Главная » Просмотр файлов » В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты

В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 7

Файл №1161735 В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты) 7 страницаВ.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735) страница 72019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Можно показать, что для несовместных физическихвеличин имеет место соотношение неопределенностей общего вида(2.12)где среднеквадратичные отклонения от средних значений равныОА =((А- (А))2)1/2 = ((А2)- (А)2)1/2,ов =((В_ (В))2}112= ((В2) _ (B)2)1f2,В частности, коммутатор операторов координаты и импульса равен[x,PJ = in ииз (2.12) получаем соотношение неопределенностей коор­динаты и импульса в форме (1.19).Резюмируя, отметим, что наиболее интересные физические резуль­таты, получаемые из изложенной выше формальной схемы волновойквантовой механики, состоят в следующем .

Для любого эрмитоваоператора А, связанного с определенной физической величиной А,собственные функции соответствуют состояниям, в которых эта фи­з~ческая величина имеет точно определенное значение (среднее зна­чение оператора совпадает с собственным значением). Произвольизяволновая функция может быть разложена по собственным функциямэтого оператора. Физический смысл этого разложения состоит в том,чтосистеманаходитсявсуперпозиционномсостоянии,вкоторомкаждая собственная функция в разложении соответствует определен­ному возможному состоянию, которое получается при измерении А.Вероятность получения определенного значения An пропорциональнаквадрату модуля коэффициента перед соответствующей собственнойфункцией в разложении.

Суперпозиционные состояния, таким образом,соответствуют таким состояниям системы, в которых данная наблюда­емая не является точно определенной величиной (сравните с волновымпакетом (1.10)). Аналогичная формальная схема и соответствующиефизические результаты сохраняются и в матричной квантовой механи­ке с заменой волновой функции на вектор состояния и дифференци­альных операторов на матрицы.2.2.В главе1Уравнение Шредингерамы, опираясь на данные эксперимента, постулировалипростейшую волновую функцию-волну де Бройля, описывающуюпростейший тип движения квантового объекта- свободное движениечастицы.

Есть ли регулярный способ получения волновой функции призаданных физических условиях? Такой способ есть это решениеуравнения IПредингера для волновой функции. Уравнение IПредин­гера, играющее в квантовой механике ту же роль, что и уравнениеГл.322.Математический аппарат квантовой механикиНьютона в классической механике, вводится как постулат. Но есть фи­зические соображения, которые подсказывают форму этого уравнения.Рассмотрим для простоты одномерный случай свободного движениямикрочастицы иопределим,какому волновому уравнению удовлетво­ряет волна де Бройля.Попробуем сначала использовать для наших целей волновое урав­нение классической физики.

Оно имеет видд2ф2д2фдt2 =с дх2 •где1/J = 1/J(x, t) -(2.13)волновое поле (например, компонента вектора элек­трического поля в электромагнитной волне, плотность среды или дав­ление в звуковой волне и т.д.), с - скорость распространения волны.Подстановкой= exp[i(kx- wt)] убеждаемся, что волна де Бройляявляется решением уравнения (2.13), если имеет место соотношениеw2 = k 2 c2 , т.е. квадрат частоты волны пропорционален квадрату волно­вого числа. Это так называемое дисперсионное соотношение связываетчастоту w и волновое число k в световой и звуковой волнах. Однако,для свободного движения микрочастицы имеет место другое соотно­шение, следующее из формулы де Бройля (1.5), а именно1/J(2.14)(частота пропорциональна квадрату волнового числа).Изменим классическое волновое уравнение (2.13), заменив вторуюпроизводную по времени на первую и подобрав при этом коэффициентытак, чтобы выполнялось соотношение (2.14).

Тогда для свободногодвижения получаем волновое уравнениеih дф =дt_!!._ .1.__1/J2m дх 2·(2.15)Заметим, что для свободного одномерного движения микрочастицып? д2~-2- - 2 =Н. Уравнение (2.15)- уравнение Шредингера для свобод­mдхной частицы (потенциальная энергия И=0).Обобщая, вводим постулат: для трехмерного движения частицы=с гамильтонианом Н= К(р) + U(r, t) H(r, р, t), где К(р) и U(r, t)- соответственно операторы кинетической и потенциальной энергии,имеет место уравнение Шредингера в формеih~~=(к(p)+U(r,t))'l/J.(2.16)Наконец, можно обобщить это утверждение на случай произволь­ной квантовой системы с гамильтонианом Н и записать в общем видеуравнение Шредингера (1926r.):i1i ~~ =H'l/J.(2.17)2.2.Уравнение Шредингера33Уравнения (2.15) и (2.16) - частные случаи общего уравнения Шре­дингера (2.17). Для нахождения решения уравнения Шредингерав частных производных (2.17) к нему надо добавить начальное и гра­ничные условия.В общем случае оператор Гамильтона Н зависит от времени.

