В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова - Квантовая физика. Биты и кубиты (1161735), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Конкретизация операций, выполняемых этимпроцессором в терминах операцийбудет произведена в главе11CNOT и однокубитовых операцийпри рассмотрении конкретных квантовыхалгоритмов.В заключение этой главы будет рассмотрен простой пример квантового параллельного вычисления, генерирующего двухкубитовые перепутанные состояния, используемые в квантовой коммуникации.9.1.Квантовые логические операторы (вентили) и квантовые схемы9.1.137Квантовые логические операторы (вентили)и квантовые схемы9.1.1.
Однокубитовые вентили. Однокубитовые вентили представляютел матрицами 2 х 2. Единственное ограничение на эти матрицы СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО ОНИ ДОЛЖНЫ бЫТЬ унитарны, Т.е . UtU = 1, ГДесопряженная матрица, получаемая транспонированием и послеut -дующим комплексным сопряжением И.Простейшийоднокубитовыйвентильпредставляетсяоператоромидентичности Т Его можно представить как диагональную матрицу2х2или в виде проекционного оператора:?)(~1={9.1)10)(01 + 11)(11.=9.1.2. Оператор NOT. Оператор NOT (матрица Паули <Тх) . ОпеNOT переводит состояние IO) в состояние 11), и наоборот. Нараторквантовой схеме этот оператор обозначается как Хх=(?~)Действие квантового вентиля+ ЬIО),(9.2)= 10)(11 + 11)(01 .NOTна состояниеaiO) +Ьl1) даетal1) +т.е.(9.3)9.1.3.ОператорыZи У.Два других важных квантовых венти-ля:вентиль Z {матрица Паули <Тz), оставляети переводит 11) в -11) :z=(~ ~1IO)без изменений) = IO)(OI-11)(11;(9.4)вентиль У (матрица Паули <Ту):У=( оi-i).=-iiO)(ll+ii1)(0I.0На практике часто используется вентильимеемiY = ZX.iY.Поскольку i<ТуИзображение квантовых вентилейX,iY,Z(9.5)= аz<Тх,на квантовой схеме приведенона рис.9.1.
Горизонтальной линией обозначается «квантовый провод», несущий один кубит. Линия, обозначающаяквантовый провод на квантовой схеме, показывает временную последовательность квантовых операций, совершаемых над кубитом слеванаправо .l38Гл .9.Квантовые вентили и квантовые схемы. Квантовый параллелизмaiO) + Ьl1)-0-ЬIО) + al1)aiO) + Ьl1)----@}-ЬIО) - all)aiO) +bl1) ~ aiO)- Ьl1)aiO) + Ьl1)Рис.--Ifil-~aiO) + 11) + ьiО) -11)J2Изображение квантовых элементов9.1 .9.1.4.Оператор Адамара.J2на квантовой схемеX,iY,Z,HДействие оператора Адамара определяется следующим образом:н=_l (11 ) = IO) + ll) (01V2 1 -1V2+ IO) -ll)V2Схема квантового вентиля Н приведена на рис.9.1.(11.(9.6)Оператор Адамара переводит базисные состояния в суперпозиционные:9.1.5.+ ll)V2'(9.7)IO)~Il).(9.8)HIO)= IO)Н1 1 )=Оператор измерения кубита.В конце вычислений измеряется состояние каждого кубита в регистре.
В результате измеренияполучается либоIO),либо11).В отличие от обратимых операторовповорота вектора Блоха, оператор измерения - необратимый (не унитарный). На квантовой схеме оператор измерения изображается так :Рис.9.1.6.9.2.Оператор измерения кубитаДвухкубитовыетролируемыйNOT-вентили.ствиякоторого · аналогиченКвантоваясхемаоператораIA)IB ЕJЭ А)IB)оператор,Кубит(рис . 9.3)трольным, а кубит IB) обозначаетлюCNOTоперацию-принципклассическомуоператоруCNOT приведенанаIA)CNOTIA)IОператордвухкубитовыйкондейCNOT.рис .
