В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Можно показать,что, в терминах среднеквадратичных отклонений, соотношение неопределенностей координаты и импульса имеет вид( 1.19)что качественно соответствует ( 1.18). Соотношение неопределенностимежду координатой и импульсом (1.19) является частным случаем общего соотношения неопределенностей между парами так называемыхнесовместных физических величин (см. формулуВзаключениеотметим,чтоиз(2.12)).соотношениянеопределенностей ( 1.18) следует, что когда движение микрочастицы (например,электрона с массой rne) происходит в ограниченной области размера6.х = а, то ее кинетическая энергия зависит от размера этой областипо закону К = 6.p2 f2rne "' 7Г 2 h2 j2a 2 rne (мы опустили несущественныйздесь численный множитель). Зависимость энергии микрочастицы отразмера области, доступной для ее движения, называется квантовымразмерным эффектом.
Он играет определяющую роль в энергетическихспектрах электронов в низкоразмерных нанаструктурах (см. п. 4.4).Глава2МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙМЕХАНИКИ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА2 .1.Операторы физических величинИз волновой функции с помощью операторов можно извлечь информацию о физических величинах, характеризующих микрообъект.В волновой механике-это операторы умножения и дифференциро- матрицывания, а в матричном представлении квантовой механики(глава 6) . Введем операторы физических величин .Второй постулат квантовой механики:каждойклассическойфизическойвеличинесоответствуетоператор, а ее среднему значению, измеряемому в эксперименте,соответствует среднее значение оператора физической величины.С помощью волновой функции7/J(x, t)можно сразу вычислить среднее значение координаты х в момент времени(x}t =tпо формулеfхi'Ф(х, t)i dx = f'Ф*(х, t)x'lj;(x, t)dx,2(2.1)где х = х - оператор координаты (это просто умножение на х).
Аналогично, среднее от функции f(x) вычисляется по формуле(f(x)}t =J7/J*(x, t)f(x)'lj;(x, t)dx,т.е. оператор f(x) = f(x).Но если попытаться вычислить среднее значение импульса р, томы не сможем сразу это сделать, поскольку не знаем, какой оператор р (действующий на волновую функцию 7/J(x)) соответствует физической величине р. Найдем вид этого оператора, предполагая чтосреднее от оператора импульса записывается в форме, аналогичной(2.1): (P}t =f 'Ф*(х, t)p'lj;(x, t)dx.Рассмотрим простейший случай: частица совершает одномерное свободное движение вдоль оси х с точноопределенным импульсом р . Она описывается волновой функцией2.1.гдечастотаОператоры физических величинволны=wр2 f2mnf IФ(х, t)i 2dx = 1.Надо построить оператор fi такимвыполнялось W>t = р, т.е.итакже27точноопределенаобразом, чтобы в данном случаеfW>t = А 2 ехр ( -i*x) fiexp (i*x) dx = р.Поскольку А2f dx= 1, то оператор импульса в случаесвободногоодномерного движения вдоль х следует записать так:~~Р =Рх·-tc.д(2.2)= -2пдх·Постулируем далее, что в квантовой механике компоненте импульсаРх соответствует операторfix.задаваемый(2.2).Обобщая на трехмерный случай, получаем, что вектору импульса соответствует операторимпульса(2.3)где ех, еу,ez -единичные векторы вдоль осей х, у иz.Мы получили, таким образом, способ построения оператора, соответствующего произвольной физической величине, задаваемьй функциейf(r, р, t~ (например, полной механической энергии частицыH(r, р, t) = р /2m+ U(r, t), где U(r, t) - потенциальная энергия).Переход к оператору происходит следующим образом: f(r, р, t) -t оператор f(r, -in'\1, t), т.е.
координата в аргументе функции остается безизменения, а импульс заменяется на оператор импульса . Например,оператор полной энергии (гамильтониан) в случае трехмерного движения частицы имеет вид(2.4)где ~ = -д2дх2д2д2дудz+- 2 +-2 -оператор Лапласа.Рассмотрим важные свойства операторов физических величин.•Линейносm.!!. операторов.:._ все ~ерат~ы в ква!;!_товой механикелинейны (А(ф1+ Ф2) =Аф1+ Аф2),А(сф) = сАф), что обеспечивает выполнение принципа суперпозиции .• Эр.митовость операторов: оператор А - эрмитов, еслиfФi AФ2dr f (АФ1) *Ф2dr.=Все операторы физических величин в квантовой механике являются эр.митовы.ми.
Среднее значение эрмитового оператораравно(А)= JФ* Aфdr =f (АФ) *'tf;dr,Гл .282.Математический аппарат квантовой механикиа комплексно сопряженное значениет.е . (А)= (А)* -среднее значение эрмитового оператора - действительно. Аналогично, можно доказать, что собствен.н.ые зн.ачен.ия эрмитова оператора действительны.
