Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ДВУМЕРНЬ7Е УСТАНОВИВШНЕСЯ ТР7НННЯ Из теорем 3 и 4 следует, что на прямой звуковой линии Л производные второго порядка 77хя, иуу 77хх ° 7хв ииу всс обрашаются в нуль. Это не так, вообще говоря, для производной ихх. Она характеризует скорость изменения ускорения течения в точках о, так как простой подсчет даст 712п,77йз,х = с'.-(77,12, О). Ее удобно заменить величиной (ЗО) ш = 6 ихх(О, ц), которая будет называться скоростью ускорения течения на прямой звуковой линии. С предположением, что решение в окрестности о четырежды непрерывно дифференцнрусмо, для нес устанавливается следуюШий замечательный факт. Теорема 5.
Скорость ускорения течении на нрниой звуковой линии удовлетворяет уравнению ш =бы. (З1) ДОкАЗАтельстВО. Результат получается трехкратным дифференцированием второго уравнения (5) по х, заменой производных их, и х, и „,... производными от и в силу первого уравнения (5) и переходом на Я с учетом предыдуших равенств. Для экономии места здесь этот вывод выполняется для модельной системы (23). В этом случае определение скорости ускорения и7 надо заменить, согласно (22), таким: 2ш =-- и, . Дифференцирование второго уравнения (23) по х приводит, в силу первого, к равенству и„=и +иих 2 Ешс двукратное дифференпироваиие по х дает 2 и,х„, = Зи„+ 4и и,х + ии, хх, откуда на Я для и7 = (1772)и получается уравнение (3!).
Решениями уравнения (31) являются эллилтические функиии, и его полная теория связана с рассмотрением поведения решения на плоскости комплексного переменного у. Для приложений к газовой динамике достаточно заметить, что после умножения на 2ш' и интегрирования получается первый интеграз ш'2 =- 4и з — 462 (6::- сопят). (32) Отсюда зависимость между ш и р находится квадратурой.
Если 6 ф О, то решение симметрично относительно точки, где и7 = 6 и т' = О, в качестве которой можно взять р = О. 302 ГлАВА!ч. Двумегныи устхнОВиви1иггся 1ечения а) Рис. 7 вообще говоря, сушествуют особые точки течения, соотвстствуюшие обрашению функции ш(у) в бесконечность. В решениях с 6 ф 0 таких особых точек всегда две, а при 6 = 0 — одна. Только для нулевого решения (и: — О) уравнения (31) (т.с. когда скорость ускорения равна нулю) особых точек на прямой звуковой линии может не быть. При 6 ) 0 решение (37) описывает поведение сверхзвукового течения, возникающего прн истечении равномерного звукового потока из трубы в пространство с пониженным давлением.
Особым точкам соответствуют края отверстия, что позволяет найти скорость ускорения по известной ширине трубы. При 6 = 0 решение с функцией (3б) является ивгломодельной простой волной и представляет собой нс что иное, как главную часть течения Прандтля-Мейера, начннаюшегося со скорости звука (см. рис. 22.6). Из предыдуших рассмотрений следует ешс один важный вывод: прямая звуковая линия У всегда являстся двукратной характеристикой С+, и никакая другая характеристика не может пересечь Я в области непрерывного течения.
Сопла Лаваля. Именем шведского инженера П.Лаваля называстся вначале сужающийся, а затем расширяюшийся канал, предназначенный для непрерывного преобразования дозвукового течения в сверхзвуковое. Такие воз аэб, Околозвгковыв гвчвния каналы используются в конструкциях турбин, ракет и аэродинамичсских труб. Рис. 8 Рис. 9 Симметричное относительно продольной оси сопло Лаваля показано на рис. 8.
Переход течения через скорость звука происходит на звуковой линии У, пересекающей все линии тока и достигающей стенок сопла. )очка пересечения звуковой линии Е с осью симметрии является центром околозвукового течения и называется также иелтраи сопла. Априори возможны два типа течений; с положительным ускорением в центре сопла (структура течения показана на рис.
8) и с нулевым ускорением и прямой звуковой линией (рис, 9), Во втором случае примыканис дозвукового течения к сверхзвуковому вдоль л происходит, вообще говоря, со слабым разрывом, а именно с разрывом скорости ускорения (30). Возможность такого примыкания обеспечена существованием как лозвукового, так и сверхзвукового решения вида (37) и тем фактом, что прямая звуковая линия У является характеристикой. Некоторый недостаток сопел Лаваля с прямой звуковой линией заключается в малости продольных градиентов скорости, ввиду чего такис сопла имеют относительно большую длину. Течение через сопло Лаваля с положительным ускорением в центре сопла опрсдслястся, вообще говоря„его заданными стенками А1Е1 и АэЕ и заданным распрсдслснием модуля скорости на входе в сопло (сечение А,Аз на рис, 8).
Слслуст заметить, что область влияния участков стенок В, Е1 и ВзЕэ совпалает с областью сверхзвукового течения, лежащей вниз по потоку от характеристик В1ОВэ (соответствующих характеристикам С~г на рис, 4). Поэтому течение в дозвуковой области и в части сверхзвуковой области, расположенной вверх по потоку от характеристик В|ОВэ, нс зависит от формы частей стенок В~Е1 и ВэЕэ. Следовательно, линия А~ ВДОВ Аз ограничивает область независимого (от остальной части сопла) трансзвукового тсчения.
Именно эта область и подлежит 304 Гллвл 1Ч. Двкмн ныа тстлновившиася твчвния расчету при решении основной задачи об отыскании течения через заданное сопло. Эта задача оказывается очень трудной и, несмотря на имсюшиеся разработанныс приближенные методы расчета, до настояшего времени удовлетворительного решения не получила.
