В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 18
Текст из файла (страница 18)
_"45°1IE------.11\\.j2 f.LB................ >-::.',"11\Рис . 6 . 2.'.... .... ___________/.".".~Квантование вектора орбитального магнитного момента электронав атоме водорода в состоянии n = 2В в-состоянии (l = О) орбитальный магнитный момент f.ll = О. В рсостоянии (l = 1) J.Lt = 2J.Lt, а проекции момента (J.LL)z =О, ±J.Lв.На рис. 6.2 показана схема квантования орбитального момента дляслучая n = 2. Вектор длины v2 J.Lв может занимать три угловыхположения в пространстве .
Посколькуf.lx и f.ly не определены, то в состоянии т = ± 1 вектор Jll может находиться где угодно на поверхностиконусов под углом 45° к оси z, а в состоянии т= О, конец вектора Jllможет находиться где угодно на окружности радиусаТо обстоятельство, чтоясняется тем,Lxичто сферическаяLyv2 J.Lв .полностью не определены, объфункция,квадрату модуля которойпропорциональна плотность вероятности, зависит от <р какПоэтому плотность вероятности обнаружить проекцию вектора орбитального момента на плоскость ху с углом <р не зависит от этого угла:IYi,m(<p)j 2 = const.6.4.СпинПомимо орбитального механического момента, электрон обладаетсобственным механическим моментом, называемым спином.
Однимииз наиболее простых и ярких экспериментов, доказывающих существование спина, являются эксперименты Штерна и Герлаха (1922 г),суть которых заключается в следующем. Узкий пучок атомов серебрав основном состоянии (в-состоянии) пропускается через неоднородноемагнитное поле (направленное вдоль оси z) и наблюдается расщепление пучка на две компоненты (рис.
6.3).6.4.95Спин.Оrсутствиемагнитного поляПечьаНеодвородвоеПечьб6.3. Схема эксперимента Штерна и Герлаха по обнаружению спина атомного электрона. Атомы, испущенные с поверхности образца серебра при наРис.гревании его в печи, проходят через коллиматор К. Сформированный такимобразом узкий атомный пучок падает на экран. Поведение пучка атомов: ав отсутствие магнитного поля, б--в присутствие неоднородного магнитногополяJ.Lz, то в неоднородном магнитBz(z) он приобретает энергию H(z) == -J.LzBz(z)z, будет действовать сила, равнаяЕ~ли атом имеет магнитный моментном поле с индукциейи на него, вдоль осианав(6.16)Fz = -дz- = -J.Lz-·azВэкспериментепучокатомовприготавливалсявосновномвсостоянии, в котором механический и магнитный орбитальные моменты атома равны нулю.
Если предположить, что магнитный моментатома обусловлен только орбитальным движением электрона, то сила(6.16) будет равна нулю и пучок должен пройти неоднородное магнитное поле без расщепления, что противоречит результатам эксперимента. Следовательно в в-состоянии атом обладает магнитным моментом.96Гл. б. Спин. Матричная формулировка квантовой механикиВ эксперименте наблюдаются два четких изображения щели, т.е .
возможны лишь две ориентации магнитного момента атома с проекциямина осьz: ±IJ.Lzl·Анализ экспериментальных данных показал, что величина отклонения пучков соответствует величине проекции магнитногомомента атома на осьz,равному магнетону Бора:IJ.Lzl =J.Lв.Таким образом атом, находящийся в в-состоянии, и имеющийтолько один электрон, обладает магнитным векторным моментомJ.l.,проекция которого на направление магнитного поля принимаеттолько два значения ±J.Lв.Этот экспериментальный результат бросил серьезный вызов квантовой механике .
Для решения этой проблемы было введено новое понятие спина - собственного магнитного момента электрона. Электронпри этом рассматривался как вращающийся заряженный волчок (термин спин означает вращение). Такая интерпретация просуществоваланекоторое время, но была позже отвергнута . Теория спина была построена Дираком с использованием релятивистской квантовой механики .Из теории Дирака следует, что существует определенное соответствие между характеристиками спина и орбитального момента, иллюстрируемое следующей таблицей:LS8zl= О, 1, ... , n - 1р,вL8 2 = 1i2s(s + 1)1s=2J.l.
___ 2р,в 8" ! = -h8,..hLz = m11i8z = msh-l ~ m1 ~ l-s ~ m 8 ~ sLlm1 =ilm 8 = ±1В левой части таблицы приведены характеристики орбитальногомомента, а в правой-соответствующие характеристики спина .вектор спинового механического момента (спина),S -8z -проекция спи= -h/2.Как квантоваяна на ось z, 8 2- квадрат спинового момента, s1/2-спиновое число(аналог орбитального числа l}, J.l.s - спиновый магнитный момент.Анализируя данные в таблице получаем, что разрешены всего двазначения проекции спина=8z: 8z= +h/2и8zсистема с двумя состояниями, спин является удобным объектом дляреализации квантовых битов (кубитов) . Однако для описания кубитовтребуется перейти от волновой формулировкик матричной .6.5.квантовой механикиМатричная формулировка квантовой механикиВ предыдущих разделах мы описывали состояние квантового объекта при помощи волновой функции1/J(r, t),зависящей от координат и времени.