9.3.называется концелевым . Знак ЕJЭсложенияпомоду2.Запишем операторCNOTв форме проекционного оператора:Рис .9.3.ОператорCNOTCNOT = 11) (11 ® NOT + IO) (01 ® f. (9.9)9.2.гдеf-Квантовый параллелизм.139оператор идентичности.Рис . 9.3 демонстрирует действие оператора CNOT:• контрольный кубит переносится на выход верхней линии безизменений;•на выходе нижней линии получается значениепо модулюIB ЕВ А)-суммазначений целевого и контрольного кубитов:2IO) ffi IA) = IA),11) ffi IA) = 11- А).Это правило действия для квантового CNOT аналогично классическому CNOT: если контрольный бит равен нулю, значение целевого битасохраняется, иначе (контрольный бит равен единице)- инвертируется.9.2.Квантовый параллелизмМы рассмотрели основные, наиболее часто используемые операторы,припомощикоторыхможностроитьквантовыесхемыиреализовывать квантовые алгоритмы.
Следует отметить, что рассмотренныйоператор CNOT не единственный двухкубитовый оператор, однакотеорема универсальности гласит: любой .мн.огокубитовый вентиль.может быть составлен. из элементаCNOTи одн.окубитовых элементов.Основываясь на теореме универсальности, введем двухкубитовыйоператор Иt, который позволяет производить вычисление булевойфункции f(x) =О, 1, где аргумент х также принимает два значения:х =О,Рис.1.9.4.Действие этого оператора поясняется на рис.ххуyffif(x)ДвухкубитовыйоператорИ1,9.4.совершающийиреобразованиеlx, у) ~ lx, у Е9 f(x))Верхний кубитlx)составляет регистр данных. В него записываютсязначения аргументов функции.
В общем случае регистр данных состоит из n кубитов. Нижний кубитзначения функциирегистрf(x).-регистр, в который записываютсяОн называется целевым регистром. Целевой- всегда однокубитовый. Входное значение верхнего кубитаlx) переносится на выход. Выходное значение нижнего кубита у ЕВ f(x):IO) ffi IA) = IA), 11) ffi IA) = 11- А).140 Гл. 9.=Квантовые вентили и квантовые схемы. Квантовый параллелиз.мПодадим на вход рассмотренной схемы состояния{рис. 9.5).
Имеемиlx) = IO)IY)=IO)IO)IO)IO)-'-----_____,10) Е1Э IJ(O)) = l/(0))Рис .9.5.Вычисление функцииf(O)Таким образом, схема, изображенная на рис.9.5совершает преобразование двухкубитового состоянияIOO) ~ IO, f(O)),(9.10)т.е. вычисляет значение f(O).Аналогично, при lx) = 11), имеем110)~ ll,/(1)).(9.11)При этом в целевом регистре на выходе записывается значениеl/(1)) .В этом режиме квантовая схема работает как классический процессор,вычисляя одно значение функции за одну операцию.Однако,квантовый вентиль Иf Позволяет также произвести вычисление обоихзначенийf(O)и/(1)за одну операцию, если подать на его вход (в регистре данных) суперпозиционное состояние (10)вводим в схему оператор Адамара {рис.IO)~--1-0)~ji)-~:_ _______ ..
__________ j};---,-оу :IO)Рис.+ 11) )/v'2 . Для этогоЛинейный оператор9.6):·'·1)='f'outUfIO)If(O)) + 11)1/(1))у'2[ __________ J9.6.Квантовый параллелизм : один процессор параллельна вычисляет двазначения функцииf(O)) и f(l))работает одновременно (параллельно) с каждым членом суперпозиции,как определено формулами (9.10) и (9.11), а результаты складывает.В результате, схема, изображенная на рис. 9.6, совершает преобразовани еl't/Jin)= IOO) --tl't/Jout)= JO)Jf(O))+ Jl)Jf(l)) ·V2(9.12)9.2.Квантовый параллелизм.141Вектор 1щходного состояния I'Фout) содержит оба значения булевойфункции f(O) и !(1). Таким образом, квантовый параллелизм даетвозможность вычислять на одном двухкубитовом квантовом процессаре одновременно два значения булевой функции, которые выдаютсяв суперпозиционном виде.Отметим , что в классическом компьютере под параллелизмом (параллельным вычислением) понимается одновременное действие двух(или более) процессоров, вычисляющих два (или более) значенийфункции (рис.
