В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Введем новый вектор I'Ф(t)), подействовав на исходный векторlrp) оператором поворота против часовой стрелки на угол wt вокругосиz:(7.18)Гл.1087.Операторы спина. Кубит. Сфера Блоха. Управление кубитомВектор I'Ф) описывает эволюцию кубита в системе отсчета вращающейел с угловой скоростью w вокруг оси z по часовой стрелке . Тогдаlcp(t)) = e-iwtZ/21-ф(t)).Подставляем(7.19)в(7.17)(7.19)и дифференцируем по времени:(7.20)Используя (7.16) и действуя слева оператором eiwtz12 на обе части(7.20),получим уравнение Шредингера для вектора I'Ф):inд1~) = 1i(wo;w) ZI'Ф) +eiwtZ/2ife-iwtZ/21'Ф),откуда, деля на ih и подставляяд~)= -i (wo(7.21)V из (7.16), получаем~ w)Z I'Ф)- (i~l )eiwtZf2(X coswt +у sinwt)e-iwtZ/21-ф).(7.22)Чтобы провести дальнейшие преобразования, докажем следующеесоотношение:(7.23)Для этого используем формулыxz= -iY,YZ=iX.ТогдаАналогично(7.25)Используя соотношения (7.23) идингера (7.22) в более простом виде:(7.25),запишем уравнение Шре7.4.Физическ.ая реализация поворотов век.тора Блохаа~)= -i(wo; w) ZI1/J)-109i~' XI1/J).(7.26)Решение этого уравнения выглядит следующим образом :(7.27)Мы получили решение уравнения Шредингера для спина, которыйнаходится в двух скрещенных полях : постоянном и переменном.
Чтобыпонять физический смысл этого решения, рассмотрим два предельныхслучая.а) Переменное .магнитное поле выключеноBt = O,wWlВ этом случае изrv=О,В1 =О.(7.19) получаем, что l<p(t)) = 11/J(t)) и из (7.27) имеем:(7.28)Оператор поворота вокруг осистояния11/J(O)) = l<p(O)).zдействует на вектор начального соС помощью вектора состояния11/J(t))можновычислить средние значения операторов, которые соответствуют средним значениям физических величин.Пусть начальное состояние задано в виде0)+11)(}l<p(O)) = 11/J(O)) = 1= cos -10)v'22.
. (}+ et'Psш -11).2Этому состоянию соответствует вектор Блоха с(} =7r2 , <р =О.Вычислим среднее значение проекции спина на осьвремени(7.29)zв моментt = 0:п~(Sz)t=O = 2 (Z) = О,(7.30)так как (OIZIO) = 1, (11ZI1) = -1.Проекции на другие оси в начальный момент времени равны:п~= 2(Х) = 2'(Sy)t=O= 2(У) = 0.п~Полученный результат означает, что приоси х.п(Sx)t=O(7.31)(7.32)t =О спин направлен вдольГл .1107.Операторы спина.
Кубит. Сфера Блоха. Управление кубитомЗапишем вектор состояния в момент времениимеемt.Используя формулу(7.28),11/l(t))= e-i"'(z IO) + 11) = (cos wot J- i sin wot z) IO) + 11) =v'22-v'2cos 2 -z v'22_ IO) + ll)v'2wot.10) -11) . wotsш2.(7.33 )Вычислим среднее значение оператора Х в момент t:wot+.(OI-(11. wot).X( Х) t -((01+(11v'2 cos2z v'2 SШ2.IO) + 11)· ( v'2wot.10) - 11) . wot)cos 2 -z v'2 sш 2 , (7.34)используя XIO) = 11), Xl1) = IO) и учитывая ортонормированностьбазисных векторов, получим~)(Хt =cos 2 2wot -.sш2wot2 = cos wot.(7.35)Аналогично(Y)t = sinwot.(7.36)Таким образом, мы показали, что вектор спина вращается с угловойскоростьюwoвокруг осиz,вдоль которой направлен вектор постоянного магнитного поля Во.б) Резонанс Рассмотрим теперь второй предельный случай - случайрезонанса: w = w0 . Решение (7.27) в этом случае принимает вид:(7.37)и, с учетом(7.19),имеем окончательно искомый вектор состояния(7.38)Вектор Блохание-l<p(t)), (7.38),совершает быстрое осцилляционное движепрецессию вокруг , осиВо вращающейся с частотойформулой (7.37).zwoпо часовой стрелке с частотойw = wo.системе отсчета вектор Блоха задаетсяОператор ехр( -iw1X /2) в формулах (7.37) и (7.38) осуществляетповорот вектора Блоха на блохавекой сфере вокруг оси х.Такимобразом, при наличии перемениого магнитного поля, направленноговдоль х и выполнении условия резонансаw = woможно осуществить7.4.Физическая реализация поворотов вектора Блоха111поворот вектора Блоха вокруг оси х на уголза времяt.w1t по часовой стрелкеПри наличии перемениого поля направленного вдоль осиу можно осуществить поворот вокруг оси у.
В результате появляетсявозможность совершать любые повороты вектора Блоха на сфере Блоха, т.е. реализовать любую однокубитовую опер11цию.Управлять кубитом, то есть фактически контролировать угол поворота вектора Блоха в эксперименте, можно подбором параметровwo, w1и варьируя интервал времениt,подбирая импульсы магнитныхполей нужной амплитуды и длительности.