Описание состояния с помощью функции, зависящей6.5.Матричная формулировка квантовой механики97от координат, называется координатным представлением. Волноваяфункция в r-представлении содержит информацию о возможных результатах измерения координаты микрочастицы.Координатное представление волновой функции 1/J(r, t) не является единственным. Совокупность коэффициентов Fn разложения волновой функции по собственным функциям 'Pn оператораFпредставляет собой волновую ~ункцию состояния в представлении, соответствующем операторуF,или F-представлением . Таким образом,волновую функцию можно записать в энергетическом представлении(Е-представление), в импульсном (р-представление) и других представлениях.Совокупность коэффициентов в разложении функции1/J(r, t)представляется в виде вектора-столбца, соответственно дифференциальныеоператоры, представляющие физические величины, заменяются матрицами, действующими на эти вектора.Матричную формулировку квантовойв1925механики ввел Гейзенберггоду.
Годом позже Шредингер дал волновую формулировкуквантовоймеханики,апозжепоказалэквивалентностьматричнойи волновой формулировок .6.5.1.Стационарная система.Введем матричную формулировкуквантовой механики сначала в стационарном случае в представленииоператораF.Допустим, что ~адача на собственные функции и собF решена, т.е. известны Fn и 'Pn:ственные значения оператора(6.17)Нас интересуют собственные функции и собственные значения другого оператора А:'A'ljJ(x) = A'ljJ(x),(6.18)Оператор А не коммутирует с операторомF,иначе собственныефункции операторов будут совпадать.Так как система собственных функций полна, уазложим волновуюфункцию1/Jпо собственным функциям оператораF:1/J(x) = L:Cm'Pm(x) .mПодставим это разложение в уравнение(6.18)и получимL em(Ar.pт) = А L Ст'Рт·тУмножим это уравнение слева наfr.pi.dxтr.pi.и проинтегрируем поL СтА'Рт = А L Ст f'Pk'PтdX.ттdx.Гл.
б. Спин. Матричная формулировка квантовой механики98fВ силу ортогональности функций 'Pk интегралыcp'J.cpmdx с т =1- kв правой части равенства равны нулю, аcp'J.cpkdx = 1 в силу ихfнормировки. Таким образом, получимmmили(6.19)mгде матричный элемент Akm =f cp'J.Acpmdx. Таким образом, мы получили систему алгебраических уравнений(6.19)с неизвестными Cm, такаясистема обладает не нулевыми решениями при условии обращенияв нуль определителяКорни этого уравнения представляют собой возможные значения величины А (собственные значения оператора А), а совокупность величинCm.
которые находятся из уравнения (6.19) для каждого конкретного А,определяет соответствующую собственную функцию, которую можнопредставить в виде вектора-столбца . Таким образом, дифференциальный оператор А в матричной квантовой механике заменяется матрицейAkm• а волновые функции - векторами-столбцами.6.5.2. Нестационарная система. Теперь рассмотрим нестационарную систему, когда гамильтониан явно зависит от времени.
Этотслучай интересен с точки зрения квантовых вычислений, посколькуони включают в себя эволюцию квантовых состояний во времени.Запишем нестационарное уравнение Шредингераi1i д-ф~~· t) =Подставляя в(6.20)ф(х,t)Нф(х, t).(6.20)в виде рядаФ(х. t) =:Е en(t)cpn(x).nумножая слева на "р;,.(х) и интегрируя по х, находим:i1i d~~= L Hmn(t)cn,(6.21)nгде матричный элемент оператора ГамильтонаHmn(t) =Jcp:Т,(x)H(t)cpn(x)dx(6.22)6.5.Матричная формулировка квантовой механики99в явном виде записывается какН11Н12Н21Н22НtзН2зH1nH2nHm!Hm2НтзHmnfi=В соответствии с(6.21),временная эволюция волновой функцииопределяется эволюцией коэффициентов Cn.
Набор коэффициентов cnобразует вектор-столбец и обозначается какI'Ф(t)) = (Ct(t) )c2(t):.(6.23)en(t)Нестационарное уравнение Шредингера в матричном представлениизаписывается в следующей компактной формеin 8~~)Уравнение(6.24)=fii'Ф) .(6.24)может быть использовано для описания временнойэволюции спина (см . главу7).Однако перед этим необходимо ввестиматричные операторы спина, поскольку рецепт построения матричногоперехода(6.22)для спина не применим.Глава7ОПЕРАТОРЫ СПИНА. КУБИТ И ЕГОПРЕДСТАВЛЕНИЕ НА СФЕРЕ БЛОХА.УПРАВЛЕНИЕ КУБИТОМ ПРИ ПОМОЩИЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙВ настоящей главе вводится матричный оператор спина и находятся его собственные векторы и собственные значения.
Это позволяетввести концепцию спинового кубита, рассмотреть его свойства, в частности, дать наглядное представление произвольнога вектора состояниякубита вектором единичной длины на сфере Блоха («блоховского вектора»). Вводятся основные однокубитовые операторы, используемые вквантовых вычислениях, как операторы поворота блохавекого вектораи рассмотрена процедура физической реализации таких поворотов спомощью скрещенных постоянного и перемениого магнитных полей .7 .1.ПриОператоры спинавведении оператора спинанельзя действоватьпо обычнойсхеме, как это делалось в случае импульса или момента импульса (глава 6}, поскольку спин не имеет классического аналога.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
