В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так,на временах, больших Т2 , квантовый бит (кубит) превращается в классический бит (см. п. 8.2), что представляет собой большую проблемудля физической реализации квантового компьютера (п. 11. 7) . В ла-5.4. Хранениечисел и реализация логических операции87зерах, наоборот, явление декогеренции играет конструктивную роль,приводя, на временах больших Т2, к подстройке фазы поляризации всехизлучающих двухуровневых атомов под фазу электромагнитного поляв резонаторе лазера (вынужденное излучение) (см.
п. 8.3).Хотя принцип работы транзистора классический, он, по сути, является квантовым прибором, потому что основан на квантовой зоннойсхеме полупроводника. Полупроводниковый транзистор-это основасовременного компьютера, так как биты в компьютерных чипах реализуются транзисторами.5.4.Хранение чисел и реализация логическихоперации с помощью полупроводниковыхтранзисторовВ памяти компьютера число хранится в двоичном коде в виде последовательности нулей и единиц.
В полупроводниковой памяти каждаябинарная ячейка памяти, содержащая ноль (или единицу), реализуетсятранзистором, работающим как переключатель. Транзистор с током,текущим от коллектора к эмиттеру, реализует состояние ноль, а транзистор без тока состояние единица . На рис. 5.8 показана схематакого переключения транзистора (сравните с рис. 5.7).и>ОR!ТОК JRJ=OИ=Оба>Рис. 5.8. а) Транзистор включен. Постоянно действующее напряжение исО, управляющее напряжение иис, R - сопротивление. б) Транзисторвыключен.
иО, ток JО<>==Операции сложения, вычитания, умножения и деления выполняются с помощью логических операторов, таких как AND, OR, NOTи других .Рассмотрим, в качестве примера, простейшую логическую операциюNOT,изображаемую следующим образом:Если на входе О, то на выходе1,если на входе1,то на выходе О.Эта операция реализуется транзистором, работающим как инвертор: наГл.885.р- nпереход и Физическая реализация битов:•1NОТ ~- -1- : - - ·входе А, на выходе А (не А). Схема транзисторного инвертора показанана рис.5.9(сравните с рис.
5.8).Рис.5.9.Реализация оператораNOTс помощью транзистораВ этой схеме за О принимается малое значение входного (Ивх) иливыходного (Ивых) напряжения, а за 1 принимается большое значение(Ивх) или (Ивых) . Когда входное напряжение Ивх на базе транзисторавелико, А =1,транзистор включен и проводит токJ,так что всепостоянно приложеиное напряжение Ис падает на сопротивленииR(Ис = JR), при этом выходное напряжение Ивых равно нулю (А= 0).Когда же входное напряжение Ивх мало (А= 0), т_Q_анзистор выключен, ток J =О и выходное напряжение Ивых = Ис(А = 1). Таким жеобразом, комбинируя большее число транзисторов, реализуют сложныелогические операторыAND, ORи другие .За один такт при выполнении программы осуществляется переключение нескольких транзисторов из состояния с током в состояниебез тока (или наоборот).
Как видите, это классические представления,и транзистор работает i3 классическом приборе - компьютере, но основа работы прибора - по сути квантовая . Если перейти от квантовоймеханики к классической, то р- nпереход исчезает, так как в классическом пределе зонной структуры нет и дырки, как существенноквантовые объекты, исчезают.Объективная тенденция в микроэлектронике сегодняатюризация транзисторов, реализующих ою)н бит (рис.- это1.2), иминив перспективе, создание компьютера, использующего для реализации одногобита один квантовый объект (атом, спин) (см.
главу11).Глава6ОПЕРАТОРЫ МОМЕНТА ИМПУЛЬСАИ ОРБИТАЛЬНОГО МАГНИТНОГО МОМЕНТА.СПИН. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКАКВАНТОВОЙ МЕХАНИКИНашей темой в6и7главах является спин-собственный механический момент электрона и соответствующий спиновый магнитныймомент. Спиновый магнитный момент является базовым элементомустройств квантовой обработки информации. Понятие спина вводится по аналогии с орбитальным механическим моментом (моментомимпульса) электрона в атоме. Поэтому сначала стандартным образом вводится оператор орбитального момента импульса, находятся егоёобственные функции и собственные значения .
