Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Задание структурных констант С,'„ч вполне определяет алгебру 5!и опсраторов с базисом (У,), ио зти константы нс произвольны; они необходимо удовлетворяют соотношениям (любые и, 3, з, б = 1, ..., г; суммы по о =. 1... г) 320 Пгиложгнив егорового'запорых следует из еолсдесвгва якоби Х~ =-д Хг = дв операторы переносов по;г, у, г Х =д, Х =гд +д Хв:= гд„+ д» операторы галилесвых псрсносов Х«=Гд,+д Хт =- уд, — хд«+ идм — гвд» Хв = гд, — хд, + юд„— ид операторы врагцсний Хз = хдв — уд, + ид„— ид„ Хю = д~ ) оператор переноса по 1 Х~ ~ = 1д~ + тд, + удя ь гд, Хю = 1дг — ид — ид» вЂ” юд г 2рд„операторы растяжений Х~ а — рдр ~ рдв Хщ =1 д~ + гхд. е гуда+ гад.ч- -~ (х — ги)д« -ь (у — ги)дт+ «проективный» оператор ч (х — 1 )д„-бгрд — бсрд (12) Базис в Ь" образуют операторы (Х»,... Х~~), в Ь'з — операторы (Хм..., Хм, Х~з, Хм) и в Ь'" — операторы (Хм ....
Хы). В нижеследующей таблице ! коммутаторов для алгебры Ли 1 ", для краткости записи, вместо символов операторов Хь написаны только их справедливого для любых операторов Х, У, х вида (4). Определения (8) и (9) устанавливают соответствие между группами С' и алгебрами Ли операторов 1,". Это соогветствис является взаимно однозначным и продолжается на подгруппы Н С С' и подалгебры К С Ь'.
Применительно к дифференциальным уравнениям вместо «допускаемая группа Ли» говорят также «допускаемая алгебра Ли операторов». Допускаемые операторы вычисляются алгоритмически (см. (5)). Алгебры Ли, допускаемые УГД. Для УГД пространство В~(х) есть пространство Гтв(1, х, у, г, и, и, ю, р, р). Соответственно указанному в ~ 8 псрсчню групп С'(1'), допускаемых УГД, получается слслующий список допускаемых операторов Г!Риложение зтГ номера Ус ( — й означает оператор — Хь).
В коммутаторе (Хы ХГ$ оператор . Хь берется слева, а оператор Хà — сверху. Таблица 1 Инварианты. Функция,1(а) называется инвариантам группы С', если для любой подгруппы С'(1) с С" выполнено равенство,7(1(г, а)) = = 1(с). В силу уравнения (б) это равносильно тому, что для любого оператора Х е Ь" будет Х,1(г) = О. Последнее имеет место если и только если лля всех базисных операторов У е 1" выполнены равенства У„и'(а) = О (а = 1...., г). (13) В совокупности равенства (ГЗ) образуют систему из г линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка для одной функции,1(с). В силу соотношений ( ГО) зта система всегда совместна. Широта ее общего решения зависит от ранга т х йг матрицы из координат опсраторсв Г' 322 Пгияожаниа Так как М = М(г), то ее ранг зависит от гочки г.
Общим рангом матрицы М(г) (обозначается буквами о. р,) называстся ее максимальный ранг (который ввиду непрерывности функций ~~а(г) всегда достигается на некотором открытом множестве в Нте(г)). Если о. р. М -- гп, то система (13) имеет М вЂ” тп функционально независимых решений,l„(г)(С = 1, ..., Гг — ш), а сс общее решение есть произвольная функция этих решений. Многообразие Ф С Нм называется неоаабыи многообразием группы С", если ранг М = гп; если же ранг М ( т, то Ф называется е е особым многообразием группы С".
Гладкое многообразие Ф С Лн называется инвариантнми многаобризием группы С', если лля любой точки г е Ф также г' = 2(г,а) б Ф с любым элементом 1' б С". Если Ф задано неявно системой уравнений Ф: Фа(г) = О (а — - 1, ..., к), (14) то критерий сто инвариаптностн состоит в выполнении равенств (15) Уьа(г)[ = О (а =- 1, ..., л) для любого оператора У е Е,". Говорят, что уравнениями (14) многообразие задано регулярно, если о.р. (дс,/дг~) = я.
(16) Справедлива следующая теореиа а представлении: регулярно заданное уравнениями (14) нсособое инвариантное многообразие группы С" может быть задано системой уравнений ,1 (г) =О (о =1....,в), (17) где,!„— инварианты С'. Подобие подалгебр, Так как при построении Н-решений нужны только инварианты, то достаточно использовать лишь подалгсбры Н допускаемой алгебры Ли Ь'. В бссконсчномерном миожсствс й подалгсбр Н С Ь' существует важное отношение подобия, позвляющес ксократить» й до обозримого подмножества.
