В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Любой микрообъект с наибольшейполнотой описывается волновой функцией1/1 = 1/l(r, t). Волноваяфункция имеет статистический смысл: 11/l(r, t)1 2 dr- вероятностьтого, что микрообъект в момент времени t будет в результатеизмерения обнаружен в точке r в объеме dr. Поскольку вероятностьобнаружить частицу где-то (в любой точке пространства) в любой момент времени t равна 1, то волновая функция подчиняетсяусловию нормировки: 11/l(r, t)1 2 dr = 1.fЭлектрон, однако, нельзя представлить себе как некий заряженный шарик, который с вероятностью 11/l(r, t)1 2 dr в момент времени tнаходится в точкеrв интервалеdr.То, что такое классическое вероятностное представление о квантовом объе~те неверно можнь видеть,если снова обратиться к эксперименту по прохождению единичногоэлектрона через две щели (рис.
1.5) . В классической интерпретацииэлектрон (<<шариК>>) случайным образом проходит либо через щель 1,либо через щель 2 в каждом акте прохождения. Такое поведение неможет привести, после многократного повторения актов прохождения,кпоявлениюнарегистрирующемсветлых и темных полос.экранепериодического чередования1.4.Принцип суперпозиции.
Соотношение неопределенностей21Под давлением эксперимента мы приходим, таким образом, к следующейкартине поведения квантового объекта. Исходная плоскаяволна, описывающая электрон (микрообъект), проходит одновременночерез обе щели, испытывает дифракцию на них и, в результате ,интерференции дифрагированных волн, на поверхности регистрирующего экрана образуется интерференционное поле, описываемоеволновой функцией 1/J(r, t), являющейся «волной вероятности».
Приизмерении с помощью регистрирующего экрана этого распределенногоинтерференционного поля происходит коллапс волновой функции--она стягивается в точку. Плотность вероятности стягивания в точкlс координатойТакимr,образом,при проведении измерения в моментмикрообъектt,равнаобладает как свойствами11/J(r, t)! .волны,таки частицы. При распространении он ведет себя как распределеннаяв пространстве волна (дифракция, интерференция), а при измерениипроявляет свойства локализованной частицы.
Такая двойственная природа микрообъектов получила название корпускулярно-волновой дуализм.1.4.Принцип суперпоэиции. СоотношениенеопределенностейИтак, под давлением опыта физики сменили парадигму (наборосновополагающих самосогласованных идей) и для описания микрочастиц ввели вероятностио-волновое описание. Это привело к новомупредставлениюоприродемикрочастиц,выражаемомупринципомкорпускулярио-волнового дуализма. Продолжим рассмотрение новыхфундаментальных физических свойств микрообъектов, которые следуют из их описания в терминах волновой функции.Рассмотрим частицу, свободно движущуюся вдоль оси х с импульсом р = hk.
Она описывается волной де Бройля: 'lj;(x, t) = Aei(kx-wt).Вероятность найти частицу в точке х в интервалениdxв момент времеtdP(x, t) = !'Ф(х, t)! 2 dx = A 2dx = w(x, t)dx.Таким образом, nлотность вероятности обнаружения частицы в точке хпостоянна в пространстве: w(x, t) = !А! 2 = coпst. Отсюда следует вывод : если импульс частицы известен точно, то ее координата полностьюне определена. Это предельный частный случай так называемого соотношения неопределенности Гейзенберга. Выведем это соотношение дляобщего случая . При этом мы будем использовать следующий принципсуперпозиции, который является следствием линейности квантовой механики .Принцип суперпозиции в квантовой механике:если частица может находиться в состоянии .
с волновой функцией<р1 (х,t),а также в состоянии <р2(х, t), то она может находить-22Гл.1.Экспериментальные основы квантовой механики+ся и в суперпозиционном состоянии 'lj;(x, t) = с, Ч'l (х, t)с2<р2(х, t),где с, и с2 - комплексные числа. Обобщая: если Ч'п(х, t) - набор волновых функций, то суперпозиционное состояние 'lj;(x, t) == Е Cn<t'n (х, t), коэффициенты разложения подчиняются условиюn2· = 1.нормировки: Е lcn 1nНесмотря на свою простоту, принцип суперпозиции является важнейшим фундаментальным принципом квантовой механики и квантовой информации. На протяжении всего курса мы будем постоянно егоиспользовать.Составим суперпозиционное состояние (волновой пакет) из волн деБройля:ko+~k·'·('+' Х, t) =f1flkA(k)ei(kx-r.vt)dk,(1.10)ko-~kгде ko - центральное волновое число и D.k < < ko (условие узостиволнового пакета). В этом суперпозиционном состоянии импульс частицы не определен и мера неопределенности импульса пропорциональнаширине волнового пакета: D.p = hD.k.Разложим (.V(k) в окрестности точкиw(k) = w(ko)+ ( ~~) k=ko (k- ko).= k -= ko.const.Введем переменную ~ =ложитьA(k) ~ A(ko)ko:(1.11)Так как пакет узкий, то можно поА0Тогда из(1.10), используя (1.11),имеем'lj;(x, t) =D.k/2f~~ ехр [i(kox -wot)]ехр [i~ (х- ( ~~) k=ko t)] d~.-D..k/2(1.12)Воспользуемся выражением для wде Бройля (1.5)nw (k) =(k),следующим из соотношения2k22~= L,2m2mи получим( дw)- hko дk k=ko - ~ -Ро-vo ·т -(1 .
