В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Схема эксnеримента по измерению сnина. Неоднородное магнитноеnоле ориентировано вдоль оси z (а). Неоднородное магнитное nоле ориентиро­вано вдоль оси х (б)Таким образом, измерение z-компоненты спина происходит следую­щим образом. Кубит находится в суперпозиционном состоянииI'Ф) = aiO)+ Ьll),(8.36)При измерении состояния кубита мы получим одно из двух базисныхсостояний:1)Джон фон Неймаи -венгро-американский математик, сделавший важ­ный вклад в квантовую физику, квантовую логику, функциональный анализ,теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболееизвестен как праотец современной архитектуры комnьютеров (так называемаяархитектура фон Неймана), nрименением теории оnераторов к квантовой меха­нике (алгебра фон Неймана).lЗОГл.8.Матрица плотности .

Декогеренция кубита. Квантовые измеренияJO),с вероятностьюJ1)'с вероятностьюпричем после измерения кубит остается в полученном при измерениисостоянии.Происходит так называемый коллапс суперпозиционногосостояния J'Ф) в одно из базисных состоянийJO) или J1), при этомпроисходит потеря информации.

Таким образом, измерение представ­ляет собой н.еобратимый процесс декогеренции, который происходитблагодаря взаимодействию кубита с макроскопически большим измери­тельным прибором во время измерения. Поэтому операция измеренияявляется не унитарной.Коллапс вектора состояния (волновой функции) представляет собойсерьезную проблему для квантовых алгоритмов. В квантовом регистре,состоящем из n кубитов может содержаться большое количество ин­формации .

Но при измерении этого состояния регистра (т.е. при изме­рении состояния каждого из n кубитов), каждый кубит коллапсируетв одно из базИсных состояний и мы извлекаем из каждого кубиталишь один бит информации . Кажется, что квантовые компьютеры недаютникаких преимуществпосравнениюсклассическимкомпьюте­ром, вследствие ограничения, налагаемого постулатом измерения.

Норазработанные квантовые алгоритмы, обходят это ограничение (см .главу 11).8.4.1. Последовательные измерения кубита в ортогональныхмагнитных полях. Рассмотрим теперь последовательную комбина­цию установок Штерна-Герлаха с ортогональными магнитными поля­ми (рис . 8.6). Блокируем один из выходов первой установки, оставивпучок частиц с одним значением проекции спина на осьSz=ноклассическимz,например,Направим этот пучок на вход второй установки с векто­ром магнитного поля, направленным вдоль оси х (рис.

8.6). Соглас­1/2.Представлениямследуетожидать,чтопучок атомовпройдет через вторую установку без отклонения, однако экспериментпоказывает, что пучок снова расщепляется на два пучка одинаковойинтенсивности.Как квантовая механика объясняет этот результат?При измеренииJ'Ф) =SxSx следует разложить измеряемый вектор состоянияJO) по собственным векторам оператора измеряемой величиныи применить далее постулаты измерения.

Собственными векторамиоператораSx = NOTявляются векторы :J+) = IO)+ ll)v'2'Sx = +1/2,8.4.Квантовые измерения13112Вх = - -Bz =Рис.8.6.12--Каскадные измерения на двух установках Штерна-Герлаха1- )= IO) -11)у'2'sх=- 1/2 .Разложение измеряемого вектора состояния по измерительному базисуимеет видIO) = 1+)~1-).В соответствии с постулатом измерения , при измерении получается со-стояние1+), Вх = + 21 с вероятностьюс вероятностью1/2.подтверждаетсяэкспериментом.1/2, либо состояние1-), Вх = - 21Этот результат квантовой механики полностьюРассмотренный примерпоказывает,насколько предсказания квантовой механики противоречат физическойинтуиции , выработанной классической физикой.Квантовая механика - набор постулатов - рецептов предсказаниярезультатов экспериментов. Эти рецепты прекрасно работают, но поче­му, никто не знает.

Поэтому и говорят, что квантовую механику никтоне понимает 1) . Понимание квантовой механики -это привыканиек ней.Инициализация спинового кубита.Как мы увидим из дальнейшего (см. главу 10), квантовые вычисле­ния с помощью кубитов начинаются с перевода кубитов в заданное со­8.4.2.стояние I'Ф) = aiO)+ Ьl1),где а и Ь известны (инициализация кубитов).Теория квантовых измерений дает указание, как это можно сделать.1)«Квантовую механику никто не понимает. Я не понимаю квантовую ме­ханику, мои студенты не понимают квантовую механику~ (Ричард Фейнман) .«Квантовая механикаштейн).-вычислительная черная магия• (Альберт Эйн­l32Гл.8.Матрица плотности .