Кван­товая система, для которой оператор Н не зависит от времени,называется(2.16)стационарной.Длястационарнойсистемыуравнениеупрощается.2.2.1. Стационарное уравнение ШредингеР-а. Пусть операторГамильтона частицы не зависит от времени: Н = К(р) + U(г) == H(r, р).Представим искомую волновую функцию в виде7/J(r, t) = f(t)<p(r)и подставим ее в уравнение Шредингерадf(2.17).Получаем:~ih<p(r) дt = f(t)H<p(r) .Разделим обе части уравнения.1дf~п f(t) дt=(2.18)1на~rp(r)H<p(r)<p(r)j(t).(2.18)Имеем= const =Е,(2.19)(поскольку функция ih f~t) ~{ зависит от только от t, а функция1~rp(r)H<p(r) зависит от только от r, то Е= const) . Из (2.19) следуетуравнение для временной части волновой функциидf = _ iEf(t)дt1i'решение которого даетf(t)Из=Сехр (- i:t).(2.19) следует также уравнение для пространствеиной части волно­вой функцииH<p(r) = E<p(r) .(2.20)Уравнение (2.20) называется стационарным уравнением Шредингера .Его можно рассматривать как задачу на собственные функции и соб­ственные значения оператора Гамильтона.

Набор собственных значенийоператора Гамильтона определяет энергетический спектр системы . Ста­ционарное уравнение Шредингера (2.20) дополняется заданием гранич­ных условий. На искомую волновую функцию накладываются требова-Гл.342.Математический аппарат квантовой механикиния ее непрерывности и непрерывности ее производной . Определеннаятаким образом собственная функция нормирована:Jlrp(r)l 2dr =1.Если стационарное уравнение Шредингера имеет дискретныйспектр, то полная волновая функция в координатном представленииимеет вид1/J(r,t) = LCnrt'n(r)exp ( -i~nt),где rt'n ~ собственные функции fl.Таким образом, мы построили общий алгоритм нахождения волно­вой функции 1/J(r, t) стационарной системы:1.

определяем гамильтониан стационарной системы Н;2. записываем стационарное уравнение Шредингера (2.20)с гранич­ными условиями;3.решаяуравнениеШредингера,находимволновуюфункцию1/J(r, t).Найденная таким образом волновая функция, в соответствии с первымпостулатом квантовой механики, содержит наиболее полную информа­цию о квантовой системе. В последующем, используя этот алгоритм ,мы рассмотрим три задачи на определение энергетического спектрамикрочастицы. В п.

2.4 дан иллюстративный пример дискретного спек­тра частицы в прямоугольной яме, в главе 3 рассматривается дискрет­ный спектр на примерах атома водорода и гармонического осциллятора,наконец в главе 4 рассмотрен зонный энергетический спектр электронав кристаллической · решетке. В п.ческиеспектрыэлектронав4.4кратко рассмотрены энергети­низкоразмерныхквантовыхструктурах(квантовых ямах, сверхрешетках и квантовых точках).2.3.Движение частицы в прямоугольнойпотенциальной ямеВ настоящем разделе, на основе стационарного уравнения Шре­дингера,мырассмотримзадачуо движениимикрочастицывпрямо­угольной бесконечно глубокой потенциальной яме , допускающей про­стое аналитической решение и иллюстрирующей вместе с тем важныеособенности ограниченного в пространстве движения микрочастицы .Качественно рассмотрены прямоугольная яма конечной глубины и тун­нелирование квантовой частицы через энергетический барьер.Рассмотрим одномерное движени~ частицы массы т вдоль оси хв прямоугольной потенциальной яме (рис.

2.1). Это пример финитногодвижения-движения в ограниченной области пространства.Гамильтоннан частицы имеет вид(2.21)Движение частицы в прямоугольной потенциальной яме2.3.35U(x)-----,---__ !!_<!_ ---------.---Е-а/2Рис.2.1.оа/2хЗависимость потенциальной энергии микрочастицыU(x)наты х в случае прямоугольной потенциальной ямы глубины Ио . Еот коорди­-полнаяэнергия микрочастицыгде И(х)= Ио при х< -а/2,х> а/2и И(х) =О, при -а/2 ~ х ~aj2.Соответствующее стационарное уравнение Шредингера записывается в видеh2 д2( - m дх 22где Е-+ И(х) )rp(x) = Erp(x),(2.22)собственное значение оператора Гамильтона (полная энергиячастицы) .2.3.1. Прямоугольная бесконечно глубокая яма.

Сначала мырассмотрим более простую бесконечно глубокую потенциальную яму=с Иооо . Если микрочастица находится внутри такой ямы , то онане может из нее выйти, поскольку на границах ямы на нее действуютбесконечно большие силы Fx = -д И/ дх, направленные внутрь ямы .Поэтому в области вне ямы (х < -а/2, х > а/2) волновая функцияrp(x) =О и граничные условия для rp(x) имеют видrp( -а/2) = rp( а/2) =О.(2.23)Потенциальная функция И(х) =О в интервале -а/2 ~ х ~ а/2, поэто­му уравнение (2.22) внутри ямы приобретает форму(2.24)Если не накладывать на решение граничные условия , то уравнение(2.24)описывает свободное движение микрочастицы с кинетическойэнергией Е .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
60,34 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее