В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Искусство квантового программирования состоит в том, чтобы находить такие практически важные задачи, и так строить квантовые алгоритмы, чтобы обходить этупринципиальнуютрудностьизмерениявыходногосуперпозиционногоквантового состояния.Начиная с1995 г.,когда был предложен первый практически в ажный квантовый алгоритм, число таких алгоритмов постоянно увеличивается (см. главу9.3.11).Перепутанные состояния двух кубитов.Базис БеллаКвантовый процессор И1 (рис.9.5), рассмотренный в предыдущем11 при построении алгоритма Дойразделе, будет использован в главеча. Там же будет произведена конкретизация операций, выполняемыхпроцессаром Uf. в терминах операций CNOT и однокубитовых операций. Здесь же мы рассмотрим один конкретный пример логическогооператора И1,позволяющего генерировать перепутанные состояниядвух кубитов, называемые также состояниями Белла 1) или ЭПР парами (Эйнштейн, Подольский, Розен, 1930г.).Состояния Белла или ЭПР-пары играют важную роль в теорииквантовой информации.
В частности, они используются для плотногоквантового кодирования информации и телепортации (см. главу 10).Квантовая схема, генерирующая двухкубитовые перепутанные состояния, изображена на рис. 9.9. Она получается из схемы, изображенной1)Джон Белл- американский физик, сформулировавший известные нера10.4)венства, получившие названиенеравенства Белла (см.
п .144Гл.9.на рис.Квантовые вентили и квантовые схемы . Квантовый параллелизм9.6,заменой двухкубитового вентиля UJ на вентильCNOT. Наlx), ly).вход этой схемы подаются два кубита в базисных состоянияхРассмотримt0 -тривременныхсечения,моментсоответствующий начальному состояниюсистемы, моментt1 -соответствующий состоянию после применения к первому кубиту оператора Адамара и моментt2 -соответствующийконечному состоянию после применения оператораCNOT.Пусть в момент времени t 0 на входподаются два кубита, в состояниях10), 10),соответствующий вектор состояния обозначим какРис. 9.9.КвантоваяIФin) =IOO).В момент времени t1 к верхнемусхема для получениякубиту применяется оператор Адамара, которыйсостояний Беллапереводит этот кубит в суперпозиционное со-стояние;;.1 1) .
Двухкубитовый вектор состоIO)яния в этом случае выглядит какОтметим, что двухкубитовый вектор IФI) факторизуется в произведение однокубитовых векторов состояния. Затем двухкубитовый операторформирует выходной вектор состояния:CNOT+ 111) ·J2IOO)) _1·'·'Pout -Данная схема преобразует четыре начальных состояния вычислительного базисаIOO), 101), 110), 111)в следующие выходные состояния:11/l!n}= IOO}~IФout) = 11/1+) =IOO);;.111 )'(9.18)IФ1n)= 101)~IФout) = IФ+) =101 ) + 110)(9.19)IФ1n) = 110)--711/lout} =IФin) = 111)~IФv'2'IФ-} = IOO)~1! 1 )') _ IФ-) _ 101) -110)out J2·(9.20)(9.21)Эти четыре состояния (9.18)-(8.21) и составляют базис Белла .
Отметим, что в то время, как промежуточные состояния IФ1) факторизуются, согласно критерию (8.43), выходные состояния Фout факторизоватьневозможно. Таким образом, состояния Белла являются перепутанными состояниями. Экспериментальные схемы, генерирующие состоянияБелла реализованы на таких физических объектах как спины, фотоныи двухуровневые атомы.Глава10СВЕРХПЛОТНОЕ КВАНТОВОЕ КОДИРОВАНИЕ.КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ. НЕРАВЕНСТВОБЕЛЛАВ этой главе рассматриваются два примера коммуникации на расстояние, производимой с помощью кубитов и квантовых схем. В разделе 10.1 рассматривается плотное кодирование информации.
Классическая информация трансформируется в квантовую информацию посредствомквантовогокодированияипередаетсянарасстояниепоквантовому каналу связи . При этом перепутаннесть квантовь!х состоянийкубитов дает возможность получить выигрыш в плотности кодированияинформации . Кроме этого, невозможность копирования кубита (раздел10.2) и необратимое изменение квантового состояния при измеренииисключаютвозможностьнеконтролируемогов квантовом канале связи.
В разделедругой тип квантовой коммуникацииперехватаинформации10.3 рассмотрен принципиально-- телепортация -- передача нарасстояние неизвестного квантового состояния кубита без передачи самого кубита. Телепортация так же использует перепутанные состояниякубитов. Развитие квантовой информации выдвигает на передний планвопросы интерпретации суперпозиционных и перепутанных квантовыхсостояний .
Эти вопросы кратко обсуждаются в разделе10.1.10.4.Сверхплотное квантовое кодированиеинформацииПредположим , что надо передать по каналу связи одно из четырехчисел: О,1, 2и3.Закодируемих,используя классические биты.В закодированном виде эти числа будут представлены четырьмя парамибитов: 00, О 1, 1О, 11. Значит, чтобы передать одно из четырех чисел,надо передать по классическому каналу связи 2 бита информации .Введем энтропию этого сообщения 8 -- меру меру неопределенностисообщения -- как логарифм числа исходов.
