В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Существуют два основных подхода к определению электронного энергетического спектра в кристаллах--это приблиJКениепочти свободных электронов и приблиJКение сильной связи. Рассмотрим отдельно каJКдый из них.4.2.1.Зонный энергетический спектр в приближении почтисвободных электронов.Мыисходимизмоделисвободногоэлектронного газа и смотрим, как изменяется волновая функцияиспектрэнергиипотенциал,электронасоздаваемыйприпомещенииионнойрешеткойеговпериодическийкристалла(рис .4.3) .Определяющую роль в этих изменениях играет дифракция свободногоэлектрона на периодической решетке ионов . Фактически, в этомприблиJКении мы и рассматривали уравнение Шредингера, потомучто мы задавали волновую функцию электрона как пакет плоскихволн.
Мы нашли, что волновая функция электрона в периодическомпотенциале задается функцией Блоха 'Фk = Ak(x)eikx, где амплитудакакAk(x)периодичнаизменяетсяспектрспериодомэнергиирешетки.электронаПосмотримпритеперь,помещенииегов периодический потенциал.аЕсли электрон свободен (но нах"одится в «ящике» размера L), тоего энергетический спектр определяется соотношением Ek = h 2 k 2 j2me .График представляет собой параболу (рис .тован4.4),волновой векторвследствиекванkпериодическихграничных условий. Размер ячейки квантования2n / L,гдеL --размер кристалла. КаJКдому значениюkсоответствует энергетический уровень. ПереРис.в4.3.Ионнаякристалле.решеткаапериодкристаллическойВнизурешетки.зависимостьотрица-ходя к модели почти свободных электельнойтронов, мы вводим в ящик слабый певзаимодействияриодическийс ионной решеткой U(x) откоординаты (О обозначаетнооJКидать,потенциалчтоприионов.этомМоJКсохраняется параболическая зависимость, слабокулоновскойэнергииэлектронанулевую энергию)возмущенная периодическим потенциалом, и записать :(4.18)Вследствие взаимодействия с решеткой масса свободного электроназаменяется эффективной массойНо так обстоит дело лишь в области, где k достаточно мало и длина волны электрона 2n/k многобольше периода решетки.m:.Гл.62Рис.4.4.числаk.4.Движение электрона в периодическом потенциале7Г27Г7ГаLаkПараболическая зависимость энергии электронаВ точкахEkот волнового-1rjaи 1rja она должна сильно искажаться благодарядифракционным эффектам (ер.
рис. 4.6)Если мы перейдем к достаточно большим значениям k (когда длинаволны приблиЖается к периоду решетки), то дифракционные эффектыочень сильно изменяют дисперсионную зависимость.Проанализируем качественно, что при этом происходит. В этом анализе будем пренебрегать зависимостью амплитуды функции Блоха откоординаты и считать, что волновая функция электрона - приближенно плоская волна:'1/Jk = Aeikx. Она описывает электрон, движущийсяв кристалле в положительном направлении оси х. Перейдем в точку наоси k, в которой k = 7Г /а, где а - это период кристаллической решетки.Здесь происходит эффективное рассеяние (дифракция) волны на периодической структуре.
Волны, рассеянные на периодической решетке,конструктивно интерферируют друг с другом и дают рассеянную назадволну. Условия конструктивной интерференции задаются условиями. Брэгга.Получим их . для рассматриваемого случая. На одномернуюрешетку с периодом а падает плоская волна, она частично отражаетсяот атомной nлоскости, что дает обратную волну1,частично проходитдальше и отражается от второй плоскости (отраженная волна1 и волна 2 интерферируют друг с другом (рис. 4.5).2).Волна;~аРис.4.5.Отражение электронной волны от атомных плоскостей. Разность ходамежду отраженными волнами1и2равна 2а4.2.63Зонная структура энергетического спектра электронаУсловие их конструктивной интерференции заключается в том, чторазность хода 2а равняется целому числу волн:2а = т.Л,(4.19)где т целые (положительные и отрицательные) числа.
Отсюдаполучаем, что отраженная назад волна будет возникать в точках1Гkm =-т.(4.20)аМы будем проводить дальнейшие рассуждения для точек на положительной полуоси k, но то же самое будет и происходить в точках,лежащих симметрично относительноПри т=1k=Она отрицательной полуоси .получается первая такая точка:этом значенииkk1= m/2 = 1rja.Прибудет происходить конструктивная интерференцияотраженных волн, и возникнет обратная волна. Эта точка называетсяграницей первой зоны Бриллюэна.
Вторая граница этой зоны лежитв точке -91/2 = -1rja. Зона Бриллюэна, следовательно, имеет ширину,равную вектору обратной решетки 91 = 21Г /а. Таким образом, в волновом пакете(4.21)gна границе зоны Бриллюэна (k = 91 /2) есть падающая волна с 9 =C(~)ei~x.и есть отраженная волна с0:(4.22)9 = 91С (k - 91) e-iDfx = С(-~ )e-i~x.(4.23)Можно показать, что амплитуды этих двух волн много больше амплитуд остальных волн в волновом пакете (4.21) .
