В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ниже мы покажем, что и операторы S и Т такжеобладают собственными значениями ± 1.Используя (10.12), получаем, что квантовомеханические средниезначения наблюдаемых (QS), (RS), (QT), (RT) есть(QS) =lV2,llV2,(RS) =(QT) = - V2,(RT) =lV2,(10.14)т.е . в квантовом случае(QS)+ (RS) + (RT)- (QT) = 2J2 > 2,что противоречит неравенству Белла( 10.11).(10.15)Такого рода эксперименты были действительно проведены.
Результаты экспериментов подтвердили предсказания квантовой механики и показали, что неравенствоБелла(10.11)не выполняется.Покажем, что операторственными значениями~S =±1 и-Z2V2-Х2действительно обладает соб-найдем его измерительный базис.Рассмотрим сначала оператор Адамара~~ + Z)~ /УГn2 =Н = (Х(1 _1 ) /У.Гn2.11Для него из п.+ z)/V2.8.4.2 (8.37)-(8.41) находим () =Собственные векторы оператора Н:1+) = cos ~10) + sin ~11)с собственным значениемn+ =+1 и1-) = -sin~IO) +cos~l1)881r /4,ер = О,n=(х+154Гл .10.Сверхплотное кодирование. Телепортация. Неравенство Беллас собственным значениемn_ = -1 .=Соответственно, для оператора S-Н из (8.37)-(8.41) имеемВ = 5n /4, ер = О. Единичный вектор, вдоль которого направлен векторВ в установке Штерна-Герлаха равен-(хи собственныеn=+ z)векторы :1+) = sin ~10)- cos ~11)с собственным значениемs=+1 и1-) = -cos~IO) -sin~l1)8с собственным значением8s = -1.Аналогично доказывается, что оператор Т= (Z - X)/V2 имеетсобственные значения ± 1 и находится его измерительный базис.Глава11КВАНТОВЫЕ АЛГОРИТМЫ.
ПРОБЛЕМАФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ КВАНТОВОГОКОМПЬЮТЕРАВ настоящей главе, на основе модели квантовых схем, рассматриваются принципы работы и вопросы экспериментальной реализацииквантового компьютера. Хотя имеются и другие модели квантовыхвычислений, квантовые схемы являются широко используемой и интуитивно наиболее легко воспринимаемой моделью. Это объясняется,прежде всего, тем, что, формально, квантовая схема является квантовым аналогом классической схемы. Соответственно, этапы вычисленийна квантовом компьютере формально аналогичны этапам вычисленияна классическом компьютере . В классическом компьютере, использующем биты, вычисления состоят из трех основных этапов:1.2.приготовление входного состояния п-битового регистра;совершение задаваемой алгоритмом последовательности логических операций над битами регистра;3.считывание значений битов в конечном состоянии регистра.В квантовом компьютере, использующем кубиты, вычисления состояттакже из трех этапов, формально аналогичных классическим:1.приготовление в вычислительном базисе начального состоянияп-кубитового регистра;2.применение, в соответствии с квантовой схемой, квантовых логических операторов к кубитам регистра;3.Считывание информации о состоянии кубитов в конечном состоя нии.Приэтом, квантовый характер регистра и логических операторовпозволяют использовать принципиально квантовые эффекты ( суперпозиционные и перепутанные состояния кубитов, квантовый параллелизм и интерференцию конечных состояний), дающие экспоненциальнобольшой выигрыш в ресурсах квантовых вычислений по сравнениюс классическими вычислениями.
Имеется еще одно существенное отличие квантового компьютера от классического. Классический компьютер, архитектура элементов которого является фиксированной, можетбыть запрограммирован, так что последовательность логических операций при решении конкретной задачи определяется программой . Припереходе к другой задаче меняется лишь программа. В отличие отГл.156этого,11.Квантовые алгоритмы. Реализация квантового компьютерав квантовомкомпьютере конкретнаяквантовая схема являетсяи алгоритмом решения этой конкретной задачи.Первый демонстрационный квантовый алгоритм Дойча,а такжепрактически интересные алгоритмы Шора и Гровера были открытыс использованием квантовых схем.
