В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Можно показать, что для несовместных физическихвеличин имеет место соотношение неопределенностей общего вида(2.12)где среднеквадратичные отклонения от средних значений равныОА =((А- (А))2)1/2 = ((А2)- (А)2)1/2,ов =((В_ (В))2}112= ((В2) _ (B)2)1f2,В частности, коммутатор операторов координаты и импульса равен[x,PJ = in ииз (2.12) получаем соотношение неопределенностей координаты и импульса в форме (1.19).Резюмируя, отметим, что наиболее интересные физические результаты, получаемые из изложенной выше формальной схемы волновойквантовой механики, состоят в следующем .
Для любого эрмитоваоператора А, связанного с определенной физической величиной А,собственные функции соответствуют состояниям, в которых эта физ~ческая величина имеет точно определенное значение (среднее значение оператора совпадает с собственным значением). Произвольизяволновая функция может быть разложена по собственным функциямэтого оператора. Физический смысл этого разложения состоит в том,чтосистеманаходитсявсуперпозиционномсостоянии,вкоторомкаждая собственная функция в разложении соответствует определенному возможному состоянию, которое получается при измерении А.Вероятность получения определенного значения An пропорциональнаквадрату модуля коэффициента перед соответствующей собственнойфункцией в разложении.
Суперпозиционные состояния, таким образом,соответствуют таким состояниям системы, в которых данная наблюдаемая не является точно определенной величиной (сравните с волновымпакетом (1.10)). Аналогичная формальная схема и соответствующиефизические результаты сохраняются и в матричной квантовой механике с заменой волновой функции на вектор состояния и дифференциальных операторов на матрицы.2.2.В главе1Уравнение Шредингерамы, опираясь на данные эксперимента, постулировалипростейшую волновую функцию-волну де Бройля, описывающуюпростейший тип движения квантового объекта- свободное движениечастицы.
Есть ли регулярный способ получения волновой функции призаданных физических условиях? Такой способ есть это решениеуравнения IПредингера для волновой функции. Уравнение IПредингера, играющее в квантовой механике ту же роль, что и уравнениеГл.322.Математический аппарат квантовой механикиНьютона в классической механике, вводится как постулат. Но есть физические соображения, которые подсказывают форму этого уравнения.Рассмотрим для простоты одномерный случай свободного движениямикрочастицы иопределим,какому волновому уравнению удовлетворяет волна де Бройля.Попробуем сначала использовать для наших целей волновое уравнение классической физики.
Оно имеет видд2ф2д2фдt2 =с дх2 •где1/J = 1/J(x, t) -(2.13)волновое поле (например, компонента вектора электрического поля в электромагнитной волне, плотность среды или давление в звуковой волне и т.д.), с - скорость распространения волны.Подстановкой= exp[i(kx- wt)] убеждаемся, что волна де Бройляявляется решением уравнения (2.13), если имеет место соотношениеw2 = k 2 c2 , т.е. квадрат частоты волны пропорционален квадрату волнового числа. Это так называемое дисперсионное соотношение связываетчастоту w и волновое число k в световой и звуковой волнах. Однако,для свободного движения микрочастицы имеет место другое соотношение, следующее из формулы де Бройля (1.5), а именно1/J(2.14)(частота пропорциональна квадрату волнового числа).Изменим классическое волновое уравнение (2.13), заменив вторуюпроизводную по времени на первую и подобрав при этом коэффициентытак, чтобы выполнялось соотношение (2.14).
Тогда для свободногодвижения получаем волновое уравнениеih дф =дt_!!._ .1.__1/J2m дх 2·(2.15)Заметим, что для свободного одномерного движения микрочастицып? д2~-2- - 2 =Н. Уравнение (2.15)- уравнение Шредингера для свободmдхной частицы (потенциальная энергия И=0).Обобщая, вводим постулат: для трехмерного движения частицы=с гамильтонианом Н= К(р) + U(r, t) H(r, р, t), где К(р) и U(r, t)- соответственно операторы кинетической и потенциальной энергии,имеет место уравнение Шредингера в формеih~~=(к(p)+U(r,t))'l/J.(2.16)Наконец, можно обобщить это утверждение на случай произвольной квантовой системы с гамильтонианом Н и записать в общем видеуравнение Шредингера (1926r.):i1i ~~ =H'l/J.(2.17)2.2.Уравнение Шредингера33Уравнения (2.15) и (2.16) - частные случаи общего уравнения Шредингера (2.17). Для нахождения решения уравнения Шредингерав частных производных (2.17) к нему надо добавить начальное и граничные условия.В общем случае оператор Гамильтона Н зависит от времени.
