В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для этой целимы используем аналогию между орбитальным магнитным моментоми спином.Вх.Введем оператор спина S, задавая его проекции на оси координатSy, Bz и постулируем соотношения коммутации между ними, поаналогии со случаем орбитального магнитного момента:[Sx, Sy]=BxSy - SySx=ihSz,[Ву,=SySz - BzSy=ihSx.Bz][Sz, Вх] = BzBx - BxBz = ihSy.Удобно перейти к безразмерным операторам спина ах, ау,ламВхкоторыеции:должны=п2ах,пSy = 2ау,удовлетворятьследующимazпо формупBz = 2az,соотношениямкоммута7.2.Понятие к;убита101Этим соотношениям коммутации удовлетворяют так называемые матрицы Паули:~ =az(1Оо) ;-1~ах= (о11)О~ау= (оi;-i) ·ООператоры проекции спинового магнитного момента выражаютсЯ черезматрицы Паули:Решим задачу на собственные векторы и собственные значения дляпостулированных таким образом операторов спина.
Найдем, например,собственные векторы и собственные значения оператора az:0)( 01 -1(С!)С2=). (С!) 'С2( С! ) =).(С!) '-С2Л=С2+1,cl =1,с2 =О.Таким образом, собственный вектор, соответствующий Л =видIO) =(6). Проекция спина на осьполучаем второе решение Лzравна=-1; = 2 =1.с1О, сBz = h/2.+1,имеетАналогичноСоответствующий собственный вектор 11) = (~). Проекция спина на ось z равнаТаким образом мы получили два базисных состояния:направлен вверх t и 11) - спин направлен вниз .J,..7 .2.Bz = -~.IO) - спинПонятие кубитаКлассический бит реализуется системой, которая может находитьсятолько в двух состояниях, например О или 1. Кубит (квантовый бит) это квантовая система, которая может находиться в базисных состоянияхIO)или11),а также в суперпозиционном состоянии:I'Ф) = а!О)+ Ьl1),(7.1)где IO) и 11) - вектора-столбцы, а и Ь, в общем случае, являютсякомплексными числами.
Условие нормировки имеет вид:('ФI'Ф) = lal 2 + IЬI 2 = 1.(7.2)Таким образом, состояние кубита можно рассматривать как векторв двумерном комплексном векторном пространстве. Условие(7.2)то-Гл.1027.Операторы спина. Кубит. Сфера Блоха. Управление кубитомгда означает, что этот вектор имеет единичную длину.иIO)11)Состоянияназываются состояниями вычислительного базиса и образуют ортанормированный базис данного векторного пространства :(010) = ( 111) = 1, (011) = (110) = о 1).Примерам кубита является спиновый магнитный момент, имеющийдва базисных квантовых состояния со спином вверх и спином вниз(п.7.1),что позволяет использовать его для хранения и обработкиинформации. Другим примерам является система двух энергетическихуровней в атоме- двухуровневый атом (п .7 .3.3.1.1).Представление кубита на блоховской сфереСостояния кубита I'Ф) можно наглядно представпять на так называемой сфере Блоха.
Введем три величины Лх . Лу. Лz по формуламЛх =Ь*а+Ьа*,Лу= i(b*a- а*Ь),(7.3)Лz =а* а- Ь*Ь.Можно показать , чтол;+ л; + л; =Величиныz1.Лх . ЛуиЛzбудемрассматривать как компоненты вектора Л единичнойдлины,IO)рис.7.1называемоговекторомБлоха.Извидно, что ориентация этого векто ра определяется в сферической системе координат заданием двух углов()и <р, причемЛх =уЛуsin () cos <р,= sin () sin <р,Лz11)Из(7.3)и(7.4)ЛzРис .7.1.тогда имеем= lal 2 -IЬI 2= cos В.Представлениекубита на сфере Блоха1)(7.4)= cosB.Условие нормировки даетСкалярное произведение двух векторов в обозначениях Дирака записывается как (а!Ъ) и соответствует умножению длины вектора а на проекциювектора Ь на данный вектор а. Результатом произведения является скаляр .Т.е.