Квантовые схемы используютсяи при решении задач моделирования кванrовых систем. Большинствопредложений по реализации квантового компьютера также используютмодель квантовых схем.В разделах11.1-11.5мы подробно рассмотрим квантовый алгоритм Дойча, в простой форме демонстрирующий принципы работыквантовогокомпьютера .
Обзор практически интересных квантовыхалгоритмов дан в п. 11 .6. Проблемы экспериментальной реализацииквантового компьютера рассмотрены в п. 11 .7, в п. 11.8 дан краткийобзор некоторых дополнительных практических приложений .квантовойинформации.11.1.Квантовый алгоритм ДойчаВ этой главе рассматривается исторически первый квантовый алгоритм Дойча, который послужил прототипом практически важного алгоритма Шора факторизации больших чисел. На примере относительнопростого алгоритма Дойча можно уяснить, как работают три основныхпринципа, на которых основана работа квантового компьютера, дающего экспоненциально большой выигрыш в ресурсах, по сравнениюс классическим компьютером:1) принцип суперпозиции (экспоненциальный выигрыш в памяти), 2) квантовый параллелизм (экспоненциальный выигрыш в числе операций) и 3) квантовая интерференция(решение проблемы коллапса конечного суперпозиционного квантовогосостояния при его измерении).11.2.Задача ДойчаАлгоритм Дойча для квантового компьютера дает решение задачиДойча, которая состоит в следующем.
Пусть есть два корреспондентаАлиса и Боб. У Алисы имеются 2n различных n-разрядных чисел х :2n - 1. Она выбирает одно из этих чисел х, и пересылает егоБобу. Боб выбирает тип Булевой функции f(x) от аргументах из двух-О ~ х ~вариантов:1.функцияf(x)f(x)постоянна, т. е . либоf(x)=О для всех х, либо= 1 для всех хфункция f(x) сбалансирована: f(x) =О на половине значений хи f(x) = 1 на другой половине значений х.Затем Боб вычисляет значение функции выбранного типа f(x,)и отсылает результат вычисления обратно Алисе. Алиса выбираетвторое значение аргумента х2, отдает его Бобу, который возвращает2.Алгоритм Дойча для11.3.n=l157ей вычисленное значение j(x2) и т.д.
(при этом функция уже неменяется). Задача состоит в том, чтобы Алиса за наименьшее числокорреспонденций (т. е. за наименьшее число операций вычисления)определила тип функции f(x), выбранной Бобом.на.классическом компьютере задачараций вычисленияf(x),Д "оича решается за2n12 + опе-т.е. эта задача экспоненциальной сложности.Рассмотрим, как эта задача решается на квантовом компьютере залинейное поnчисло операций.11.3.Алгоритм Дойча дляРассмотрим сначала простой случайn=1.n - 1Для этого случая задача Дойча решается на двухкубитовом компьютере, схема которогопоказана на рис.11 .1.IO}lx}Uf11}IY}IY Е9 f(x)}lx}1-1----1---11/Jo}Рис .ll.l.Квантовый алгоритм Дойча дляn=lВ зависимости от выбранного типа функции f(x) двухкубитовыйоператор Иt принимает различный вид.
Если функция f(x) постоянная;то возможны два случая:1. !1(О) =О, !1(1) =О;Иti = I0f.(11.1)где I- единичный оператор.2. !2(0) = 1, !2(1) = 1;(11.2)Если функцияf(x)сбалансированная, то также возможны дваслучая:1.!з(х) = х;Иtз =2. j4(x) =NOTCNOT,(11.3)х;Иt4 = CNOT · (I 0 NOT).( 11.4)Рассмотрим, как работает квантовая схема рис. 11.1, решающаязадачу Дойча.