Квантовая система, для которой оператор Н не зависит от времени,называется(2.16)стационарной.Длястационарнойсистемыуравнениеупрощается.2.2.1. Стационарное уравнение ШредингеР-а. Пусть операторГамильтона частицы не зависит от времени: Н = К(р) + U(г) == H(r, р).Представим искомую волновую функцию в виде7/J(r, t) = f(t)<p(r)и подставим ее в уравнение Шредингерадf(2.17).Получаем:~ih<p(r) дt = f(t)H<p(r) .Разделим обе части уравнения.1дf~п f(t) дt=(2.18)1на~rp(r)H<p(r)<p(r)j(t).(2.18)Имеем= const =Е,(2.19)(поскольку функция ih f~t) ~{ зависит от только от t, а функция1~rp(r)H<p(r) зависит от только от r, то Е= const) . Из (2.19) следуетуравнение для временной части волновой функциидf = _ iEf(t)дt1i'решение которого даетf(t)Из=Сехр (- i:t).(2.19) следует также уравнение для пространствеиной части волновой функцииH<p(r) = E<p(r) .(2.20)Уравнение (2.20) называется стационарным уравнением Шредингера .Его можно рассматривать как задачу на собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона.
Набор собственных значенийоператора Гамильтона определяет энергетический спектр системы . Стационарное уравнение Шредингера (2.20) дополняется заданием граничных условий. На искомую волновую функцию накладываются требова-Гл.342.Математический аппарат квантовой механикиния ее непрерывности и непрерывности ее производной . Определеннаятаким образом собственная функция нормирована:Jlrp(r)l 2dr =1.Если стационарное уравнение Шредингера имеет дискретныйспектр, то полная волновая функция в координатном представленииимеет вид1/J(r,t) = LCnrt'n(r)exp ( -i~nt),где rt'n ~ собственные функции fl.Таким образом, мы построили общий алгоритм нахождения волновой функции 1/J(r, t) стационарной системы:1.
определяем гамильтониан стационарной системы Н;2. записываем стационарное уравнение Шредингера (2.20)с граничными условиями;3.решаяуравнениеШредингера,находимволновуюфункцию1/J(r, t).Найденная таким образом волновая функция, в соответствии с первымпостулатом квантовой механики, содержит наиболее полную информацию о квантовой системе. В последующем, используя этот алгоритм ,мы рассмотрим три задачи на определение энергетического спектрамикрочастицы. В п.
2.4 дан иллюстративный пример дискретного спектра частицы в прямоугольной яме, в главе 3 рассматривается дискретный спектр на примерах атома водорода и гармонического осциллятора,наконец в главе 4 рассмотрен зонный энергетический спектр электронав кристаллической · решетке. В п.ческиеспектрыэлектронав4.4кратко рассмотрены энергетинизкоразмерныхквантовыхструктурах(квантовых ямах, сверхрешетках и квантовых точках).2.3.Движение частицы в прямоугольнойпотенциальной ямеВ настоящем разделе, на основе стационарного уравнения Шредингера,мырассмотримзадачуо движениимикрочастицывпрямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме , допускающей простое аналитической решение и иллюстрирующей вместе с тем важныеособенности ограниченного в пространстве движения микрочастицы .Качественно рассмотрены прямоугольная яма конечной глубины и туннелирование квантовой частицы через энергетический барьер.Рассмотрим одномерное движени~ частицы массы т вдоль оси хв прямоугольной потенциальной яме (рис.
2.1). Это пример финитногодвижения-движения в ограниченной области пространства.Гамильтоннан частицы имеет вид(2.21)Движение частицы в прямоугольной потенциальной яме2.3.35U(x)-----,---__ !!_<!_ ---------.---Е-а/2Рис.2.1.оа/2хЗависимость потенциальной энергии микрочастицыU(x)наты х в случае прямоугольной потенциальной ямы глубины Ио . Еот коорди-полнаяэнергия микрочастицыгде И(х)= Ио при х< -а/2,х> а/2и И(х) =О, при -а/2 ~ х ~aj2.Соответствующее стационарное уравнение Шредингера записывается в видеh2 д2( - m дх 22где Е-+ И(х) )rp(x) = Erp(x),(2.22)собственное значение оператора Гамильтона (полная энергиячастицы) .2.3.1. Прямоугольная бесконечно глубокая яма.
Сначала мырассмотрим более простую бесконечно глубокую потенциальную яму=с Иооо . Если микрочастица находится внутри такой ямы , то онане может из нее выйти, поскольку на границах ямы на нее действуютбесконечно большие силы Fx = -д И/ дх, направленные внутрь ямы .Поэтому в области вне ямы (х < -а/2, х > а/2) волновая функцияrp(x) =О и граничные условия для rp(x) имеют видrp( -а/2) = rp( а/2) =О.(2.23)Потенциальная функция И(х) =О в интервале -а/2 ~ х ~ а/2, поэтому уравнение (2.22) внутри ямы приобретает форму(2.24)Если не накладывать на решение граничные условия , то уравнение(2.24)описывает свободное движение микрочастицы с кинетическойэнергией Е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