Это соответствуюттому, что измеряемые в эксперименте физические величины действительны .Одной из важнейших в квантовой механике является задача н.асобствен.н.ые зн.ачен.ия и собствен.н.ые фун.к.ции операторов:Аср = Аср.(2.5)Для выбора решения, отвечающего заданным физическим условиям,к уравнению (2.5) добавляются граничные условия.Пример: задача н.а собствен.н.ые зн.ачен.ия и собствен.н.ые фун.к.ции одн.омерн.о~о оператора импульса :·п дер-2Для инфинитного движениядх( -оо=рср.< х < +оо)собственной функциейявляется волна де Бройляс собственным значением, равным р.Пусть теперь движение финитно, т.
е . происходит в ограниченнойобласти О<х< L.Наложим на волновую функцию периодическиеграничные условия:откуда1 = ехр (i*L)= exp(ikL) = coskL + isinkL,kпL = 27Гn, n = ±1, ±2 .Таким образом, в случае финитных движений (т. е . при наличии граничных условий) разрешены лишь квантоl}анные значения волновогочисла, в данном случаеkn = 27ГnL'и,соответственно,n= ±1 ' ±2 ... ,собственные функции образуют дискретныйнабор 'Рп(х) = ехр (iP.,.n х) = exp(iknx).
Квантованные волновые числа2.1.Операторы физических величин29называются квантовыми числами (частица находится в состояниис квантовым числом kn).Задача на собственные значения оператора Гамильтона свободнойknчастицы имеет видд21i2----r.p =Er.p(2.6)2mдх2и имеет те же решения'Pn(x)=An exp(iknx)с собственными значени-ями ·(2 .7)Таким образом, при финитном движении разрешены только определенные (дискретные) значения энергии (дискретный энергетическийспектр). При инфинитном движении разрешены все значения энергииО< Ер< +оо (непрерывный энергетический спектр).Полнота набора собственных функций.
Пусть 'Pn - набор собственных функций эрмитова оператора А, соответствующего какойлибо физической величине А:Ar.pn=An'Pn·Теорема (без доказательства) . Собственные функции эрмитова оператора образуют полный набор. Значит, произвольную функциюможно разложить по этим функциям. В частности, для волновой функции имеет место разложение'lj;(r, t) =L Cn(t)r.pn(r).(2.8)nКроме этого, собственные функции эрмитова оператора являются ортонормированнымиКоэффициенты разложенияCn(2.8)=определяются по формулеJr.p~(r)'lj;(r)dr.Для выяснения физического смысла коэффициентов разложения Cnзапишем условие нормировки :JI'Ф(r, t)l 2dx = LLc~(t)cm(t) Jr.p~(r)r.pm(r)dx =nmL len(t)1 2=1.nАналогично, можно показать, что среднее значение оператора(А)= J'lj;*A'lj;dr =LAnlcn(t)1 2 •n.(2.9)Гл.302.Таким образом,Математический аппарат квантовой механикиlc..(t)l 2 -вероятность обнаружения квантового объекта в состоянии с собственной функцией IPn(r) (в квантовом состоянииn) в момент времени t.
Разложение (2.8) составляет суть перехода откоординатного представления (в котором волновая функция объекта -это '1/J(r, t)) к представлению оператора А. В этом представлении рольволновой функции иГрает набор коэффициентов cn(t).При измерении физической величины А с вероятностями lcn(t)1 2получаются квантованные собственные значения An оператораА. Таким образом, набор собственных значений An задает наборзначений, которые может принимать физическая величина А.Если существует полный набор линейно независимых функций <;?m.которые являются собственными функциями как оператора А, таки оператора В, то соответствующие физические величины (называемыетакже наблюдаемыми) называются совместными.
Например, импульс иэнергия при свободном (в пространственно-однородном потенциальномполе) движении микрочастицы, три компоненты импульса или трикомпоненты радиуса-вектора частицы являются совместными наблюдаемыми. Напротив, импульс и энергия при движении микрочастицы в пространственно-неоднородном потенциальном поле, координатаи импульс являются несовместными наблюдаемыми.Теорема Если две физические величины А и В совместны, тоих операторы А и В коммутируют. Обратно: если два оператора А и В коммутируют и оператор А имеет невырожденныесобственные значения 1), то его собственные функции являютсясобственными функциями и оператора В, т.е.
величины А и Всовместны.Доказательство:A<pnОтсюда= Anl;?n,(АВ- в .А) l;?n =О,B<pn= Bnl;?n·'1/J(r, t) =L Cn (t) l;?n(r)nи(АВ- ВА)L Cn(t)<pn = (АВ- BA)'Ij; =О(2.10)nПоскольку'lj;-произвольная волновая функция, то из[А, в]= (Ав- в:4) = о(2.10)следует(2.11)Оператор (АВ- ВА) ~азывается коммутатором операторов А и Ви обозначается как [А, В].1)Невырожденному собственному значению An соответствует одна собственная функция <;?n, вырожденному- несколько собственных функций.2.2.Уравнение Шредингера31Для несовместных физических величин А и В коммутатор их операторов [А, В]"# О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
