В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. рассмотрим чистое состояние . Гамильтоннан кубита(8.6)где оператор Но имеет два собственных вектора IO) и 11), аV-оператор взаимодействия с магнитным или электромагнитным полем,управляющим эволюцией кубита (см . главу?) . Вектор состояния кубита I'Ф) =aiO)+ЬI1) подчиняется уравнению Шредингераа~ih 8t I'Ф) = HI.,P).Подставляя1'1/1),имеемin (~;10) + :11)) =aiiiO) +ьiiщ,отсюдаin ~; = a(OIHIO) + Ь(OIHI1),in:: = a(lliiiO) +Ь(lliil1),где (mlfiln) = Hmn -матричный элемент оператора Гамильтона (8.6).Используем то, чтоHoiO) = EoiO),Hol1) = E1l1).Будем считать, что Ео > Е1 1), обозначим Vo1 = (OIVI1), Vio = (liVIO) .Предполагается, что Voo = V11 =О (см. п. 8.1.2).
Тогда1)Отметим, что здесь и далее, в соответствие с общепринятыми обозначениями состояний на блоховской сфере (рис.7.1), индекс «1~ относится к нижнемусостоянию, а индекс «0• к верхнему (в отличие от обозначения атомных энергетических уровней (п. 3.1.1), где верхнему уровню соответствовал индекс «2•.)8.1.115Уравнения эволюции двухуровневой системыih ~; =аЕо + Ьv(н,(8.7)Ь*Е1 +а *ТТ*-z·паь·дt =v 10 •(8.8)Перейдем к билинейным комбинациям коэффициентов а и Ь:Роо = а*а,Рю = а*Ь,Pol = Ь*а,Р11 = Ь*Ь.Для краткости мы обозначаем билинейвые комбинации коэффициентовтеми же символами, что и элементы матрицы плотности (8.5). Умножая(8.
7) на Ь* и (8.8) на а и, вычитая из первого уравнения второе,получаем уравнение для недиагональной комбинациидро1тгдеw01 =Eo-Eih-.+ Z"-'01P01=hiV(н (РОО- Р11 ) ,частота перехода между двумя состояниями Еои Е1.Аналогично получаем уравнение для диагональной комбинациидроот=i ()т;_ VioPOl - VolPIO ·(8.9)+В силу нормировки РооР11 = 1. Введем разность населенностей роо - Р11 = D (разность вероятностей нахождения кубита на уровнях Еои Е1).Тогда из(8.9)имеемдD7Jt =2ih(V1oP01 - V(нрю)(8.10)и кроме того(8.11)Уравнения (8.10) и (8.11) составляют замкнутую систему уравнений,поскольку р 1 о = р01 . Эти два уравнения эквивалентны уравнению длявектора состоянияi1i~IФ) =(Но+ V)lф).Уравнения(8.10)и(8.11)описывают временную эволюцию любойдвухуровневой квантовой системы в чистом состоянии.
Рассмотрим вкачестве примеров спин и двухуровневый атом.116Гл.8.Матрица плотности. Декогеренция кубита. Квантовые измерения8.1.1.полях.Уравнения эволюции спина в скрещенных магнитныхВ случае спинаНо= BoJLвZ,Ео = BoJLв,_2Во~-tв_wo1 - -1i- = wo,V =В, нв(Х coswt +У sinwt),,. ,гдеVrо,-те- 1iwt -iwt,w,задается формулой (7.15). С этими параметрами уравненияи (8.11) становятся эквивалентными уравнению (7.17) из главы 7.Однако, решение уравнений (8.10) и (8.11) и вычисление сред(8.1 О)них значений операторов гораздо проще, чем решение операторногоуравнения (7.17). Продемонстрируем это на примере эволюции спинав постоянном магнитном поле (НоО, V0).Пусть начальное состояние задано в виде (7.29): [ф(О)) = ([О)=f+ [1) )/\1"2,т.е. 0(0) =1r=+/2, ср(О) =О и [a(O)I = [Ь(О)[ = 1/\1"2.
Из (8.11)имеемPOI (t)= (Ь* a)t =POI (O)e-iwoit= ~e-iwolt.(8.12)Среднее значение оператора Х в момент времени t есть(X)t = (а* (О[+ Ь* (1[)Х(а[О) + Ь[1)) ==а*Ь+ к. с.= 2Re(b*a)t = coswo,t.(8.13)Аналогично (Y)t = sinwo,t.Вектор спина вращается в плоскости z = О вокруг оси z по часовойстрелке. Этой картине соответствует вращение вектора Блоха. Из (7.3)следует, что Лz(t) =О, Лх(t)вращается вокруг осиz= coswo,t, Лу(t) = sinwo,t.Вектор Блохапо часовой стрелке, оставаясь в экваториальной плоскости. В случае, когда Лz(t) =D(t) >О (или Лz(t) <О)аналогичное вращение совершает проекция блохавекого вектора наплоскость Лz = О (рис.ту,7.1).Таким образом, свободному (V{н = О) куб ипредставленному спиномуровневым атомом (см.
