Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому для системы (24) задача Коши с данными при т = = сопвг корректна, а с данными при ф = сопвг, вообше говоря, некорректна, Следовательно, система (24) является эволюционной только по переменной г. Попутно стоит заметить, что условие совместности уравнений (23) после несложных преобразований приводится к виду (25) з~'з =Ч -отод,Х, гдс Ж рассматривается как функция от (т, ф), а функция а = д (ф) взята из интеграла Бернулли (22.13). Поэтому функция зч' в (23) определена однозначно, с точностью до несушественного произвольного множителя, зависящего только от т, если заданы ее значения на какой-нибудь одной линии тока зи = солей В частности, если течение изоэнергетическое, т.е.
константа д~„ не зависит от рч то уравнение (25) имеет простое решение Ф = 1, и тогда из (23) следует, по можно принять т = ~р. Этот вывод тем более справедлив для безвихревых изэнтропических течений. Для иллюстрации указанного выше свойства эволюционности системы (24) можно вернуться к уже решенной в Е 22 задаче обтекания выпуклого угла и интерпретировать ее как задачу Коши с начальными данными при х = О, у > О,задавая их в видео = аз > сы В = О(см. рис. 22,7). Тогда, проводя аналогию с одномерными движениями, можно трактовать отклоняющуюся часть ОВ обтекаемой с~сики как «поршенеь выдвигаюшийся из газа», на котором задано «условие нспротекания» В = В1 = СОПЕЕ Подобная аналогия уместна и полезна также в ряде других задач о сверхзвуковых течениях. Простые волны. В Е 22 уже были изучены простые волны для осесимметричных течений и было показано, что все они суть автомодельные решения, зависяшие от Л = х/р.
Поэтому здесь будут рассматриваться простые волны только лля плоскопаразлельных течений. В этом случае свойства простых волн вполне аналогичны таковым для одномерных изэнптропнческих движений с плоскими волнами, рассмотренных в З 16. Так как, согласно обшей теореме 13.1, простые волны должны быть изэнтропическими потенциальными течениями, то нх можно искать сразу для уравнений (7) с и = О. Теорема 1. В каждой простой волне, ест онп не есть постоянное течение, один и только один из инвариантов Римана, г или 1, сохраняет тождественно постоянное значение.
Если в простой волне г = сопев (изи ( =- сопят), то ее линиями уровня якзяютсяхарактерисзпики С (соответственно Сч.). В обоих случаях характеристики — линии уровня простой волны — прямолинейны как на плоскости течения, так и на плоскости $ 24. Хлглкта истикн и пгостые волны 267 потенциала. Обратно, если в некоторой области течение не постоянно и один иэ инвариантов Римана тохсдественно постоянен, то течение в этой области есть простая волна. йб'Л, — ра'Л, = О, сгд о о Л вЂ” рад'Ле — — О, (26) которая может иметь ненулевое решение (Л., Лв), только если ц~вйп — ссл а ° д' = О.
В силу определения (12) это равенство равносильно соотношению г'б = О. Значит, один из инварнантов Римана, г нли I, должен быть тождественно постоянен. Предположение о том, что постоянны они оба, приводит, очевидно, к постоянному течению. Если г = сопвг, то дб' = с1ко д' и уравнения (2б) сводятся к одному Ле — рак о Лв —— О или, в обозначениях (13), к уравнению )э Л = О. Это означает, что параметр простой волны Л постоянен вдоль характеристик семейства С . Но на каждой характеристике С сохраняет постоянное значение также инвариант Римана й Из постоянства инвариантов г и 1 вдоль С следует также постоянство величин й н д, а значит, р и гт.
Поэтому в дифференциальном уравнении характеристик С на плоскости потенциала правая часть постоянна вдоль С . Следоватедьно, эти характеристики суть прямые линии на плоскости потенциала с уравнением вида ф+ аско = Е'(ч) где Г(д) — произвольная функция. Точно так же в дифференциальном уравнении характеристик С на плоскости течения Ыу/с(х = 1й(д — и) правая часть постоянна вдоль С .
Следовательно, эти характеристики— прямые линии и на плоскости течения с уравнением вида у — хгй(б — сг) == Г(у). Аналогично рассматривается случай 1 = сопзг, в котором вместо характеристик С прямолинейными будут характеристики Се, Наконец, если ДОклзлтГльстиО.
Основнос предположение, выделяюшсс простые волны, здесь выглядит так: о = у(Л), б = б(Л), где Л = Л(чэ, ф). Подстановка этого представления в (7) дает систему уравнений (штрихом обозначены производные по Л) П1ЛВЛ 1Ц ДВУМ1 ЕНЬ1Г УСТАИОВИВИ!ИЕГ'Я ТЕЧЕНИЯ 263 в некотором непостоянном тсчении (заранее не предполагаемом простой волной) выполнено равснство г = сопят (или 1 =' <опаг, то это означает, что всличина О зависит только от г1. Значит, сели положить г1 =- Л, то будет В: — В(Л), т.е, выполнсно основное предположение, выделяющее простые волны. Простая волна, в которой тождественно постоянен инвариант Римана г (соответственно 1), называстся коротко г-волнои (соответственно 1-волной). В процессе доказательства теоремы ! получились соотношения, позволяющие дать следующее полное описанис всех простых волн.