Рассматривается пространствеиное квантование вектора орбитального магнитного момента .Далее обсуждается эксперимент по обнаружению спина и устанавливается аналогия квантовых свойств спина и орбитального магнитногомомента. Для введения операторов спина - квантового объекта, неимеющего классического аналога, осуществляется переход от волновойк матричной формулировке квантовой механики. В волновой квантовоймеханике физические величины представлены дифференциальнымиоператорами, действующими на волновую функцию. В матричном представлении, которое используется в квантовой информации, операторЫфизических величин представлены матрицами, а волновая функциязаменяется вектором-столбцом (вектором состояния). Оператор спинавводится в матричном представлении в главе 7.6.1.Связь орбитального магнитного моментаэлектрона в атоме с моментом импульсаВ соответствии с классической планетарной моделью атома, электрон движется по орбите радиусаядра со скоростьюv(рис.6.1).rвокруг положительно заряженногоОрбитальное движение электрона вызывает круговой электрический ток в атоме.Величина тока по определению-это заряд, проходящий черезсечение проводника за единицу времени:J=~· Т=2:r.Гл.
б. Спин. Матричная формулировка квантовой механики90Таким образом:LJ=~.21Гrздесь-евеличинаэлектрона (е> 0) .тродиJiамикизарядаИз элекизвестно,чтоJ.Lс круговым движением зарядаРис.(«витком тока>>) связан маг6.1 .Орбитальное движение электро·нов в атоменитный момент, величина которого21ГТJ.L= J - ,сгде с-скорость света в вакууме.Орбитальный механический момент электрона равен:L= [r · p],где р = те v;rимпульс электрона. Таким образом, движение электрона в атоме характеризуется координатой, импульсом и орбитальныммоментом импульса, который, для краткости, чаще называют моментомимпульса. В случаеr j_p(рис.6.1)L = rmev.Из этих формул получаем, чтовеличина орбитального магнитногомомента связана с величиной момента импульса:еJ.Ll = -2-L,тесгде мы обозначили орбитальный магнитный момент через(6.1)J.Ll · Удобноввести величину, назьiваемую магнетоном Бораe1i2meCJ.Lв=--,тогда из(6.1)получим следующую формулу, связывающую векторыорбитальных магнитного и механического rуюментов :/1-BLJ.l.!=--.1i(6.2)Знак минус обусловлен отрицательным зарядом электрона (вектор орбитального моментаLлению вектора J.L (рис.направлен в сторону противоположную направ6.1) .6.2.6.2.Операторы .момента импульса91Операторы момента импульсаВведем оператор вектора орбитального момента частицыL= [rp].Рассмотрим три его проекции на оси х, у,Lхz:~~·~( д= YPz- ZPy= ~nZд~ - XPz~ =L у = ZPx~L z = ХРу-~УРх·~( 'lJZn Х дzд)-У дz•д ),- Zдх·~( д= ZrьУ дх -д)Х ду.Здесь использован оператор импульсаРгде'V --in'V,=оператор градиента.Определим правила коммутации операторов момента импульсас аператорами координат и импульсов.
Можно показать, что[Lx,x] =О,[Lx. у] = inz,[Lx. z] = -iny,[Ly,y] =о,[Ly. z] = inx,[Ly. х][Lz,z] =О,[Lz, х] = iny,[Lz, у]= -inx.=-inz,Например,[Lx, у] = LxY- YLx = (YPz- Zpy)Y- Y(YPz- Zpy) = inz.Аналогичные соотношения коммутации имеют место для операторовмомента импульса и импульса[Lx.Px] =О,[Lx.Py]inpz,[Lx,Pz] = -i1ipy,[Ly.Py] =О,[Ly.Pz] = inpx,[Ly.Px] = -inpz,[Lz.Pz] =О,[Lz,Px] = inpy.[Lz,Py] = -ihPx·=При помощи этих формул можно найти правила коммутации для операторов компонент момента импульса друг с другом[Lx.