(0!0) = (1 О) (ь) = 1 · 1 +О · О=произведения (111), (0!1) , (110) .1,аналогично вычисляются скалярныеПредставление кубита на блоховекай сфере7.3.103Решение этой системы уравнений имеет вид:lal= cos~· IЬI =sin ~-Таким образом, произвольвый вектор состояния кубита I'Ф) =записывается в виде+ Ьl1)I'Ф)где....вв= lal е~'Ра IO) + IЬI е~'Рь 11) = е~'Ра ( cos 2 IO) + е''Р sin 2 11)),ei'Paиei<p_фазовые множители, <fJa -aiO)+(7.5)абсолютная (глобальная)фаза кубита, <р = <рь- <fJa - (относительная) фаза кубита.При вычислении средних значений операторов спина О'х , О'у, O'z, которые действуют на базисные состояния IO) и 11), фазовые множителиei'Pa и e-i'Pa взаимно сокращаются, поэтому в выражении (7.5) можноположить <fJa=О, и называть относительную фазу <рь - <fJa простофазой кубита .7 .3.1.
Операторы поворота вектора Блоха. Действием операторов поворота вектор Блоха можно поворачивать на блоховской сфере.Однокубитовые логические операции при проведении квантовых вычислений состоят в переводе кубита из одного состояния в другое насфере Блоха. Поскольку при таких операциях длина вектора Блохаостается равной1 (т. енорма вектора состояния сохраняется) , то такиеоперации называются унитарными, а операторы , которые их совершаютназываются унитарными операторами.Оператор поворота блоховского вектора на угол а: вокруг оси х почасовой стрелке представляется в следующем виде:-.а-.
.а-Rx(a) = cos 2 1- ~sш 2 х,(7.6)где f = (Ь ~) -оператор идентичности, х =ах- матрица Паули.Рассмотрим следующий пример : как изменится состояниеподействовать на него оператором Rx (~) (рис. 7.2).IO) , еслиОтметим, чтоXIO) = 11),Xl1) = IO),т.е. оператор Х представляет собой оператор NOT.
ТогдаМы действительно повернули вектор на сфере Блоха на угол n /2вокруг оси х по часовой стрелке (правило буравчика), как показанона рис. 7.2. Введем еще два аналогичных оператора поворота вокруг104Гл.7.Операторы спина. Кубит. Сфера Блоха. Управление кубитомzIO}хJl)Рис. 7.2. Действие оператора Rx (~) на состояние IO)осей у иzа-a-а~а~Ry(a) = cos 2_1- i sin 2 У,(7.7)Rz (а) = cos 2 I - i sin 2 Z,гдеZ = Uz,У=uy- матрицы Паули .Возможна другая форма представления операторов повор·ота:Rx(a) = e-i%x,fiy(a) = e-i%Y,Rz(a) = e-i%Z,которая эквивалентна исходному представлению(7.8)(7.6), (7.7).Докажемэто на примере оператора Rx(a). Учтем, что оператор e-i%X представляется в виде разложения в ряд Тейлора:Заметим, что четная степень оператора Х = NOT дает единичныйоператор, т.е.
X2n = I для любого n, нечетная степень оператора Хдает X2n+l = X2n )(=jj( = Х для любого n. Следовательно, сгруппировав четные и нечетные степени в разложении (7.9), получим :что и требовалось доказать. Аналогично доказывается эквивалентностьпредставлений (7.7) и (7.8) для операторов fiy(a) и Rz(a).7.4.Физическая реализация поворотов вектора Бл.оха105Теоретически, с помошью комбинации этих операторов поворотаможно переводить вектор Блоха из любого начального в любое конеч ное состояние. Рассмотрим теперь как осушествить такую операциюэкспериментально .7 .4.Физическая реализация поворотов вектора БлохаДо настояшего момента мы решали статические задачи, рассмотримтеперь динамическую задачу о временной эволюции кубита.
