В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Однако теперь длительность рассматриваемых процессов взаимодейств~я атомов с полем будет ограничена услов~емt < Т2 ,прямопрот~воположным условию, определяющему режим лазерной генерацИ~(t > Т2 ) . Для простоты рассмотр~м резонансный случай w = w01 •При этих условиях, атомная подс~стема оп~сывается уравнениями(8.2la) и (8.21Ь), где Vn1 = Viнei"'t = -dn1En. En -медленно меняю-126Гл.8.Матрица плотности.Декогеренция кубита . Квантовые измерениящаяся векторная амплитуда поля, определенная соотношением (8.25).Уравнение для Ео следует из уравнения Максвелла (8.29).
Три уравнения (8.21а), (8.21 Ь) и (8.29) составляют систему уравнений, описывающую нестационарные когерентные процессы в ансамбле двухуровневыхатомов .Чтобы получить представление об их характерных особенностях,рассмотримуровневыхотносительноатомоввпростойзаданномслучайэволюции системы двухрезонансомэлектромагнитномполе:Ео = const, описываемой уравнениями (8.21а) и (8.21Ь). Для того,чтобы учесть влияние процессов декогеренции, восстановим в (8 .
21а)член с Т2. Тогда из (8.21 а) и (8.21 Ь) имеем систему уравнений :дfiotдt+ iiotдD = h2i8tИз(8.32)idotEo D_т2 ---п-(d -O!PIO-d-IOPOI(8.32)')Е(8.33)О·следует вспомогательное соотношениед( дt+ т12 )(--)do1P10- dюPol =i2ldoti 2 Eo1iD.(8.34)Применяя оператор (д/дt + т2- 1 ) к обеим частям уравнения (8.33) ииспользуя(8.34),получаем замкнутое уравнение для разности населенностей атомных уровнейд2 D2 + _!__ D + n2 D =Одtт2(8.35)'nгде= 2jd01 E 0 j/h - так называемая частота Раби . Мы получилиуравнение гармонического осциллятора с затуханием .
Качественныйвид его решения показав на рис .тивный режим (Т2- 1= 0),8.2.Рассмотрим сначала бездиссипакоторый реализуется на малых времен t< Т2(рис . 8.2, а).Пусть в начальный момент tО атомы находились в нижнем(основном) состоянии: D(O) = -1 . Тогда решение уравнения (8.35), при=Т2- 1 =О, имеет вид D(t) = -cosnt. Таким образом, в резонансном<электромагнитном поле, на временах tТ2 , разность населенностейатомных уровней осциллирует с частотой(осцилляции Раби).
Набольших временахt > т2nосцилляции затухают (рис.8.2, 6).Эти осцилляции вызваны периодическим вынужденным испускани>ем и поглощением излучения атомной системой : когда DО, атомизлучает, а когда DО, атом поглощает. Осцилляции Раби имеют<место и в случае одного атома, но тогда полуклассическое приближение не применимо и задача решается с помощью методов квантовойэлектродинамики.Используя эффект осцилляций Раби, можно, с помощью лазерныхимпульсов различной длительности, управлять состоянием двухуров-8.3.Лазерная генерацияинестационарные когерентные процессы127невого атома. Пусть в начальный момент t = О атом находился внижнем состоянии.
В момент t = О включается поле Ео и существует в течение времени т1Г = 7Г(лазерный 1r-импульс). Действи;nем 7Г-импульса атом переводится из основного (D( t = О) = -1) ввозбужденное (D(t = 1rjn) = +1) состояние. Лазерный 7Г/2-импульсдлительностью т1Г 12 = 1rj2n переводит атом из основного состояния(D(O) = -1) в суперпозиционное состояние (D(t = 7Г/2П) = 0).
Такиелазерные импульсы используются для физической реализации однокубитовых квантовых операторов, используемых в квантовых вычислениях (квантовые операторы см. в гл. 9).Отметим, что осцилляции Раби происходят при условии сохранения длины блохавекого вектора (формула (8.22)). При этом проекцияблохавекого вектора на ось z (см. (7.4)): Лz = D(t) = cosB(t).
Длярассмотренного выше случая D(t =О) = -1 имеем B(t) = 7Г + Ш.Таким образом, блохавекий вектор двухуровневого атома в резонансном электромагнитном поле совершает вращение с угловой частотойn=2ld01 Eol/n, сохраняя информацию о начальной фазе В(О) = 7Г. Аналогичное вращение совершает блоховский вектор спина в скрещенныхпостоянном и переменном магнитных полях (формула (7.37)). ЧастотаРаби для спина из формулы(7.15)равна"'-'!= 2Blf.J,в/h(Раби,1937г.).Рассмотренный пример осцилляций Раби иллюстрирует характерные особенности когерентных (с сохранением фазы) атомных процессов: они происходят в среде двухуровневых атомов, индуцируются резонанснымиимпульсамикогерентногоэлектромагнитногоизлучения,<носят нестационарный характер, происходят на временах tТ2, и сопровождаются обратимым обменом энергией между атомной и полевойподсистемами.