Уравнения г-волны: г =  — 11(г!) = го, у — хтп( — гл) = г(г)), Ы+ уэргба = г'(11). (27) Уравнения 1-волны: 1 = В ! р(г() = 1 ., р — х гя(В Е ) = Е(г1), ~'; — ррзкгг =- г (г1). (28) Теорема 2. Если в непрерывном беэвихреволг иээггтропическом плоскопаразлельнот течении есть характеристика С+ (соответственно С ), вдоль которой векгпор скорости тоэюг)ественно постоянен, то в окрестности этой характеристики, с каждой ее стороны, данное течение являетсн либо постоянным, .1 ибо простой 1 волной (соотвегпственно г-волной).
В частноспги, неностоянпое течение, прилгыкаюигее к поспюяннолгу, всегда есть простая вилла. ДОклзлтддьстВО. С несущественными изменениями повторяется доказательство тсорел1ы !6.2. Теорема о примыкании справедлива и в усиленной формулировке, бе1 требования потенциальности и изэитропичности течения в целом, но с дополнительным предположением о том, что вдоль ланной характеристики С+ (или С ) вихрь равен нулю и энтропия постоянна. Простая волна называется кентрировонной, если все се прямолинейные характеристики пересекаются в одной точке. Рассужление, аналогичное приведснному в з !6 по тому же поводу для простых волн в одномерных движениях, показывает, что справедливо Входящие сюда произольныс функции Р(д) в разных уравнениях (27) и (28) могут быть различными. Для распознавания простых волн служит следующая теорема о при.Иыканин, даю1цая, аналогично теореме ! 6.2, достаточное условие существования простой волны.
5 24. Хлгяктн истики и пгосгыа волны щ 269 слсдуюп!сс описание центрированных простых волн (для упрощения записи в качествс цснтра взяты точки (в, р) = (О, 0) и (!з, ф) — (0,0); все другис случаи получаются отсюда преобразованиями переноса). Уравнения цснтрированной г-волны: 0 — )з(д) = го, сй( — а):- —, р1ка = — —. и чз (29) Уравнения центрированиой 1-волны; е+)з(9) = !о 1К(0+о) = ~ РЫо =— р зб (30) Итак, цснтрированные простые волны описываются автомодсльными решениями исходных дифференциальных уравнсиий (!) или (7) (при и = 0).
Полная центрированная простая волна ужс была найдена в (( 22; она называется течелиеи Прпидлыя — Мейери и на плоскости течения показана на рис. 22.6. Эта картина здесь дополняется ес изображением на плоскости потенциала, приведенным иа рис. 2. Рвс. 2 Волны сжатия и разрежения. В частице, движущейся вдоль линии тока, плотность газа может возрастать или убывать.
Если плотность газа возрастает, то имеет место течение сжатия! если плотность газа убывает — то течение разрезкглил. Эти понятия в прнмсиснии к простым волнам приводят к следующему определению (аналогичному 16.3). Определение 1. Простая волна называется волной сжатия (соответственно волной разрежения), если при движении в направлении вектора скорости вдоль пересекающих эту волну линий тока плотность р возрастает (соотвстствснио убывает). Так как при указанном направлении движения вссгда г(у > О, то различающей величиной является производная р«: течсиис сжатия (разрежения) характеризуется неравенством рв ) 0 (соответственно р < 0).
При наглядном изображении простых волн в виде «веера» их прямолинейных характеристик можно различать волны сжатия и разрежения по расположению «ручки веера» аналогично тому, как различались такие волны в одномерных движениях (см. 91 16). Специфика здесь состоит в том, что положснис «ручки веера» определяется по отношению к направлению 270 ГЛАВА !У. ДВУмеРные Устлновившиесл течения Лемма 1. )гглавые коэффиг!велты Ну)'г(х и г(гу/гйр прямолинейных характеристик в простой волне с ростом «г всегда изменяются в одном и толг же направлении блибо оба возрастают, либо оба убывают). Доклзлтгшьствсь Для простой г-волны — — = — гй(0 — гз) = (0в — гзв), д "у д 1 д р г(х др соез(0 — гг) где, как нетрудно вычислить с помощью (2), гп + 2 ешз гх о.
2с сое гг Так как здесь 0 — р(д) = сопят, то 0 = сск гз г7,р/д. Следовательно, 0. — . = — соао~ - ""+ "" "~ = ш+2 . (3ц г аа!по " 2ссозо " 2оз!пгхсоасг " С другой стороны, в силу (2!) дФ' д ш+2 ( р1йгг) = рг! . др фр др 2с соез гх (32) Сравнение (3!) с (32) показывает, что для простой г-волны утверждение леммы верно. Аналогичные вычисления для 1-волны дают те же выражения (3 ! ) н (32), но со знаком минус, Из этой леммы вытекает, что геометрический критерий для различения простых волн сжатия или разрежения на плоскости течения и на плоско- течения: говорят, что «ручка веера» находится спереди, если сближение прямолинейных характеристик происходит при движении вниз по потоку (в направлении вектора скорости), т.е.
со стороны ббльших значений потенциала д «ручка веера» находится сзади, если сближение прямолинейных характеристик происходит при движении вверх по потоку — со стороны меньших значений потенциала ~р. Ясно, что расположение «ручки веера» однозначно описывается направлением изменения, с ростом потенциала р, углового коэффипиента наклона соответствующих прямолинейных характеристик. Важно, что это направление изменения всегда одинаково на плоскости течения и на плоскости потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