Ly] = n(LxLy- LyLx) = Lx(ZPx - Xpz)- (zpx - Xpz)Lx == (Lxz- ZLx)Px- x(LxPz- PzLx) = -iYPx + ixpy = ihLz.Таким образом, имеемГл. б. Спин. Матричная формулировка квантовой механики92[Ly, Lz] = inLx,[Lz, Lx]=(6.3)inLy.Введем оператор квадрата вектора полного момента импульса:Е 2 = Ц +Е~ +Е;.Этот оператор коммутирует с каждым из операторов Lx, Ly. Lz:[L 2 ,Lx] =О,Соотношения(6.3)и(6.4)(6.4)означают, что квадрат момента импульсаможет быть одновременно измерен только с одной из проекций момента, при этом две другие проекции остаются неопределенными.6.2.1.
Собственные функции и собственные значения оператора момента импульса. Определим возможные значения проекциимомента импульса на какое-либо произвольно выбранное направлениеи возможные значениЯ абсолютной величины момента импульса. Длярешения этой, · задачиперейдемзадав направление осиz.всферическуюПосле преобразованиясистему координат,(3.2)из декартовойсистемы координат в сферическую получимLx = in(sin<p :о +ctgOcosrp :'Р),Ly= -in(cosrp :о- ctgllsinrp :'Р),~.дLz = -~п д'Р'~2(6.5)(6.6)(6.7)2L = -п D..o,rp.(6.8)где D..o,; есть оператор Лапласа для сферы, формула (3.4).Поставим задачу о нахождении собственных значений и собственных функций оператораL2 всферических координатах:(6.9)где L 22.- собственное значение оператораЗадача (6.9) рассмотрена в главе 3 при решении уравнения Шредингера для атома водорода.
Собственным\{ функциями являются сферические функции1/JL,m(ll,rp)=Yt,m(ll,rp),Ll=0,1,2, ... ,m=0,±1,±2, ....(6.10)Собственные значения квадрата момента импульса равны(6.11)6.3.Квантование орбитального магнитного момента электрона93Задача на собственные значения оператора проекции момента импульса на осьzсостоит в решении уравнения(6.12)В сферической системе координат, согласнообретает вид(6.7),это уравнение при'1/J!,m.Подставив сюда собственную функцию 'Ф =и учитывая, что оназависит от ер как e•m'f', получаем, что 'Фl,m удовлетворяет уравнению(6.12)при собственных значениях оператораLz= nт,т=Lz0,±1, ...
,±l.(6.13)Соответственно, квадрат орбитального магнитного моментаJ.LF=p,~z(z + 1)(6.14)и проекция орбитального магнитного момента на ось(p,z)z6.3.= J.Lв ·т.zравна(6.15)Квантование орбитального магнитного моментаэлектрона в атоме водородаРассмотрим в качестве примера атом водорода, в котором состояние электрона описывается волновой функциейn = 1, 2, 3, ... -главное квантовое число,тальное квантовое число, т=l =-l, ... , +l -О,'1/Jn,l,m(r, (),ер), где1, 2, .
.. , n - 1 - орбимагнитное квантовое число(см. главу 3).В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИn = 1, l =О, тJ.Ll = O,J.Lz=О,=О.Орбитальный магнитный момент равен нулю. Качественно это объясняется тем, что s-орбиталь имеет сферическую форму, её можнопредставить как суперпозицию континуума круговых орбит. Системасо сферической симметрией не должна иметь магнитного момента.В первом возбужденном состоянииn = 2, l =l=О, т=О,1,т=0,±1.Гл . б. Спин. Матричная формулировка квантовой механики94,".~,-\11\,')~.".."."'/1-------- -,,,,____f.LB_....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