На этих принцицах основанахорошо развитая техника ядерного магнитного резонанса (ЯМР), которая используется при квантовых вычислениях в спиновых квантовыхкомпьютерах. В квантовых компьютерах, основанных на ионах, управлениеосуществляется(см. п.8.3.2).электромагнитнымполемлазерныхимпульсовГ лава8МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ. ДЕКОГЕРЕНЦИЯКУБИТА. ЛАЗЕРНАЯ ГЕНЕРАЦИЯИ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕАТОМНЫЕ ПРОЦЕССЫ. КВАНТОВЫЕИЗМЕРЕНИЯСостояние кубита, изолированного от окружения, называется чистым состоянием. В предыдущей главе мы изучали свойства именнотакого, идеализированного кубита, используя для описания чистыхсостояний вектор состояния. Однако, кубит никогда не бывает изолированным от влияния окружения.
Состояние кубита, взаимодействующего с окружением, называется смешанным состоянием. В настоящейглаве, для описания смешанного состояния реального кубита, мы вводим аппарат матрицы плотности. В рамках этого подхода, вводитсяи изучается важная концепция декогеренции кубита - необратимойрелаксации когерентного, суперпозиционного состояния кубита благодаря случайным воздействиям окружения. В устройствах квантовойобработки информации декогеренция кубитов играет деструктивнуюроль.Напротив, в таких квантовых устройствах, как лазеры, также использующих двухуровневые атомы, релаксация атомной подсистемыиграет конструктивную роль. Мы рассмотрим вопрос о том, как двухуровневые атомы функционируют в лазере и проведем сравнение скогерентным атомным процессом, используемым при проведении квантовых вычислений.При измерении состояния кубита, он взаимодействует с макроскопически большим измерительным устройством, что также приводитк декогеренции кубита.
В этой главе вводятся постулаты теории измерений кубита, позволяющие предсказывать результаты измерений .Рассмотрены конкретные примеры измерений спинового кубита . Декогеренция кубитов при их эволюции и измерении является однимиз главных препятствий на пути создания квантовых компьютеров иквантовых алгоритмов (см . гл.8.1.11).Уравнения эволюции двухуровневой системыДо сих пор мы изучали идеализированные квантовые объекты.Число степеней свободы их было мало (у кубита их две) и взаимодей-8.1.Уравнения эволюции двухуровневой системы113ствием их с окружающей средой пренебрегалось. Такие системы, называемые динамическими, описываются с помощью волновой функцииили, в матричной квантовой механике, вектором состояния .
Состояния,описываемые волновой функцией или вектором состояния, называютсячистыми состояниями .Для вычисления средних значений операторов в чистом состоянииудобно также ввести оператор плотности кубита по формуле р= \'Ф)('Ф\,илир= а*а\0)(0\Среднее оператораZ,+ аЬ*\0)(1\ + Ьа*\1)(0\ + Ь*Ь\1)(1\ .(8.1)например, вычисляется как след (Sp) от pZ:(Z) = Sp(pZ) = (0\PJO) (0\Z\0)+ (1\PJ1) ( 1\Z\1) = а* а -Ь* Ь.(8.2)Аналогично,(Х) = аЬ*+ Ь*а,(У) = i(ab* - Ьа*),(8.3)Отметим, что (Х), (У), (Z) совпадают с проекциями вектора Блоха Ах,Ау и Az (ер. с (7.3)).
Таким образом, средние значения операторовв чистом состоянии выражаются через билинейные комбинации коэффициентов а и Ь.Однако, кубиты не являются изолированными идеальными объектами. Они взаимодействуют с окружающим миром. Это взаимодействиеведет к релаксации суперпозиционного квантового состояния кубита.При построении квантовых компьютеров и квантовых каналов связивзаимодействие кубитов с окружением играет деструктивную рольи создает трудности при их практической реализации . Следует отметить , что имеются квантовые приборы, использующие двухуровневыесистемы, в которых взаимодействие с окружением играет конструктивную роль, более того, является необходимым условием их функционирования.
Наиболее ярким примером таких устройств является лазер.Мы рассмотрим принципы работы лазера в разделе8.3.- это система с огромным числом степеней свободы (например, с N,...., 1023 числом колеблющихся атомовв 1 см 3 в твердом теле). Ее называют термостатом . Состояния терОкружающая кубит средамостата описываются статистически с помощью функции распределенияf( .. . Yi . .
. ), где Yi - координаты(1 ::::; i ::::; N, N » 1). Взаимодействиеи импульсы частиц термостатакубита с термостатом приводитк тому, что его вектор состояния становится зависимым от переменныхтермостата:\'Ф) =а( .. . Yi .. .)\0)+ Ь( ... Yi .. .)\1),т.е. является случайной величиной . Состояние кубита, взаимодействующегос термостатом,называетсясмешаннымсостояниемиописы-114Гл.8.Матрица плотности. Декогеренция кубита. Квантовые измерениявается не вектором состояния, а так называемой матрицей плотности.Введем матрицу плотности двухуровневой системы следующим образом. Усреднение оператора (8.1) по переменным термостата (обозначаемое чертой сверху) определяет оператор матрицы плотностир=PooiO)(OI + Po1IO)(ll +Рюl1)(01+ Pllll)(ll,(8.4)где элементы матрицы плотности двухуровневой системы естьРоо= а*а,Ро1= Ь*а,Р1о= а*Ь,Pll= Ь*Ь.(8.5)Получим уравнения для диагональных и недиагональных элементовматрицы плотности двухуровневой системы.Выключим сначала взаимодействие кубита с термостатом, т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