Тогда изуравнения Шредингера, (4.15), на границе первой зоны Бриллюэна,k= 91/2 = 1rja, следует однороднаясистема двух алгебраических уравнений для амплитуды падающей волныC(9 1 j2) и амплитуды отраженной волны С( -91/2):(Е~1 ; 2 - Е)С(91/2)U_ 91 C(91/2)+ И91 С( -91/2) =О,+ (Е~ 91 ; 2 - Е)С(-91/2) =О,h2k2где Е2 = -2= E'!_k (важно отметить, что те те(4.24)масса свободногоэлектрона).
Из равенства нулю детерминанта системы(4.24)получаемуравнение, решение которого дает:(4.25)Гл.644. Движениеэлектрона в периодическом потенциалеТаким образом, электрон с волновым вектором k = g,j2 (на границезоны Бриллюэна) имеет два значения энергии. Эти значения лежатсимметрично выше (Е+) и ниже (Е_) энергии свободного электронаЕ~ 112 с волновым вектором k = 9t/2. В точке k = -91/2, на другойгранице зоны Бриллюэна, происходит то же самое.Кривая зависимости энергии от волнового векторабодного электрона, движущегосяkпочти свов периодической ионной решетке,изображена на рис .
4.6. Кривая дисперсии становится плоской вблизиграницы и в нейпоявляется разрыв на границе зоны Бриллюэна.Появляется зона запрещенных энергий (или просто запрещенная зона).Ширина запрещенной зоны в данной модели, как следует из (4.25),равна Е9 = 2IИ91 I.7r7rоРис.4.6.Зависимость энергии от волнового вектораkааkпочти свободного электрона, движущегося в периодической ионной решеткеТочно на границе зоны Бриллюэна падающая и отраженная волнаимеют одну и ту же по величине амплитуду. Общее решение уравненияШредингера здесь задается суперпозицией прямой и отраженных волн:-;1)- e-i!lfx,1Р+(х) = rC ( ~) + ei~x +с ( -;1) + e-i~x.1/J-(x) =С ( ~1)- ei~x +С ((4.26)Отношения коэффициентов находятс:"/ из соотношений(4.27)следующих из (4.24) и (4.25).
При записи (4.27) использовано то, чтофурье-компонента действительной и четной функции U(x) (рис. 4.3)4.2.Зонная структура энергетического спектра электронаобладает свойством И9 , =и;,И9 , <О.= И_ 91 •65Кроме того для И< О имеемВ результате, получаются две стоячие волны, причем знаку ~->>соответствует косинус, а знаку ~+»'1/J.c:_ (х) =-синус:С ( ei1lfx + e-iJlfx)=2С cos ~х,(4.28)'Ф+(х) =С ( ei~x- e-iJlfx) = 2iC sin ~х.И теперь понятно, почему имеются два значения энергии на границезоны Бриллюэна. Имеется периодический ряд положительно заряженных ионов с периодом а, и плотность величины электронного заряда lelI'Ф-(x)l 2 имеет максимумы в точках расположения ионов (см рис. 4.7),а leii'Ф+(x)l 2 имеет максимумы посредине между ядрами.х=ОРис.4.7.Периодический ряд ионов с периодом а.
Среднее расстояние электронаот иона в состоянии 'Ф- меньше, чем в состоянии 'Ф+Средняяпотенциальнаяэнергияэлектрон-ионногокулоновскоговзаимодействия будет меньше для состояния I'Ф-(x)l 2 и, благодаряэтому, полная энергия в состоянии (-) лежит ниже энергии (+). Итак,из-за того, что на границе зоны Бриллюэна имеются две собственныефункции оператора Гамильтона с двумя различными собственнымизначениями энергии получается расщепление спектра-зонная картина.Аналогичное расщепление зон и появление запрещенных зон происходит и в точках27Г37Гаа±-, ±-, ...на осиk.В результате, получаетсяuмного зон разрешенных энергии, отделенных друг от друга запрещен•ными зонами.Это так называемая схема расширенных зон. А есть еще одна, более- так называемая схема приведенныхзон.
Она основана на том, что волновая функция Блоха обладает елечасто употребляемая картинаГл.664.Движение электрона в периодическом. потенциалео7rаРис.4.8 . .Схема,,о27r7rLаприведеиных зон. Е9 -kширина запрещенной зоныдующим свойством: если сдвинуть k на целое число векторов обратнойрешетки, то волновая функция не меняется:'Фk(х) = 'Фk±u(x).(4.29)Если волновая функция инвариантна при таком сдвиге, то и спектрэнергии тоже должен быть инвариантен . Поэтому мы можем сдвигатьспектр вдоль осичт9 векторkkна любой вектор обратной решеткиg,используя то,определен с точностью до произвольнаго вектора обратнойре5детки. Эта схема называется схемой приведеиных зон.
В ней всев~тви спектра приводятся к первой зоне Бриллюэна (рис . 4.8) .4.2.2. Зонный энергетический спектр в приближении сильной связи. Образование энергетических зон из атомных уровней.Приближение почти свободных электронов описывает валентные электроны, т . е. наиболее слабо связанные с ядром электроны внешнихэлектронных оболочек атома. При образовании кристалла они обобществляются и образуют электронный газ, на который ионы оказывают периодическое в прqстранстве воздействие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
