В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 10
Текст из файла (страница 10)
;l =О,1, 2.... , n- 1;3.1.Уравнение Шредингера для атома водорода и его решениет= О,49±1, ±2, ... ± l.Выпишем несколько нормированных волновых функций для низшихэнергетических состояний:'Ф1оо = (1Гag)- 1 1 2 exp(-r/ao),'Ф2оо = (87rag)- 112 exp(-r/2ao)(1- -2r ),'Ф21±1ао(3.22)= (8R)- 1exp(-r/2ao)sin()e±i<p ~·'Ф210 = (4~ )- 1exp(-rf2ao) cos() ~.Волновая функция 'lj; 100 в (3.22) описывает основное состояниеатома водорода (n = 1), остальные три функции соответствуют первомувозбужденному уровню энергии (n = 2). Энергия, необходимая дляотрыва электрона от атома водорода называется энергией ионизациии равна Eion= IE1I =13.бэВ .Теперь обсудим полученные математические результаты, чтобы понять квантовую структуру атома.В классической физике атом описывается при помощи планетарноймодели, сформулированной Резерфордом в 1913г. Анализируя эксперименты по бомбардировке тонких пленок металлов а-частицами, черезкоторые большинство а-частиц проходит не рассеиваясь, и лишь малаячасть (одна частица на 10 тысяч) резко отклоняется на угол более90°, Резерфорд пришел к выводу о том, что частицы отклоняются засчет одного акта столкновения с атомом и, следовательно в центре атома должнонаходиться положительно заряженное ядро,заключающеев себе практически всю массу атома .В полуклассической планетарной модели Бора электрон вращаетсявокруг ядра, находясь на стационарной орбите подобно планете, вращающейся вокруг Солнца.
Энергия электрона на п-ой орбите En определяется формулой (3.18). Скачкообразный переход электрона с n-ойорбиты на т-ую орбиту сопровождается изменением энергии атома навеличинуПолная энергия в этом процессе. сохраняется, поскольку атом либопоглощает квант энергии hwmn (Em > Еп) , либо испускает квантэнергии n(J.)пm при Еп > Em.А какая квантовая картина атома следует из решения уравненияШредингера? Вероятность того, что мы обнаружим электрон в квантовом состоянииn, l, тв точке с координатами(r, (), <р)в бесконечномалом объеме sin()d()d<pr 2 dr = dV имеет видWn,l,m(r, (), <р) sin ()drd()d<p = 1'1/Jn,l,m(r, (), <р )1 2 sin ()d()d<pr 2dr.Гл.503.Атом водорода.
Квантовый гармонический осцилляторНайдем вероятность с которой можно обнаружить электрон в точкев интервалеr,dr:11"271"JdB J depwn,l,m(r, В, ер)= w(r)dr,dP(r) =оогде плотность вероятности того, что электрон, находящийся в квантовом состоянииn, l, т, будет обнаружен в точке r:00w(r) = Wn,l(r) =IR...!(r)l 2 r 2 ,JWn,l(r)dr =1.оАналогично найдем вероятность обнаружения электрона в окрестностирадиус-вектора r (луча) с координатами (В, ер) в телесном углу dП == sin BdBdep:W!,m(B,, <p)dП =IYi.m(B, ep)l 2 dП,J dПwl,m(B, ер)= 1.471"Из(3.14) следует, что угловая плотность вероятности W!,m (В, ер) =не зависит от угла ер.Рассмотрим сначала самое низкое (основное) квантовое состояниес квантовыми числами n = 1, l =О, т= О (состояние с l =О называ=WL,m(B)ется в-состоянием) .
Волновая функция'Фюо = Rю(r)8оо(В)Фо(ер),R1o(r) = 2а0 312 ехр (-:J.На рис.3.4 (слева) представлены графики радиальной плотности вероятности ДЛЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ :(3.23)и первого возбужденного состояния сn = 1, l =О, т =0:(3.24)Угловая плотность вероятности w00 (B, ер) = const. Поэтому полнаяплотность вероятности wloo(r, В, ер) обладает сферической симметрией.При этом максимум радиальной плотности вероятности в основномсостоянии, (3.23) достигается при значении, равном радиусу первойборовекой орбиты ао.3.1.Уравнение Шредингера для атома водорода и его решение51w(r)0.148р.р.m=Om=Ol=Ol= 1m=±ll= 1n=1n=2аоРис.3.4.sa0Ioao rСлева: радиальные плотности вероятности wю иw2o,ао-радиус Бора.