Дек.огеренция к.убита. Квантовые измеренияНаходим точку на сфере Блоха, соответствующую вектору I'Ф):()где tg- =2ьI'Ф)= aiO) +.Ь/IЬIЬl1)1-1, et"' = - - .аajjajОпределяемые отсюда значенияn=где х, у,z-.()()= cos 2 10) + et"' sin 2 11),()иr.p,задают единичный векторsin () cos r.px + sin () sin r.py + cos {)z,единичные вектора,lxl(8.37)= IYI = IZJ = 1.Направим вектор магнитного поля ]В в установке Ulтерна-Герлаха(рис. 8.5) параллельна векторуОператором измеряемой величиныбудетn.Sп=nS = ~ (sin () cos r.pX + sin () sin r.pY +сов OZ).Используя выражения для операторов Х, У иZ, получаем,(8.38)что Sпзадается матрицейs~ =n!!:_ (2cos () sin ()c i<psin ()et'P - cos ()).(8.39)Собственными векторами этой матрицы являются вектор .l+)п = cosс собственным значением().()2 10) + et"' sin 2 11)sn = +h/2(8.40)и вектор1-)п = -e-i"'sin~IO) +cos~l1)(8.41)с собственным значением sn = -h/2.Вектор l+)п является искомым состоянием кубита.

Таким образом,чтобы получить кубиты в состоянии I'Ф) = l+)п, нужно подать навход установки пучок кубитов в состоянии I'Фвх) = aiO)n + Ьll)n, гдеlal 2 + IЬI 2 = 1, и блокировать на выходе пучок, отклонившийся вниз(sn = -h/2). Кубиты в прошедшем пучке с sn = +h/2 будут находить­ся в требуемом состоянии I'Ф) = aiO) + Ьl1) (инициализация кубитов).Пусть а= Ь = 1/../2, тогда нужно приготовить кубиты в состоянииI'Ф) = (10) + 11))/../2 .

В этом случаеr.p = О, () = 1r /2, n =х,Вх = ~ ( ~ Ь ) = ~ Х,l+)x = (10) + 11))/h .Именно в это суперпозиционное состояние переводятся кубитыв регистре квантового компьютера в начале квантовых вычислений(см. гл . 10).8.4.8.4.3.Квантовые измерения133Иэмерение двухкубитовых систем.Рассмотрим теперьсистему, состоящую из двух кубитов. В качестве базиса удобно вы­брать четыре четырехкомпонентных составляющих тензорного произве­дения1)(тензорное произведение обозначается символом ®) базисныхсостояний отдельных кубитов:[О) [О) ~ [00) ~ [О) [О) ~ ( ~ )®[01)~ (о'[10)~ ~ ~® (~ (о')111)() ,~ (о.Вектор состояния двухкубитовой системы в общем виде записываетсятак:IФ) ~ а[ОО) +Ь[!О) + с[О1) + d[ll) ~ ( ; ) ,где коэффициенты а, Ь, с иВ общем случае, когдапредставитьввидеdad =1-(8.42)подчиняются условию нормировки:Ьс двухкубитовое состояниетензорногопроизведения(8.42)независимыхнельзявекторовсостояний отдельных кубитов:(8.43)Такое состояниеназывается несепарабельным илиперепутанным,а состояние которое можно представить в виде тензорного произведе­ния называется сепарабельным .1) Тензорное произведение двух.

вектора-столбца на вектор-строку :векторов-(матричное)умножениеа®Ь~ [~] ®[Ь, ь,тензорное произведение двух векторов-столбцов есть вектор-столбец:а@ ь = [ а1а2] @ [Ь1ь2]~:~~= [ a2bl ] .а2Ь2134Гл.8.Матрица плотности. Декогеренция кубита. Квантовые измеренияВажным частным случаем перепутанных состояний являются со­стояния Белла (ЭПР-пара), одним из которых являетсяIOO) + 111)V2(8.44)Состояния Белла обладают очень важным свойством, которое можнопроиллюстрировать на примере состояния (8.44). При измерении перво­го кубита возможны два результата: IO) с вероятностью 1/2 и конечнымсостоянием 'Ф' = IOO) и 11) с вероятностью 1/2 и конечным состоянием'Ф' = 111).