Аптоморфизмолг алгсбры Ли 7," называется линейное преобразование А векторного пространства Е,", действующее по формуле Х' = АХ и обладающее свойством А[Х, У[ = [АХ, АУ]. (16) Пеиложьлпщ 323 Каждый фиксированный оператор Х б Ь' порождает линейное отображение Е" — Ь', обозначаемое символом ад Х и действующее иа векторы У е Е" по формуле (ас( Х)У =- (Х. У;. Экспонента ехр(аг1Х), где г — вспомогательный пара»стр, является преобразованием Ь', обладающим при любом г б й свойством (18).
Преобразования А = ехр(1аг1Х) (19) называются внутренними автоморфизмами алгебры Ли Е". Множество внутренних автоморфизмов, получаемое, когда оператор Х пробегаст всю Ь', образуют группу, называемую группой внутренних вант»орфизмов алгебры Ли Ь' и обозначается символом 1пе Е". В силу (18) авто»орфизм А Е 1п1 Е" переводит каждую подалгсбру Н с Е" в подалгсбру АН с Ь". Подалгебры Н, К с Ь' называются подобными (говорят также сопряженными), если существует автоморфизм А б 1пь ь', с которы» к .=- А и. Формула (1) для преобразований пространства Нн, приналлсжащих группе еу~(Х), может рассматриваться как переход от системы координат (г) в Лн к системе координат (г'). Для любого оператора У б Ь", записанного в координатах (г) формулой вида (4) символом У', будет обозначаться тот же оператор, преобразованный к координатам (г'). 1!усть А-- внутренний автоморфизм (19) и о: Нн — Н фиксированная функция.
Лемма. Если функция,У(г) есть иивариант оператора У, то .I(г') есть инвариант оператора (АУ)'. Другими словами, операторы У и АУ имеют одни и тс жс инварианты, но записанные в разных системах координат, определяемых формулой (1). То же верно и для подалгсбр. Переход от координат (г) к координатам (г') можно выполнить и в системе дифференциальных уравнений, допускающих Ь~. При таком перс- ходе эта система должна сохраниться (так как Х б Е"), т. с.
будет допускать алгебру Ли Ь". Из леммы следует, что любос Н-решение данной системы, которое определяется набором инвариантов подалгебры Н С Е' (см, 9 8), заменой переменных (1) будет переводиться в Нсрешение преобразованной системы относительно того же самого набора ннварнантов. Следовательно, подобные подаягебры производят подобные подмодели. Оптимальные системы подалгебр. Отношение подобия подалгебр Н С Ь" является теоретико-множественным признаком эквивалентности, по которому множество П всех подалгебр однозначно разбивается иа классы подобных. Список этих классов, идентифицируемых их представителями (по одному от каждого класса), называется оптимальной систе.иой «одапгебр и обозначается символом ВЕ".
Вообще говоря, б)Л" состоит также из бесконечного множества представителей, но они обьединяются в 324 ПРИ:южвнив конечное число серий, выделяемых нижеследующими понятиями и фактами. Подалгебра Н с Б' называется идеалом лода ыебры К с Ь", если для любого У е Н и любого Х е К также (Х, У', г- Н (при этом, очевидно, Н С К).
Для каждого Х б К отображение Н (Х, Н) линейно и сохраняет коммутатор. Операторы Хм Ха б К называются зквивалентнымн, если Х~ — Хз Е Н. По этому признаку подалгебра К разбивается на классы эквивалентных операторов. Множсство таких классов называется факлюралгеброй алгебры К по ес идеалу Н и обозначается символом К(Н. Факторалгебра К/Н рассматривается как алгебра Ли операторов Х(шог) Н). В эти терминах справедливо следующее утвержденис. Если Н есть идеал в К, то Н-подмодель системы уравнений, допускающей алгебру Ли Т;, допускаст факторалгебру К(Н.
Подалгсбра К С А' максимальной размерности, для которой данная подалгсбра Н является ес идеалом, называется лорчаяиэаторам Н в ХГ и обозначается символом ь(огН. Пормализатор любой подалгебры Н определен однозначно и вычисляется алгоритмнчсски. Предыдущее утверждение означает, что Н-лодмодель допускает (как минимум) факторалгебру чогНуН. Тем самым симметрия подмодели автоматически оказывается известной (хотя бы частично). Поэтому при построении оптимальной системы подалгебр ВБ' важно, чтобы вместе с любой подалгеброй Н в ОБ' содержался также сс нормализатор (огН.
Такая оптимальная систсма называется нормализованной. Для любой конечномерной алгебры Ли Б' нормализованная 91," существует. Объсднненис подалгсбр в серии лодалгебр, зависящие от нескольких параметров, диктуется тем, что при любых значениях этих параметров (с возможными ограничениями) все входящие в серию подалгсбры имеют один и тот же иормалнзатор (быть может зависящий от тех жс параметров). Нормализованная 1ВЬт'. В таблице 2 приведена нормализованная оптимальная система подалгсбр лбы для алгебры Ли Бы с базисом (12), допускаемой УГД (всего 223 серии представителей). Представители классов подобных подалгсбр (серии представителей) перечисляются в порядке убывающей размерности г —.- 11, 10,..., 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