Начальный вектор состояния lwn) = 101 ). После nей-Гл.158Квантовые алгоритмы. Реализация квантового компьютера11.ствия операторов Адамара на первый и второй кубиты получаем векторсостоянияМожно показать, что действие оператора Иf, определяемого формулами(11 . 1)-(11.4),(11.10))ИJна состояниеlx)18)IO)~I 1 ) дает (см. вывод формулы[1x)l8) I0)-11)] = (-1)f(x)lx)l8) 10)-Jl)_V2Используя правило( 11.5)V2(11.5),запишем результат действия Иf на состояние I'Ф1)и fI'Ф)=иfl(10) + 11)V218)IO) -11)) =V2= (-1)f(O)JQL 18) IO) -11) + (- 1)f(l)l.!l 18) IO) -11).V2ЕслиV2постоянная, например,f(x) -Еслиf(x)-V2218)I0)-11) _l·'·)='1-'2IO) -11)V218)( 11 .6)V2сбалансированная, например,Иf l·'·)='1-'1V2=О, тоf(O) = /(1)и I'Ф) = I'Ф) = 10)+11)f1V2f(O)= 0,/(1) = 1, тоIO) -11)(11.
7)V2 .После действия оператора Адамара на первый кубит получаем состояниеI'Фз)= {10) 18) IO)~I 1 ), если f(x)- постоянная,11)18)о311)Vil ) , если f(x) -сбалансированная.В конце вычисления производится измерение первого кубита. Еслипри этом получено состояние IO), то f(x) -постоянная, если 11), тоf(x) - сбалансированная. Этим завершается решение задачи Дойчаприn=1на двухкубитовом квантовом компьютере, рис.11.1 .Привычислении на классическом компьютере для ее решения потребуется2n /2+1=компьютере2операций вычисления значениязадачарешаетсязаодноf(x) .параллельноеНа квантовомвычислениезначения f(x) на квантовом процессоре И! · Однако, при этом требуетсяпровести еще дополнительно три операции Адамара и одну операциюизмерения,поэтомупреимуществаквантовогокомпьютеравслучаеn = 1 никакого нет.
Отметим, что, если за элементарную операцию11.4. Физическая реализация оператора CNOT для случая спинов159принимать поворот вектора Блоха, то процессор UJ в случае n = 1,(11 . 1)-(11.4), вычисляющий суперпозицию двух значений однобитавойфункции f(x)О, 1, хО, 1, делает это за четыре операции (см.==п. 11.4). Число элементарных операций, вЫполняемых квантовым процессаромU1при одном параллельном вычислениитавой функцииf(x),2nзначений однобирастет линейно с ростом числа разрядов (битов)nв ее аргументах . Благодаря такой линейной зависимости, в квантовомкомпьютере достигается экспоненциально большой выигрыш в числеопераций (см . п .
11.5), который особенно велик приn >> 1.Физическая реализация оператора CNOT дляслучая спинов. Пример квантового параллельного11.4.вычисленияКак следует из раздела(процессор)Uf,11 .2,логический двухкубитовый операторвычисляющий значения булевой функцииализуется с помощью двухкубитового оператораCNOTf(x),реи однокубитовых операций . С реализацией однокубитовых операций с помощьюоператоров поворотов вектора Блоха на сфере единичного радиусамы познакомились в главе 7. Теперь рассмотрим вопрос о том, какс помощью этих однокубитовых операторов поворота и одного двухкубитового оператора можно реализовать операцию CNOT.Гамильтонизи взаимодействия двух спинов с и t (с- контрольныйкубит, t - 'l_елевой к_уб!:!т), ответственный за действие двухкубитовогооператора:Hct=JctZcZt,гдеJct -константа так называемого обменного взаимодействия, зависящая от расстояния между спинами с иt.В нашем распоряжении имеются также однокубитовые операторы поворота вокруг осей у иzна угол а :Ry(a), Rz(a).Отметим, что гамильтониан двухкубитового взаимодействия можно представить в виде ,аналогичном (7.
16):Hct =n~ct Zt, где обозначено Wct= 2JctZc/h.Прификсированном значении проекции контрольного спина с на ось z, этотгамильтониан вращает проекцию целевого спина t на плоскость z = Овокруг осиzлибо по часовой стрелке (контрольный кубит в состояниилибо против часовой стрелке (контрольный кубит в состоянии 11))(см . Главу 7). Последовательность операций над целевым кубитом t,IO)),которая реализует операторCNOT, в случае, когда контрольный кубит(10) или 11)), схематически показанас находится в базисном состояниина рис.11.2.Состояние спина с в этой последовательности не меняется . Пустьс находится в состоянии IO) (спин вверх) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