Если получено состояние 100), то измерение второго кубитас вероятностью 1 дает результат IO). Таким образом, случайный исходизмерения первого кубита предопределяет исход измерения второгокубита, даже если эти кубиты пространственно разделены. Междукубитами в перепутанном состоянии имеется специфическая квантоваякорреляция,котораясохраняетсяприпространствеиномразделенииэтих кубитов (квантовое дальнодействие).

Два разнесенных кубита,находящихся в перепутанном состоянии, составляют единую систему.Аналогично, в случае, когда измерение первого кубита дает 1 мыполуЧаем состояние 111) и измерение второго кубита с достоверностьюдает 1.Рассмотрим теперь, что произойдет при измерении только одногокубита при передаче сообщения, закодированного двухкубитовым век­тором состояния (8.42). Предположим, что злоумышленник перехватилпосланное сообщение и произвел измерение первого кубита. Что приэтом произойдет? Применим постулаты измерений. Заметим, что ис­ходный вектор состояния I'Ф) представим в виде:1'Фдоизмерения )=Vlal2 + lcl 2· 10) VaiO)+cll) +lal + lcl®2ФормулароятностьюIЬI 2 + ldl 2 -(8.45)2означает, что при измерении первого кубита с ве­lal 2 + lcl 2получится состояние IO), а с вероятностьюсостояние 11) Если при измерении первого кубита зло­умышленник получит, например, состояниесистема (сообщение) перейдет в состояниеI'Фпосле измерения) =IO),то после измеренияIOO) 101)V,lal + lclа+с2(8.46)2и будет находиться в нем до следующего измерения, согласно второмупостулату измерения.

Таким образом, в результате измерения первого8.4.Квантовые измерения135кубита злоумышленник необратимо изменил вектор состояния I'Ф).Это всегда может быть обнаружено корреспондентом, получающиминформацию по квантовому каналу связи и закодированную векторомсостояния I'Ф). Эта отличительная особенность квантовой информации,заключающеесявтом,чтонельзяпроизвестиизмерениенеизменивсостояние системы, лежит в основе создания квантовых каналов связи,передающих классическую информацию без риска ее неконтролируе­мого перехвата.Глава9КВАНТОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫИ КВАНТОВЫЕ СХЕМЫ. КВАНТОВЫЙПАРАЛЛЕЛИЗМ. ПЕРЕПУТАННЫЕ СОСТОЯНИЯВ главах7и8мы познакомились с базовыми понятиями кубита,вопросами управления вектором состояния кубита и извлечения инфор­мации из него (измерении кубита) . В настоящей главе и последующихзаключительных двух главах эти базовые понятия будут использованыпри рассмотрении двух основных тем второй части этой книги: кванто­вого компьютера (квантовых вычислений) и квантовой дистанционнойкоммуникации.Квантовые вычисления и протоколы квантовой коммуникации со­стоятвпоследовательномпримененииквантовыхлогическихопера­торов (вентилей), изменяющих состояния кубитов в регистре кван­тового устройства.Последовательность квантовых операцийкван.товый алгоритм.

Квантовая схема--этоэто квантовый алгоритм,выраженный графически последовательностью квантовых вентилей, со­единенных квантовыми <<проводами». Квантовый провод на схеме-это линия, показывающая в какой последовательности выполняютсяквантовые логические операции. Рассмотрим основные квантовые вен­тили .Введем сначала элементарные квантовые однокубитовые вентилии один двухкубитовый вентиль CNOT (контролируемое нет). Наборавсех однокубитовых вентилей иCNOTдостаточно для реализациилюбого квантового процессора и квантовых алгоритмов.Затем мы рассмотрим (как «черный ящию>) основной квантовыйпроцессор в квантовой схеме, осуществляющий одновременно вычис­ления экспоненциально большого числа значений булевой функции,иизпознакомимсяосновныхна егоресурсовпримерес квантовымквантовогопараллелизмомкомпьютера,дающим-однимэкспоненци­ально большой выигрыш по числу операций по сравнению с клас­сическим компьютером.

Характеристики

Список файлов книги