Справа: поперечные сечения плотности вероятности, величина которойотражена цветом (черный цвет соответствует минимальной плотности вероятности, белый - максимальной). Главное квантовое числоnотмечено слева откаждого ряда. Сечение взято в плоскости xz, z - вертикальная осьЭлектрон в состоянииn = 1, l =О, т=О, таким образом, можетбыть обнаружен где угодно в пространстве, но с наибольшей вероятностью на поверхности сферы радиусом ао. Вероятность его обнаружениятакже велика в шаровом слое с толщиной, определяемой шириной максимума радиальной функции (рис.Для качественного представ3.4).ления такой квантовой картины атома вводится термин электроннаяоболочка, в которой сосредоточена плотность вероятности (в отличиеот электронной орбиты в полуклассической теории Бора).
Таким образом, в в-состоянии электронная оболочка имеет вид шарового слоя.Рассмотрим теперь первое возбужденное состояние с n = 2, l =т= О, ±1, состояние с l = 1 называется р.-состоянием: для негос учетом (3.13), имеем= 1,WJ,o(B) =ei.o =347Г cos 2 В,WJ,±l (В) = 9I,±I =4~ sin2 В.(3.25)В р-состоянии оболочка т = О имеет вид гантели с осью, направленнойвдоль оси z (рис.
3.4). При т= ±1 ось гантели параллельна оси х.С увеличением квантового числа n и, следовательно, с увеличением числа возможных различных значений l и т угловая структураплотности вероятности w 1,m(B, <р) все больше усложняется (см. [2]).Угловая анизотропия волновых функций1/Jn,l,m(r, В, <р)(называемых также атомными орбиталями) проявляется в анизотропии межатомныхсвязей при образовании молекул и кристаллов.
Уравнение ШредингераГл.523.Ато.м водорода . Квантовый гар.мон.ический осциллятортакже применимо к более сложным атомам и молекулам. Однако,в большинстве таких случаев аналитических решений не существует,требуется либо принятие каких либо упрощающих допущений, либопроведение компьютерных вычислений .3.1.1.Приближение двухуровневого атома.Спектр атома водорода неэквидистантный. Расстояние между уровнями убывает с ростомэнергии (увеличением квантового числа n) как п- 3 (см. (3.18)) . Неэквидистантность энергетических уровней характерна и для спектровдругих атомов . Это позволяет выделить из всего спектра два уровняи управлять вероятностью их заселения.Рассмотрим два уровня с энергиями Et и Е2 > Е1, соответствующие собственные волновые функции IPI (r) и tp 2 (r). В качестве Е 1можно рассмотреть энергию основного состояния .
Частота переходаc.v2 1 = (Е2- Et)/n, вследствие неэквидистантности уровней энергии,отличается от других частот переходов C.Vnm· Поэтому действием импульсов резонансного электромагнитного поля с частотойно вызывать переходы атома лишь между уровнями Е1+c.v = c.v21можи Е2, и создавать суперпозИционные состояния 'Ф(r, t) = a(t)tp 1(r)b(t)tp2 (r), гдеможно полагать la(t)1 2IЬ(t)1 2 = 1. Все остальные уровни и атомные+переходы в этом соотношении полностью игнорируются. Такая модельназывается моделью двухуровневого атома . Эта простая и эффективнаямодель используется для описания квантовых битов и атомов рабочейсреды лазеров (см. главы3.2.7, 8).Квантовый гармонический осцилляторПрототипом классического одномерного гармонического осциллятора является шарик массы т на пружинке, конец которой закреплен.Шарик совершает гармонические, с частотойc.vo, колебания вдоль одной оси . Большое число физических систем приближенно описываетсяуравнением гармонического осциллятора .
Всегда, . когда изучается по ведение колебательной физической системы в малой окрестности ееустойчивого положения равновесия,мы получаем уравнение гармонических колебаний . Примерами являются относительные колебанияатомовв двухатомных молекулахисмещенияатомовот своих положений равновесия в кристаллической решетке. Кроме этого, энергияэлектромагнитного поля в резонаторе может быть представлена в видесуммы энергий гармонических осцилляторов.Пусть шарик совершает колебания вдоль оси х.
