Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В точках звуковой линии 2 уравнения (22А5) принимают вид Во=о, Ве=-),, р Я и, следовательно, при перемсшении вдоль г С другой стороны, из второго уравнения (!) следует, что вдоль г справедливо равенство гй) = О, и так как Е нс является линией тока (т.е, вдоль нее г(ф ф О), то яи =- япсир/'з!и. Подстановка этого выражения в предыдущее показывает, что при персмешении вдоль Я выполнено соотношение Пусть () есть дозвуковая область течения, частью границы которой является г, Следует рассмотреть два случая; а) вектор скорости и в точках А е Я направлен вовне П и б) вектор и направлен в область Й (рис. 2, а, б). В случае а) при псремсшснии вдоль Я в направлении, указанном в условии теоремы (показано стрелкой на рис.
2), верно неравенство г((( > О. Действительно, в местной системе координат с началом в А и осью х, направленной по пп, в представлении пп = (и,о) будет и = г! и и = О. Поэтому здесь Аф = рд г(у, причем Ыу > О. Далее, так как а < с, слева от А и а = с. в точке А, то в этой точке производная а„> О. Следовательно, $ 26.
Оипнпввуковыв тачы ~ил чз>0 ч >О ...х я<с ', А Рпс. 2 соотношение (2) влечет нсравснство ?(0 < О. Аналогично, в случае б) при обусловленном направлении перемещения вдоль Я (показано стрелкой на рис. 2, б) будет ач? < О, д„< О, и из (2) снова получается ?(О < О. ° Очевидно, что утверждснис теоремы 1 верно и в том случае, когда к звуковой линии а примыкает сверхзвуковос тсчснис и перемещение вдоль г происходит так, что область сверхзвукового течения остается справа. Следствие. Если по обе стороны звуковой линии Я находится дозвуковое (из?? по обе стороны сверхзвуковое) течение, прочем Я не является линией тока, то вдаль Я необходимо 0 = сопя?? и линия У совпадает с эквипотенциалью.
Примыкание простой волны. Другой важный факт обнаруживается при изучении вопроса о том, когда к звуковой линии может примыкать простая волна сверхзвукового течения. Теорема 2. Пуси?ь в области П гладкого течения есть звуковая линия а, к которой примыкает простая волна. Тогда Е является двойной характеристикой С~, причем линия Я вЂ” прямая на плоскости течения. Никакая другия характеристика не пересекает х, в области П В точках а векпюр скорости ортогонален прямой линии Я.
Доклзлтедьство. Пусть к Я примыкает г-волна с уравнением 0 — р(0) .= гс. Так как ? (с„) = О, то 0 = го вдоль г, Поэтому Я есть линия уровня простой г-волны и необходимо должна совпадать с некоторой характеристикой С . Это означает, что вдоль нее справелливы равснства Йу/Йх = ?л(0 — о) = гк(гс — к?'2) -- — с?йго.
Следовательно„есяи начало координат выбрано в точке А е Я, то линия Я есть прямая р = — х сея го, совпадающая с характеристикой С . 290 Гллвл |ц двумьм|ык устлповивп|иг| я Гечяиия Характеристика Сь, проходящая через точку А, определяется дифференциальным уравнением /!З//Йх = Са(0(х, У) т о(х. 9)) и начальным условием о(0) = О. Но прямая д = — хеся го удовлетворяет этому условию и по построению такова, что вдоль нес о(Х, -Х Сейте) = ГО, а(Х, — ХССКГС) = К/2. Поэтому вдоль этой прямой г(у/г)х = — стяга = ся(()(х, — х с!а го) + а(х, — х с!я го)), т. е, предыдущее дифферснпиальиос уравнение превращается в тождество.
Следовательно, в силу единственности, решение совпадает с у = — х оса гс, т.е. С+ совпадает с Е. Это же рассуждение показывает, что никакая другая характеристика, проходящая в области й, не может иметь общих точек с Я. Наконец, в силу предыдущего касательный вектор к хб есть 1 = (в!иго, совгс), а всктор скорости в |очках Я имеет вид и =.- с„(совго,в|иго). Следовательно,! ц=О. Итак, примыкание простой волны к звуковой линии возможно, только если последняя есть пряник звуковая линия.
В дальнсйшсм этот вил звуковой линии будст изучен более детально. Местная сверхзвуковая зона. Р, Пусть течение опрсдслсно по одну сто- Р Я, рону от некоторой линии тока.х' (кото- рую можно считать обтекаемой твер- Р дой стенкой) и имеет следующую структуру. Течение всюду дозвуковое, кроме области (2, ограниченной участя.- с 9.г А Е ком АВ линии .У и звуковой линией Я /' /! с концами в точках А и В (рис. 3), Г/ причем в й течение свсрхзвуковос. Такие местные сверхзвуковые золы могут возникать, например, на теле при его обтекании бсзграничньв| дозвуковым на бесконечности потоком, когда число Маха М ) Мц (см.
(|23). Оказывастся, что непрерывное течение в мсстной сверхзвуковой зоне неустойчиво в том смысле, что оно может разрушаться при сколь угодно малом изменении границы х'. Это разрушение связано с появлением скачков уплотнения и нарушением безвихрсвого з 2б. Околозвуковыв тгчГния изэитропичсского характера течения.