п.впостоянном магнитном поле8.1.2),или двухв чистом, суперпозиционном (р 01=f О)состоянии присуще постоянное внутреннее осцилляционное движениес частотой wo1 (выражаясь поэтически: у кубита есть «сердце», бьющееся постоянно с частотой w01). Это незатухающее движение естьследствие колебательного характера уравнения (8.11) для свободногокубита (V{н = О) в чистом состоянии. В базисных состояниях [О) и [1)осцилляций нет. Как мы увидим, взаимодействие кубита с термостатом вызывает необратимое разрушение этого колебательного движения(см.(8.2.2)).8.2.Взаимодействие кубита с окружающей средой1178.1.2.
Уравнения эволюции двухуровневого атома в электромагнитном поле. В случае двухуровневого атомаV = -d·E,гдеd = er -дипольный момент электрона в атоме,r -операторрадиуса-вектора электрона относительно ядра, е -заряд электрона,WQJ =Eo-EIn'Ео и Е 1 энергии верхнего и нижнего уровней в атоме.Матричные элементы V<н = -d01E, l'J.o =где'РОи'PI tpo(r) = -tpo(-r) -собственныенечетная, функцияДиагональные элементыVoo = l11системыатомов,двухуровневыхV(Jj, do1функции=О.=ef 'Po(r)rtpJ(r)dr,оператораНо,'PI(r) = 'PI(-r) -функциячетная .Мы рассмотрим эволюциювзаимодействующихнитным полем при лазерной генерации ( п.когерентных атомных процессах (п.
8.3.2).8.3.1)сэлектромаги в нестационарных8.2. Учет взаимодействия кубита с окружающейсредой. Матрица плотности и декогеренция кубитаПри наличии взаимодействия кубита с термостатом гамильтонианимеет видH=Ho+V+ W,где W = W( ... Yi .. .) статом,Yi -делениягамильтониан взаимодействия кубита с термопеременные термостата, описываемые функцией распреf( ... Yi ..
.).Теперь вместо уравнениядро1дtгде(8.14)Wo1 -(8.11)имеем+.2WOJP01 -_ iViнD + iWoJ(. ··Yi ... ) D1i1i,(8.15)матричный элемент гамильтониана взаимодействия кубитас термостатом. Билинейные комбинацииPol= Pol (... Yi .. .) и D = D( .... . . Yi .. .) зависят от переменных термостата. Матрица плотности кубитаРо1 = Pol(···Yi···)f(. ..
yi · ··)dyi, D = D( ... yi . .. )f(. .. yi···)dyi, гдеffинтегрирование производится по всем переменным термостата. Будемв дальнейшем для простоты обозначать недиагональный р01 и диагональныйиз(8. 15)D =р00 - р 11 элементы матрицы плотности как Ро1 иD . Тогдаполучаем уравнение для недиагонального элемента матрицыплотностидро1дt.iv(нi--+ 2woiPOI = r;:D + r;, Wo1D.(8.16)118Гл.8.Матрица плотности.Декогеренция кубита. Квантовые измеренияВ это уравнение входит коррелятор VV01 1J. Надо получить уравнениедля этого коррелятора, в которое будет входить коррелятор более высокого порядка и так далее . На определенном этапе эту цепочку уравнений для корреляторов расцепляют и получают замкнутое уравнениедля POI· Таким выводом уравнения для матрицы uлотности занимаетсяквантовая статистическая механика (см., например, [6]).Можно, однако, проанализировать эту проблему качественно, пользуясь аналогией уравнения(8.16)с уравнением классического маятника .Колебательное уравнение пруживиого маятника.8.2.1.смотрим систему, состоящую из пруживы жесткостьюk,Расна одномконце которой находится груз массой m, а второй закреплен (рис.
8.1).Груз может скользить по поверхности вдоль оси х. Уравнение колебаний имеет следующий вид..х+ w02 x =о(8.17),kгде w02 = - . Отсутствие трения - это иде.тkализациЯ . В реальности на грузик будетдействовать сила трения. С учетом трения,уравнение колебанийт(8.17) изменится нахх + 2'Ух + wбх = О,(8.18)Рис. 8.1 . Пружинный маятникгде 'У> О- коэффициент трения. Решенияуравнений (8. 17) и (8. 18) описывают качественно различные типыповедения недиссипативной (без трения) и диссипативной (с трением) систем: везатухающие (рис .