Одна из трудностей здесь состоит в том, что годограф стенок сопла не может быть построен до решения задачи, ввиду чего неизвестна область плоскости годографа, в которой можно было бы ставить и решать краевую задачу для линейного уравнения (22.47). Истечение сверхзвуковой струи. Рассмотренная в З 23 задача об истечении струи из бесконечного угловндного сосуда допускает постановку на плоскости годографа и в том случае, когда внешнее лавление меньше критического, т.е. р1 < р.. Впервые эта задача была поставлена н изучена Ф. И.
Франклем. Постановка такой задачи на плоскости течения аналогична той, которая была дана в 9 23 для дозвуковой струи. Однако здесь скорость на свободной границе струи сверхзвуковая, с, > с., и потому в струе должен произойти переход через скорость звука на некоторой звуковой линии Я с центром течения на оси симметрии. Концы линии У должны совпадать с краями отверстия, так как они нс могут лежать ни на свободной границе, где и, > с„ни на прямолинейной стенке, ибо это несовместимо с предположением о непрерывности течения (аналогично течению в местной сверхзвуковой зоне). Поэтому конфигурация на плоскости течения имеет вид, показанный на рнс.!О, Рис.
10 З 26. Околозвуковыя 1 вчю1ия 305 Вдоль стенки Ю Л ~ скорость возрастает от в = 0 в ау (на бесконечности) до о = с. в точке Аь Переход к скорости о~ ) с. в точке Е~ на свободной границе происходит посредством центрированной волны разрежения. Эта волна в целом не является простой волной; однако асимптотически, в бесконечно малой близости к точке А~ = Еы она совпадаст с простой 1-волной. Волна разрежения заканчивается характеристикой Е~Кы выходящей, вообше говоря, на звуковую линию Е в точке К;. Вместе с тем ндушая от центра течения характеристика С' выходит на свободную границу в точке Вь Ввиду симметрии течения А этим определяется обвеваешь П нвэивиси- 'Е, .ного трансзвукового глвчвлил с граннцсй 1УЛгЕ~В~СВзЕэАэЖ.
Тем самым го- 1у ч В в 11 дограф области й полностью определен ис- О г. в, и ходными данными; он показан на рис. 11, где соответствующие точки обозначены тс- , Еэ ми жс буквами, что и на рис. 1О. При Л, этом геометрическим точкам А, == Е~ и Аэ = Еэ на плоскости течения (краям Рис. 11 отверстия) соответствуют дуги характеристик А~Е~ (1 = сопя1) и АзЕэ (г = сопле) на плоскости годографа. Граничные условия для функции тока определяются заданным расходом газа в струе 2Я и тем, что каждая из линий МА, Е~ В~ и ЖАэЕзВ (рис. 10) есть линии тока.
Слеловательно, задача об истечении сверхзвуковой струи сводится к следующей краевой задаче для функции тока на плоскости годографа: найти решение уравнения (22,47) в области с границей ТА~Е~ В~ СВэЕзАзХ по граничным условиям Е1ГГА~гйц~ = ЮВ ф)ВЛэЕэдэ О (38) В силу очевидной симметрии можно заменить задачу (38) задачей об отыскании рсшения уравнения (22.47) в области с границей ХА~Е~В~СЖ по граничным условиям Ф~1чс = О, ьк чл,к,в, = — Я (39) Понижение внешнего давления р~ сопровождается возрастанием скорости 0ь Вяияние этого изменения передается в область независимого течения через отрезки ЕгВ~ и ЕэВэ свободной границы и обуславливает зависимость этого течениЯ от паРамстРа Рь Однако когда ~1~ достигает значенил 0 (см. рнс.
11), определенного уравнением (40) 2)э(0) = до, !талал 1м двкмь пыг кстлнови|лпиься гдчвния то точки Е1 и В1 (а также Ез и Вз) сливаются в одну точку Е1 (соотвстствснно Е ). Поэтому дальнейшее понижснис внсшнсго давления уже не влияет на область независимого тсчсния, в частности на сго расход. Получаемое тсченис при 91 = ц называется течениеч с.наксииальлым расходом Для течения с максимальным расхолом задача (39) несколько упрощается и сводится к следующей: найти решение уравнения (22.47) в области ЛЛ~ Е1САГ по граничным условиям (41) 74мс = О. Ц,л,ь, = а Краевая задача (41) называется задачей Три коли (ддя уравнения Чаплыгина (22.47)).
В послевоенных работах Ф. И. Фраикля и его последователей эта задача получила исчерпывающее решение, причем оказалось, что для нес, как и для задач об истечении дозвуковых струй, эффективен метод Фурье (раздсление переменных с последующим представлением решения в виде рядов по частным решениям). Напротив, задача (39) при Еп ( д, принадлежащая к классу так называемых обабп1енных зас)ач Трлкоию оказывастся очень трудной, хотя и решалась приближенно численными методами рядом авторов.
Здссь необходимы дальнейшие аналитичсскис исслсдования. В частности, представляет большой интерес асимптотическое поведение трансзвукового течсния, когда д1 г. со стороны Ф > с,. В 27. Гинерзвукоиые течения Аэродинамические явления, происходящие при полете управляемых снарядов, ракет и высокоскоростных самолетов, определяются тем, что числа Маха полста достигаюг довольно больших значений, порядка 5-!0-20. Течения с такими числами Маха получили название гилерэвуковып Основной задачей теории гипсрзвуковых течений является задача обтекания конечного тела сверхзвуковым потоком при больших числах Маха. При установившемся гипсрзвуковом обтекании перед телом возникает сильный, вообще говоря, отошедший скачок уплотнсния (головная ударная волна), отделяющий невозмущенный набегающий поток от области неравномерного тсчсния между скачком и телом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