К этому же классу индуцированных нестационарныхкогерентныхатомныхпроцессовотносятсясамоиндуцированнаязрачность: распространение в атомной среде коротких (тр< Т2)пролазерных импульсов без уменьшения их амплитуды, затухание свободнойиндукции, фотонное эхо и другие . Индуцированные нестационарныекогерентные атомные процессы рассмотрены в книге[10].Сравним нестационарные когерентные атомные процессы с процессом лазерной генерации. Ключевая разница между этими двумяклассами процессов в атомно-полевой системе может быть понята наоснове анализа уравнения(8.32).В лазерном режиме(t > Т2),мы пренебрегаем производной по времени в(8.32) и адиабатически исключаемнедиагональный элемент матрицы плотности: Ро1 = -ido1EoD /nT;; 1(см.
также формулу (8.27) и далее). При этом атомные диполи забывают свои начальные фазы, поляризация среды <<Подстраивается» подполе и перестает быть динамической переменной системы. Адиабатическое исключение поляризации приводит к релаксационному уравнениюпервого порядка для амплитуды поля в резонаторе(8.30).Оно описывает необратимое поведение системы: амплитуда поля либо экспоненциально затухает во времени в случаенарастает в случаеD> Dth ·D<Dtь, либо экспоненциально128Гл. В. Матрица плотности. Декогеренция кубита.
Квантовые измеренияВ отличие от этого, в нестационарном когерентном атомном iipoцecce (t < Т2) недиагональный элемент матрицы плотности являетсядинамическойпеременнойсистемыиподчиняетсяуравнениюЭто приводит к осцилляторному уравнению8/io1/8t = -ido!EoD/h.второго порядка для динамической переменнойD,ратимуюсохранениемосцилляторнуюэволюциюсистемысописывающему обпамятионачальной фазе.Отметим в заключение, что имеется еще один класс когерентныхнестационарныхатомныхпроцессов,ккоторомуотноситсятакназываемое сверхизлучение Дике. Для получения сверхизлучения, вбеззеркальный рабочий объем,имеющий форму вытянутого цилиндра с длиной, много большей длины волны излучения, помещаетсямакроскопически большое число N двухуровневых атомов с частотойперехода WO!· В начальный момент t = О система атомов инвертируется,т.е.
все атомы переводятся в верхнее энергетическое состояние О и ватомной подсистеме запасена энергия 1iwo1N. Первоначально атомы,переходя в основное состояние 1, излучают спонтанно и некогерентно(со случайнЬiми фазами). Благодаря обмену виртуальными фотонами,между дипольными моментами атомов возникают корреляции и, спустянекоторое время, системаNатомов начинает излучать когерентно,как единый диполь. Система выдает импульс излучения, направленный вдоль ОСИ цилиндра, длительностью 'Гр rv N- 1 и интенсивностьюI = 1iwo 1N/rv "'N2 • Благодаря такой, квадратичной, зависимости пиковой интенсивности излучения от числа атомов в системеN,данныйкооперативный режим получил название сверхизлучения Дик.е (интенсивность спонтанного излучения пропорциональна числу атомов N).Сверхизлучение Дике представляет собой беззеркальный метод получения когерентного импульсного излучения, альтернативный лазерному.
Сверхизлучение Дике, а также другие кооперативные процессы воптике рассмотрены в книге8.4.[11].Квантовые измеренияВозвратимся к теме когерентной эволюции кубита, осуществляемойповоротами вектора Блоха на блохавекой сфере (гл . 7).В результате такой эволюции, вектор состояния I'Ф) оказываетсяв какой-то точке на сфере Блоха, т. е . представляет собой некую когерентную суперпозицию базисных состояний.
Чтобы получить информацию об этом состоянии кубита, необходимо произвести измерение егохарактеристик.Сама процедура измерения и его результаты определяются теориейквантовых измерений, которая строится на основе двух постулатов,дополнительных к постулатам квантовой механики. Можно сказатьпоэтому, что квантовая механика состоит из двух отдельных частей теории эволюции квантовых состояний, описываемых волновой функцией (либо матрицей плотности), и теории измерений.8.4.Квантовые измерения129Рассмотрим экспериментальную установку поцииспина накакую-либо ось.Нарис.8.5измерению проекизображена установкаUlтерна-Герлаха для двух случаев: магнитное поле направлено вдольоси z (а), и вдоль оси х (6). Гамильтоннан для случая (а) имеет вид: Н = -J.LzB(z). Оператором измеряемой величины являетсяН= -J.LzB(z).
Измерительным базисом являются собственные векторыIO) и 11) оператора измеряемой величины. Чтобы предсказать результаты измерения следует разложить вектор состояния кубита по базиснымвекторам: I'Ф) =aiO)+ Ьll).Результаты измерения предсказываютсяс использованием двух постулатов измерения фон Неймана 1), сформулируем их.••Первый постулат квантовых измерений. В результате измерения состояния кубита I'Ф) = aiO) + Ьll) с вероятностью ial 2 будетПолучено состояние IO) и с вероятностью 1Ьl 2 - состояние 11).Второй постулат квантовых измерений. Если в результате измерения кубит оказался в каком-либо состоянии, то он остаетсяв этом состоянии до нового измерения.аРис. 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
