводники и диэлектрики относятся к одному классу, но отличаютсяшириной запрещенной зоны. В полупроводниках, ширина запрещеннойзоны 0.1 - 2 эВ, а в диэлектриках - несколько эВ.Посмотрим, как зонная теория позволяет провести классификациютвердых тел. Рассмотрим простейший случай кристаллов с одним ато­мом в элементарной ячейке. Построим основное состояние кристалла,рассматривая кристалл при температуре Т = О.

В кристалле имеетсяNeэлектронов и, чтобы образовать основное состояние, нужно рас­положить их по энергетическим уровням в зонах, начиная с нижнегоуровня .Рассмотрим сначала случай нечетной валентности.примерам является атомNa.У него11Простейшимэлектронов, один электрон нахо­дится на последней оболочке. Валентность равна единице. Когда атомысоединяются в кристалл, образуется ионный остов и электронный газ.Если имеется N атомов, то в электронном газе будут находиться=N электронов.

В соответствие с принципом Паули в каждомквантовом состоянии может находиться лишь один фермион (частицас полуцелым спином), в частности электрон со спином 1/2. КвантовоеNeсостояние определяется заданием квантовых чисел. В рассматриваемомслучае одно квантовое состояние характеризуется заданием числаи проекции спина на осьz: Sz. Szkпринимает два значения±1/2(см.

Главу 7). Таким образом, в состоянии с квантовым числом k мо­жет находиться два электрона. Поэтому число разрешенных состоянийв валентной зоне равняется числу разрешенных состояний волновогочисла k в зоне Бриллюэна, умноженному на два. Число разрешенныхзначений k в зоне Бриллюэна равно ширине зоны 21r /а, поделенному на•размер ячеики квантования 27Г/ L: 27r/aL2 7Г / L = ~ = N - числу атомов, со-ставляющих кристалл (мы рассматриваем одномерный случай). Значит,число разрешенных состояний в зоне Бриллюэна для одновалентногослучая равняется 2N, а число электронов, которые надо расположитьв этой зоне N - вдвое меньше .

Это означает, что в основном состоянияодновалентного кристалла Na, валентная зона заполнена наполовину.Теперь учтем, что электроны в не полностью заполненной зонепроводит электрический ток и кристалл с такой зоной является метал­лом. Напротив, полностью заполненная зона, отделенная запрещеннойзоной от зоны разрешенных состояний, не проводит электричествои кристалл с полностью заполненной валентной зоной является диэлек­триком (полупроводником) .Вслучаенатриямыполучилинаполовину заполненнуюзону,Гл.72такчто4.такаяский ток .Движение электрона в периодическом потенциалезонапроводитТаким образом,электриче-натрий явля­ется металлом .

Это рассуждение можнопровести и в случае элементов с любойнечетной валентностью. Получается тотжерезультат,посколькупоследовательнозаполняются все зоны с самого низа, а по­следняя зона опять окажется заполненнойнаполовину. Итак, при соединении элемен-тов из таблицы Менделеева с нечетнойвалентностью в кристаллОс одним атомомв элементарной ячейке получаются металлы.Рассмотрим теперь случай четной ва­лентности . В зоне по-прежнему имеется2N разрешенных состояний, но теперьимеется2Nэлектронов (валентность2)7rи они полностью заполняют зону.

Значит,акакправило,двухвалентныеэлементыЕзона,отделеннаязапрещен-4 11 ) .от пустои зоны рис. .u(ной зоной gЕсть исключения, например, кальций. Ва-лентность кальция равна 2, а он являетсяметаллом. Но кальций-L-диэлектрикн .· В них имеется полностьюзаполненнаяо 27rРис.4.11 . В7rkаполупроводникесамая верхняя ·заполненная(со штриховкой) зона вазывается валентной, следующая пустая зона _плохой металлзонойпроводимостис низкой проводимостью. Это связано с де­талями зонной структурой .

Характеристики

Список файлов книги