Его потенциальнаяэнергия U(x) = тс.vбх 2 /2, где т- масса шарика, х- смещение. Еслисистема (молекула) состоит из двух частиц (атомов) с массами т 1 ,т2, соединенных упругой связью (~пружиной»), то т= т1т2/(т1- приведеиная масса, а х - относительная координата .+ т2)+53Квантовый гармонический осциллятор3.2.Стационарное уравнение lllредингера для одномерного гармонического осциллятора записывается в виде(3.26)Удобно перейти к безразмерным переменным:z = J!!f!x, е= ~0 •Тогда уравнение lllредингера(3.26)d2(-2dz(3.27)перепишется в виде+ z 2 )'1j; =(3.28)2e'lj;.Частным ~ешением уравнения'1/Jo =ехр(3.28) является собственная функция( -z /2), при собственном значении е= 1/2, т.е.
при Е= Ео == hwo/2.Полное решение ищется в виде'lj;(z)Подставляя(3.29)в(3.28),= ехр ( -z2 j2)f(z).получаем уравнение для(3.29)f:d2 f- 2zdf- f = -2ef.didz(3.30)При 2е- 1 = 2n, где n- целое положительное число (включая ноль),уравнение (3.30) совпадает с уравнением Чебышева, решением которого являются полиномы Чебышева-Эрмита:Таким образом, полное решение уравнения lllредингера(3.28)име-ет вид'Фn(z) = ехр ( -z 2 j2)Hn(z),n =О, 1, 2, . ..(3.31)Соответствующие собственные значения энергии1En = hwo(n + 2).(3.32)Спектр квантового гармонического осциллятора эквидистантный с расстоянием между уровнямиОтметим, что приnw0 .n =О энергия Ео = hwo/2 >О.
Эта, так называемая энергия нулевых колебаний обусловлена тем, что в состояниис определеннымn(т.е. в состоянии с определенной энергией) поло-54Гл.3.Атом водорода. Квантовый гармонический осцилляторnoorГ'~u~~,.L'lmiФol'~z=ут""Рис. 3.5. Волновые функции 1/Jn(x) (слева) и плотности вероятности I'Фn(x)l 2=(справа), nО, 1, 2, 3 для частицы в параболической потенциальной яме(центр). Горизонтальные прямые обозначают соответствующие энергетическиеуровни. Вертикальные пунктирные линии показывают границы классическинедоступной областижение частицы х не может быть определено точно, поскольку х некоммутирует с гамильтонианом. Поэтому, в отличие от классическогоосциллятора, который в состоянии покоя с х = О имеет нулевую полнуюэнергию, квантовый осциллятор в нижнем энергетическом состоянииn =О, описываемом гауссовекай волновой(3.31) при n = 0), имеет конечную энергиюфункцией 'Фо(х) (формулаЕо.Четыре первых (не нормированных) собственных функции(3.31)имеют вид'Фо = e-z2 /2''Ф2 = (4z2- 2)cz2/2,'ФI = 2ze-z2 /2''Фз = (8z3 - 12z)e-z212.(3.33)Графики этих собственных функций 'Фn(х) и соответствующих плотностей вероятности I'Фn(x)l 2 показаны на рис.
3.5. Собственные функциис четными n- четные (симметричны): 'Ф2n·~ -z) = 'Ф2n(z), а с нечетнымиn-нечетны (антисимметричны): 'Ф2n+l(-z)= -'Ф2n+I(z).Классический осциллятор с заданной энергией Е имеет две точкиповорота XJ = (2Ejmw5) 112 и х2 = -х,, в которых полная энергияЕ сравнивается с потенциальной энергией И (х) (на рис. 3.5 положения точек поворота обозначено вертикальными штриховыми линиями).Плотность вероятности I'Фn(x)l 2 , однако, не равна нулю в классиче-3.2.Квантовый гармонический осциллятор55ски недоступной области, где потенциальная энергия больше полнойэнергии . Осциллятор туннелирует в классически недоступную область,гдеплотностьведениювероятности экспоненциально затухает,аналогично поплотности вероятности для частицы в потенциальной ямеконечной глубины (см. п.Сравнимквантовые2.3.2).плотностивероятностиI'Фn(x)l 2 ,рис .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