Физическая реализация поворотов вектора Блоха, в случае спина, осушествляется с помошью двух взаимно перпендикулярных магнитных полей(рис.7 . З). В простейшем случае поля создаются токами, текушими через катушки. Оси катушек расположены перпендикулярно друг другу.При помоши первой катушки-соленоида, ось которой направлена вдольоси z, создается постоянное магнитное поле . Вторая катушка, оськоторой направлена вдоль оси х, создает переменное магнитное полев радиоЧастотном диапазоне (10 6 - 108 Гц). В результате вдоль осиz возникает постоянное магнитное поле, вдоль оси х - переменноемагнитное поле . Управляемый спин находится в точке пересеченияосей катушек. Описанная схема использовалась при проведении первых экспериментов по управлению направлением спинового магнитногомомента .zхJo = constРис .7.3.Установка, позволяющая изменять направление спинового магнитногомоментаПо катушке, ось которой направлена вдольтокJ0 = const,создаюшиймагнитноеполесz,течет постоянныйвектороминдукцииВо = ezBo.
По второй катушке, ось которой направлена вдоль х,течет переменный ток J1 = J 10 cos wt, w - заданная частота. Этот токсоздает переменное магнитное поле В 1 ( t) = 2В 1 cos wtex (коэффициентв амплитуде поля 2BI выбран для удобства дальнейших вычислений).2Гл.1067.Операторы спина. Кубит. Сфера Блоха . Управление кубитомВектор магнитного момента IJ., как известно, совершает вращение (ларморавская прецессия) вокруг вектора магнитного поля Во (см.
рис. 7.4и формулы (7.35), (7.36)) .Представим В1 (t) в виде :В, (t)= 2В, cosc.vtex = В1 (cosc.vtex + sinc.vtey)+· t еу ) --в<+)+ в 1 (cosc.vt ех- sшc.v+ вН1 •1Формула(7.11)(7.11)показывает, что вектор поля, осциллирующий вдольоси х, может быть представлен в виде суммы двух векторов, один изкоторых, в~+), вращается в ту же сторону, что и вектор IJ. (рис. 7.4),а другой, в~-)' в противоположную сторону.ухРис. 7.4. Вектор 11 совершает прецессию вокруг вектора поля В 0 . Вектор в\+)из (7.11) вращается в ту же сторонуЭффективное воздействие на магнитный момент оказывает лишьполе в~+), влиянием поля в~-) можно пренебречь. В этом, так называемом приближении вращающейся волны (или резонансном приближении) из (7.11) получаем:(7.12)Запишем гамильтониан спина в магнитном поле В= Во+ в, (t):(7.13)С учетом(7.12),Н= BoJ.LвZ + BIJ.Lв(X cosc.vt + Ysinc.vt).Введем новые обозначения:(7.14)7.4.Физическая реализация поворотов вектора Блоха1072Bof..lв = Гu..vo,(7.15)2B1f..lB = hw1,частота прецессии спина в постоянном магнитном поле Во,wo -w1 -параметр.В этих обозначениях гамильтониан записывается в виде(7.16)Нооператор энергии спина в постоянном магнитном поле,V-оператор энергии спина в переменнам поле.Гамильтоннанпереходаwo,(7.16)описывает двухуровневую систему с частотойвзаимодействующуюспеременныммагнитнымполем.Отметим, что расщепление энергетического уровня спина на два возникает в постоянном магнитном поле Во (рис.
7.5). На рисунке слева: постоянное магнитное поле выключено, два состояния спина (спин вверхи спин вниз) имеют одну и ту же нулевую энергию (уровень энергиивырожден), справа: вдоль оси z включено постоянное магнитное полеВо. Уровень энергии состояния IO) (спин вверх) поднимается, уровеньэнергии состояния 11) (спин вниз) опускается. Возникает расщеплениеэнергетических уровней равное дЕ = hwo = ehBo/mec. Частота woназывается частотой ларморавской прецессии.Рис.7.5.Расщепление энергетического уровня спина на два в постоянноммагнитном полеУравнение Шредингера для вектора состояния спинадih дt lrp) =~~Нlrp) =(Но+~V)lrp).lrp)имеет вид:(7.17)Сделаем замену переменных, позволяющую убрать быстрые осцилляции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