9.7)о1ПроцессорПроцессор12~~f(O)Рис.9.7.!(1)Классический параллелизм : два процессора параллельно вычисляютдва значения функцииf(O)и/(1) .Обобщим теперь схему, использующую квантовый параллелизм наслучай п-кубитового регистра данных. В этом случае схема квантовогокомпьютера , вычисляющего одновременно (параллельно)2nзначенийфункции выглядит так:totlt outnIO)UJIO)I'ФI)11/Jin)Рис.9.8.I'Фout)Схема квантового компьютера, вычисляющего за одно действиезначений функцииf(x).I'Фin)-входное состояние , I'Ф 1 ) и I 'Фout)-2nпромежуточное и выходное состояния, соответственно .На схеме знаксостоит изn/с индексомкубитов . Входноеn(n+означает, что регистр данных1)-кубитовое состояние задается142Гл.9.Квантовые вентили и квантовые схемы. Квантовый параллелизмвекторомI'Фiп) = (10) ~ IO) ~ ... 10)) ~10)=IO)®n ~ IO).(9.13)nкубитовСимвол н®n означает применение оператора Адамара к каждому изnкубитов регистра данных:н~ н~...
~ H(IO) ~ IO) ~ ... ~ IO)) =nnоператоров==vkкубитовIO) + ll) кл IO)V2"<У+ ll)V2клкл IO)"<У ••• "<У+ ll) =V2vk L2"-1(100 . .. 0)+ 100 . .. 1) + ... + 111 ... 1))=lx)(9.14)х=ОЗдесь введено обозначениеlx)= lxo , х1, ... Xn-1).где'"'nxi =О,1.· поэтомуЧисло х в двоичном коде записывается как х = L..i:o1 Xi2t,каждый член в сумме (9.14) задает одно число х из набора 2n чисел :О:::;; Х:::;;2n- 1.Таким образом, в регистре данных квантового компьютера, состоящем из n кубитов, записано в суперпозиционном видечисел! В классическом регистре изn2n п-разрядныхбитов записано только однотакое число.
Квантовый ,прин.цип суперпозиции позволяет получитьэкспоненциально большой выигрыш в памяти квантового компьютерапо сравнению с классическим компьютером.Состояние компьютера после действий операторов Адамара (см.рис . 9.8) записывается в виде(9.15)Выходное состояние 'Фоиt получается после одного лишь действияоператораI'Фout)=Uf :И1I'Ф1)vk L2"-1=lx,O ~ f(x))х=ОВ результате одной операции,vk L2"-1=lx, f(x)) . (9.16)х=Ов которой операторUfдействуетпараллельна на все 2n двухкуб итовые состояния lx О) в суперпозиции(9.15), вычислены все 2n значений функции f(x) при различных 2nзначениях ее аргумента х.Квантовый параллелизм, таким образом, позволяет получить экспоненциально большой выигрыш также и по числу операций по сравнению с классическим компьютером.9.3.всеПерепутанные состояния двух кубитов.
Базис Белла143В выходном состоянии (9.16) в суперпозиционном виде хранятся2n значений функции f(x). Чтобы извлечь эту информацию нужнопровести измерение состояний кубитов.двухкубитовый(n = 1)случай. Тогда изРассмотрим, для простоты,(9.16)имеем=~ (10) 01/(0)) + 11) 01/(1))).I'Фout) = ~ (10, f(O)) + 11, f(l)))(9.17)Измеряем первый кубит в базисе IO). 11) с вероятностью 1/2 получаем IO) и состояние после измерения 10. f(O)), и с вероятностью 1/2получаем 11) и состояние после измерения 11. /(1)). Таким образом,измерение суперпозиционного состояния (9.17) дает только одно издвух вычисленных значений функции. Аналогично, при измерениисостояния (9.16) мы получим лишь одно из 2n вычисленных значенийфункции f(x), остальная информация необратимо теряется вследствиеколлапса суперпозиционного состояния в процессе измерения.Кажется, что постулат измерения перечеркивает сразу оба экспоненциально больших выигрыша, которые дает квантовый компьютер--в объеме памяти и по числу операций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