В частности, справедлив слелующий факт: сели на сверхзвуковом участке АВ стенки У имеется сколь угодно малый прямолинейный отрезок, то непрерывное течение в П невозипнгно. Действительно, пусть Аз Вз С А — отрезок прямой и точка Е е А~Вы Характеристики С и С „выходящие из Е, нс могут пересечься второй раз внутри П. Этот общий факт следует, напримср, из того, что угловой коэффициент (24.14) каждой характеристики на плоскости потенциала вссгла имеет один и тот же знак, в силу чего никакая характеристика нс может дважды пересечь одну и ту же эквипотсициаль.
Поэтому они должны достигать звуковой линии о, соответственно, в точках Р и (,) (см. рис. 3). Свойство сохранения значений инварианта 1 вдоль ЕР и инварианта г вдоль ЕЯ приводит к равенствам (З) ()г = ()и Мл рд = Ог — Мгч, из которых вытекает соотношение (4) () +()с1 = 2В г.
Так как ук = сопвс при перемещении вдоль прямолинейного участка АгВм то соотношение (4), в силу теоремы 1, возможно, только сели Ор =- сопят и дс1 = сопас. Гогда из (3) получается, что (зг = р(дл) = сопьц т.е. дг = = сопя(, Значит, на отрезке А1Вз скорость постоянна. Из теоремы единственности (см, з 24) следует, что во всем характеристическом треугольнике А1ХВз течение является постоянным. По теореме 24.2 к этому постоянному течению должна примыкать вдоль Се-характеристики А, и" простая йволна. Следовательно, область течения А, Рз РаЖ есть простая волна, примыкающая к участку Р,Рз звуковой линии Я. Но тогда факт псресечения С -характеристики ЕР со звуковой линией в точке Р противоречит теореме 2. Из соотношения (4) и теоремы 1 следует также невозможность непрерывного течения в местной сверхзвуковой зоне около стенки, на которой ссгь участки, вогнутые в сторону потока.
Окрестность центра течения. Наиболсс замечательные свойства околозвукового течения связаны с его поведением в окрестности так называемого центра течения. Определение 2. Центров околозвукового шечения называется такая точка на звуковой линии У, в которой вектор скорости ортогоналсн к 7. Структура окрестности центра тсчсния рассматривастся в предположении, что в этой окрестности компоненты вектора скорости и(к, у) и ц(к, у) 292 Глава 1У, Двтмвгныв тстлновившияся ткчкния трижды непрерывно дифферснцирусмы.
В качсствс исходной берепжзси- стема уравнений на плоскости течения (22.23) при и = 0: и„— о =О, (и — сз)и,. -'; 2иии„+ (из - сз)ик — - О. Систсма координат (х, р) выбирается так, чтобы начало координат совпадало с центром течения О и ось х быяа направлена по вектору скорости цо (в дальнейшем значения вссх величин в центре тсчсния отмечаются индексом нуль). В этой системе координат компоненты вектора скорости в центре течсния таковы: ио=с., иа=О.
(б) Как вскоре выяснится, ответственной за поведение околозвукового потока в окрестности сто центра является величина ускорения течения в цснтРе (пИг(г)о = (ичк + сок)о. Дла него в силУ (6) спРавсдливо пРедставлснис (~й7/г(т)о = с.и.„. Поэтому всличину (7) также можно назвать ускорением (относитсльным) околозвукового течения в его центре, Пусть р = У(х) есть уравнение проходящей через О линии тока, х = Е(р) — уравнение звуковой линии и т = Х(р) — уравнение проходящей через О характеристики. В выбранной системе координат У(0) .:- Я(0) = = Х(0) = 0 и из определения центра течения следует, что равны нулю также первые производныс: х' =о. 4=0, (8) У'о = О. Особый характер гладкого решения уравнений (5) в окрестности центра течения выявляется при оценке разных слагаемых в степенных разложениях вида и(х, р) = с, -ь ~~ о„х'р', и(х, р) = ~ А .х'рз.
(9) 1лу>о 1~5>о Для выделения главной части разложений (9) используется моделирование с помощью прсобразования растяжения всех псрсменных х — ~ Ах, р — ~ Вр, (и — с.) — ~ Р(и — с.), и -~ Яи, где А, В,Р, Я вЂ” параметры прсобразования. Требование инвариантности первого уравнения (5) приводит к соотношению АР = ВЯ.
3 26. Околозвтковыи гвчиния Далее, с учетом пропорциональности величины и~ — сз разности и — с, (в си- лу интеграла Бернулли), выделение главной части второго уравнения (5) вблизи точки О даст й (и — с,)и. — смии — — Р (й, ) О). (10) Поэтому требование инвариантности ~лавной (лсвой) части уравнения (! О) влечет соотнощсние ВРз = А(„!. Кроме того, надо потребовать, чтобы величина ускорения (7) при таком моделировании нс менялась. Для этого должно быть Р = А.
Следовательно, все параметры выражаются через один из них, например В, и требуемое моделирование, с малым параметром В = б, определяется формулами х бзх, у бу, (и — с„) -| ба(и — с.). о бзо. (11) В результате подстановки (11) в разложения (9) и сравнения членов с оди- наковыми степенями б яегко устанавливается, что гливная чисть этих раз- ложений имеет вид и(х,у) = с.
+нюх->пазу, о(х,у) = Дыху+Дозу, (12) если только выполнены равенства оо| = до| = )эю = Воз =. 0 (13) После этих предварительных замечаний устанавливается следующий точный результат, в формулировке которого участвует положительная величина т„+ 2 2с. (14) ою =- а, паз = Й.а, Вы = 2й*а', Воз = —,)г,а . (13) Кроме и|ого, справедливы формулы А~о — — — 21*а Уои = 0 с,Ц' = 2))го, (10) где функция гп определена в (2.22) и |и„= т(р,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