13)1.4.Принцип суперпозиции. Соотношение неопределенностейПодставляяв(1.13)(1.12),23имеемдk/2'1/J(x, t) =f1~ ехр [i(kox- wot)]exp[i~(x- vto)]d~ =-дk/2sin [ Llk(x - vot) J=Ао[ Llk (х/vot) Jехр [i(kox- wot)].6.k(x- vot)и из (1.14) получаем:2Обозначим у='ljJ(x, t) = siny Ао exp[i(kox- wot)],(1 .15)угдеsinyjyАо exp[i(koxплотностьвремени(1.14)медленноменяющийсяамплитудныйфактор,wot)] - монохроматическая волна де Бройля.
Образуемвероятностиобнаружениячастицыв точке хвмоментt:• 2j'ljJ(x, t)/2 = А6sш2 у.( 1.16)уГрафик зависимости j'ljJ(x, t)/ 2 изображен на рис. 1.8.у-1010Рис. 1.8. Зависимость плотности вероятности J'Ф(х, t)J 2 , (1.16), от бегущей•Llk(x- vot)переменнон у =2Если фиксировать значение у, положив, например, у = Llk(x =О, то продифференцировав это равенство, получаем скорость- vot)/2распространения волнового пакетаdxdtРо- =vo=- >0.m(1 .17)Гл .241.Экспериментальные основы квантовой механикиЭто означает, что волновой пакет движется в положительном направvo.лении оси х со скоростьюВфиксированныйведенный на рис.момент1.8,времениt=to= const график, придает (с точностью до константы нормировки)плотность вероятности обнаружить частицу в точке хКак видно из рис.1.8,= v0 t 0+ 1~ .плотность вероятности достигает абсолютного= voto и быстро спадает до нуля в окрестностиэтого значения х, а второй максимум примерно в 20 раз меньшемаксимума при хабсолютного максимума.
Можно полагать, что частица локализованав области абсолютного максимума. Поэтому определим меру неопределенности координаты 6.х в волновом пакете шириной 6.k из условия6.у =voto))D.k6. ( D.k(x= 26.х = n.2него равенства наДомножим обе стороны послед-и получим соотношение неопределенности Гейзенhберга в форме:6.р6.х= 2nh.(1.18)Из соотношения, {1.18) следует, что в квантовойзадании импульса (6.р =О) координата частицылена (6.х = оо) и наоборот, при точном заданииимпульс частицы полностью не определен (6.р =координатаиимпульсзаданысмеханике, при точномполностью не опредекоординаты (6.х =О)оо).
В общем случае,неопределенностями6.х и 6.р, произведение которых пропорциональноh.соответственноЭто означает, чтоу микрообъектов нет точно определенной траектории. Формальный переход от квантовой механики к классической осуществляется в пределеh~О, при этом из(1.18)следует, что 6.р6.х ~О и, в классическомпределе, у частицы имеется точно определенные координата и импульс,т.е. траектория.Соотношение неопределенностей устанавливает пределы, за которыми законы классической физики становятся неприменимыми.Изнего следует, что классическая физическая система, описываемая динамическими переменными (координата и импульс), которые определенным образом зависят от времени и могут быть измерены с произвольной точностью,не существует.Описывая реальную системуклассическими методами, мы допускаем приближение, а соотношениенеопределенностей(1.18)показывает степень его справедливости. Заметим, в связи с этим, что вследствие малостиhсоотношение неопределенностей не играет роли в макроскопиче.fких явлениях.Чтобы понять почему волновые свойства· обнаруживаются только вмикромире, но не наблюдаются в повседневной жизни, оценим длинуволны де Бройля для макроскопической частицы массойщейся со скоростью1 см/сек.Из формулы(1.7)1 г,движуполучим, что длинаволны де Бройля такой частицы Л~ 6 · 10- 27 см и для обнаружениядифракции такой частицы требовался бы прибор с невероятно малымхарактерным размеромd "'Л.1.4.25Принцип суперпозиции.
Соотношение неопределенностейСоотношение неопределенностей в форме(1.18)было получено нами качественно. В более точной его формулировке, неопределенностькоординаты и импульса характеризуется среднеквадратичным отклонением их от средних значений:8р= ((р- (р))2)1/2 = ((р2)- (р)2)1/2,где угловые скобки () означают операцию усреднения физическихвеличин с помощью волновой функции (см. главу 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