До получения сообщенияэнтропия равна 8оlog 2 4, после получения сообщения 81 log 2 1 О.Назовем информацией I разность исходной энтропии и конечной эн===тропии:I= 81 -8о= log2 4 -log 2 1 = 2.(10.1)Гл.14610.ЕдиницейСверхплотное кодирование. Телепортация. Неравенство Беллаинформацииопределенной такимВ рассмотренном примере передано2образомявляетсябит.бита информации.
Итак, чтобыпередать по классическому каналу связи два бита информации, требуется переслать 2 классических бита.Покажем теперь, что по квантовому каналу связи 2 бита классической информации можно передать, пересылая всего один кубит.Пусть есть два корреспондента: Алиса (А) и Боб (В), они соединенымежду собой квантовым каналом связи по которому могут передаватьсякубиты, например световод, по которому передаются фотоны (фотоныкак кубиты кратко рассмотрены в п. 11.7.3). Имеется также квантовоеустройство, которое генерирует перепутанное состояние Белла, напримерПервый кубит из перепутанной пары пересылается Алисе, а второйБобу. Отметим, что эта операция не связана с передачей какой-либоинформации и относится к подготовительной фазе операции . Алисасовершает над полученным ею кубитом одно из четырех унитарныхпреобразований:f.
Х, Z, iY = ZX.В результате, она переводит исходное состояние I'Фо) в одно из четырех состояний· '·)1= 100)+111)V2<rO'I'ФI) = 110)~101)'· '·)1= IOO) -IЩI'Фз)=V2'f/2Алиса00 -t I01-t z10 -t х11 -t iY(10.2)'110)~101).ПервыйВторойкубиткубитБобНачальноеПроводитсостояние Белла1·'· , =<rOiIOO)+ j11)yi2декодированиеи измерениеПреобразованный кубитРис.10.1.Схема иллюстрирующая работу протокола «сверхплотного кодирования~.
использующего начальное состояние11/lo)10.1.Сверхплотное квантовое кодирование информацииЧетырьмядвухкубитовымиперепутаннымисостояниямиБелла I'Фо), I'Ф1), I'Ф2), I'Фз) Алиса кодирует четыре числа О,147базиса1, 2, 3. Отметим, что при этом меняется и состояние кубита, который находитсяу Боба (квантовое дальнодействие). Алиса пересылает свой кубит Бобупо квантовому каналу связи.
Получая этот кубит, Боб не знает какоеиз четырех чисел передается Алисой и совершает над парой перепутанных кубитов, которые теперь имеются в его распоряжении, операциюдекодирования, состоящую из двух операций. Сначала он применяетвентиль CNOT, в котором первый кубит играет роль контрольногокубита :I'Ф)о=+ 11)V211) + IO)V2IO)® IO)'=IOO) -111) -+ IOO) -110)=IO) -11) ® IO)'=110) -101)-+ 111) -101)=11) -IO) 0 11 ).23==1I'Ф)-+ IOO) + 110)V2111) + 101)V2I'Ф) =I'Ф)+ 111)V2110) + 101)V2IOO)-+V2V2V2V2® 11)'V2V2Затем Боб применяет оператор Адамара к первому кубиту, используяjJIO) + 11)V2= IO)(10.3)'В результате декодирования Боб получает одно из следующих четырехдвухкубитовых состояний :IOO),101),110),111),(10.4)которые соответствуют в двоичном коде закодированному Алисой с помощью базиса Белла одному из четырех чисел О, 1, 2, 3.
Таким образом,пересылкой лишь одного кубита можно передать два бита классическойинформации. Такое квантовое кодирование с использованием перепутанных двухкубитовых состояний называется сверхплотным кодированием (Ч . Беннет, Г. Визi:Iер, 1992 г.).Сверхплотное кодирование осуществляется при помощи квантовойсхемы изображенной на рис. 10.2.Отметим, что передаваемый по квантовому каналу кубит сам посебе не несет информации, которая закодирована в корреляции двухкубитов. При перехвате этого кубита злоумышленником, эта корреляция необратимо исчезает.
Например, в случае I'Фо) = (IOO)+ l11))/v'2перехват (измерение) первого кубита дает либо IO) и тогда I'Фо) -+ IOO),либо 11) и тогда I'Фо) -+ 111). В любом из этих случаев, получательпервого кубита (Боб) может установить сам факт перехвата. Однако,Гл.148Сверхплотное кодирование. Телепортация . Неравенство Белла10.I1Po) = IOO)~111)ДекодированиеКодирование_и измерение(Алиса)Рис.10.2.(Боб)Квантовая схема, осуществляющая протокол сверхплотного кодированияпри перехвате первого кубита, передаваемая информация необратимотеряется, поскольку в результате его измерения скоррелированное (перепутанное) состояние двух кубитов переходит в одно из базисныхсостояний.10.2.Кубит невозможно копироватьКак известно, в классическом случае при помощи элементаCNOTможно копировать классический бит.
Пусть на один вход элементаCNOT (см. рис. 10.3, а) подается копируемый бит в состоянии х (вобщем случае это состояние неизвестно), на второй вход - бит в состоянии О. В результатедействия оператора CNOT на выходе мы будемиметь два бита в одинаковых состояниях х.CNOTх~хI1P) = aiO} +ЬI1}О~хIO)аРис.10.3.IaiOO} +Ьl11}бКлассическая схема копирования неизвестного бита (а), квантоваясхема копирования неизвестного кубита (6)Возникает вопрос, можно ли совершить аналогичную операцию копирования кубита . Ответ на него отрицательный. Рассмотрим соответствующий квантовый оператор CNOT (рис. 10.3, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