8.2, а) и экспоненциально затухающие(рис. 8.2, б) колебания.8.2.2.Уравнения для матрицы плотности и декогеренция кубита. Уравнение (8.16) - это колебательное уравнение первого порядка(частота колебаний wot). Если пренебречь в нем последним членом, тополучим уравнение везатухающих колебаний (член с v(нlJ играет рольвынуждающей силы) . Можно показать, что если положить в (8.16)правую часть равной нулю, то переменная Р2RepotPotPto==+подчиняется уравнению везатухающих колебаний второго порядка..Р2+ w01 P =О,аналогичному уравнению колебаний маятника (8.17) .
По аналогиис уравнением маятника с затуханием (8.18) мы можем ожидать,что влияние термостата (~трение>>), описываемое последним членомв (8.16), сведется к замене его релаксационным членом . Тогда уравнение (8.16) приобретает вид8.2.Взаимодействие кубита с окружающей средой119ба,,,'Рис .
8.2. а) Незатухающие колебания в системе без трения (качественноеповедение решения уравнения (8.17)); б) затухающие колебания в системес трением (качественное поведение решения уравнения (8.18)). Затуханиепроисходит на характеристическом времени 'Y-Iдро1.1at+ Z"-'OIPOI + T2 POI =iV(нhD.(8.19)Характерное время затухания колебаний Т2 называется временемпоперечной релаксации . За это время кубит «забывает» начальноезначение недиагонального элемента матрицы плотности, поскольку решение уравнения(8.19),если заиулить вынуждающую силу, имеет видPOI (t) = POI (0)e-i"'Oit-t/T2.В частности, поскольку Pol (О) = IP01 (О) lei<p(O), на характерном времениТ2 начальная фаза кубита ср(О) забывается.Релаксация недиагональных элементов матрицы плотностиPOI и Р1ок нулю, вследствие взаимодействия кубита с окружением, приводитк исчезновению суперпозиционного состояния.
Это видно из формулы (8.4) . Если положить в ней POI = PIO =О, то оператор матрицыплотности кубита становится диагональным : р= PooiO)(OIPlll1)(11,РооPll = 1, что соответствует нахождению кубита с вероятностямиРоо и Pll в базисных состояниях IO) и 11) . Таким образом на временахТ2 кубит превращается в классический бит. Такой процесс разрушениясуперпозиционного состояния кубита называется декогеренцией (илидекогерентизацией) кубита.Аналогично, учет влияния окружения (термостата) в уравнении(8.10) приводит к уравнению для разности населенностей D = р00 -++-pll:дD17ft+ т1 (D- Dо2i) = h(VioPol - ViнPio).(8.20)Характеристическое время релаксации разности населенностей т, называется временем продольной релаксации. Всегда Т2 ~ т, (как пра-120Гл .8.вило Т2Матрица плотности. Декогеренция кубита . Квантовые измерения«TJ). D 0-равновесная разность населенностей: в системе,предоставленной самой себе (Vio = V<н = 0), за время Т1 происходитпереход из начального состояния DD(O) в равновесное состояниеD= D 0 • Если»nUJo1=kвТ, то D 0 ~ -1.Процесс декогеренции ( 4деградации~) кубита можно наглядно изобразить, используя представление кубита на блоховекай сфере.Перейдем к медленно меняющейся переменной))оl = p01ei"'o 1t, Йн == V<н eiwt и рассмотрим случай точного резонанса UJ = UJOI· Тогда из(8.19) и (8.20), для чистого состояния, в пренебрежении релаксацией(Т1 = Т2 = оо), получим систему уравненийдро1iЙн D=дt1i(8.21а)'дD2i 7ft = -,;:(VюРо! - V<нРю),(8.21Ь)отсюдаТаким образом~ (D 2 + 4POIPio) = О,т.е.
имеет место закон сохраненияD 2 (t)+ 4/)oJ (t)Pto(t) = const = 1.(8.22а)Для блохавекого вектора с компонентами Лх , Лу, Лz (см .7.3)имеютместо соотношения :Лz = Роо(8.22Ь)PO!PlO·(8.22с)Pll =,2+ Лу=4- -и,2ЛхD-Таким образом , закон сохранения в форме (8.22а)-это законсохранения длины блохавекого вектора кубита, находящегося в чистомсостоянии. Поскольку в смешанном состоянии происходит декогеренция кубита (рю(t)= Рю(О)е-tfТ2, Pol(t) = Pot(O)e-t/T2 ),то со временем,благодаря декогеренции, блоховекая сфера превращается в эллипсоид(рис .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
