Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Теорема 3. Если решение системы уравнений (б) в окрестности уентра течения трижды непрерывно дифферен|!ируел|о, то дл» него верны равенстви (13), и коэффициенты в предстивлеони (12) таковы Гикал 1Ц Двтмвеныв тсткнОвнвщнася точилин и величали Хо' имеет два значения: Хо = дяя хириктеристик ризных геиейон в. Х||' — — 2(с„а ДОклзлтвдЬСтв0. Так как коэффициенты разложений (9) пропорциональны значениям соответствующих частных произволных от и и о в точке О, то они получаются в результате дифференцирования уравнсний (5) по к и у с последующим псрсходом в точку О. Например, для получения послсдней из формул (15) надо дифференцировать второе уравнение (5) трижды по у.
При этом используется вытекающсс из интеграла Бсрнулли соотношение |((с ) = — гпо|(9, справедливое при любом дифференцировании |1. Кроме того, вдоль Я верно равенство из -Ь оз = сз, дифференцирование которого один и два раза по у дает в точке О соотношения и к~ о ккн и „=О, Отсюда получается первая формула (16). Далее, дифференцирование уравнения линии тока о = иУ' один и два раза по к и учет равенств (13) дает вторую и третью формулы (16).
Наконец, для вычисления величины Хо проще всего исходить непосредственно из характеристического уравнения системы (5), которое для характеристик, заданных уравнением х = Х(у), можно записать в виде (нормальный характеристический вектор есть (1, -Х')) (М вЂ” 1)(и — оХ') = (о + иХ')з. Двукратное дифференцирование это~о уравнения по у с учетом того, что и = и(Х(у), у) и т, д., и переход в точку О, в силу формул (13) и (15), приводят к соотношению с,(ш. -'-2)(2/г,а + аХ|') = 2с„Хо'.
С величиной г, вводимой равенством Хн = й аг, а также с учетом (14) это соотношение принимает вид квадратного уравнения — г — 2-.0. Его корни г = — 1 и г —. 2 и дают форыулы (17). Теорема 3 имеет ряд важных следствий. Точка 0 называешься точкой риснрлияения проходящей чсрсз нос линии тока, соли Кон' = О, Первое следствие вытекает из формул (16), гле 2Дэо = о„„, 126. Околозезковые ~ечения 295 Следствие 1. В центре течения кривизна зинни тока равна нулю. Центр течения является точкой распряилстт проходяизей через него линии тока, если и люлько есш и „= О Далее, если ускорение а ф О, то звуковая линия Я делит окрестность центра течения на две части, в одной из которых течение дозвуковое, а в лругой -- свсрхзвуковос. Второе слсдствис вьпскаст из первой формулы (16).
Слелствие 2. Кривизни звуковой хинин в центре течения пропорционально ускорепию. Если ускорение отлично от нуля, то в окрестности центра звуковия линия всегди выпукло в сторону сверхзвукового течения Рис. 5 Рнс. 4 Выявленное этими результатами расположение основных линий в окрестности центра течения показано на рис.
4 в случае а > О. Здесь обрашает на себя внимание тот факт, что характеристика С (а также характеристика С ) имеет точку О своей точкой перегиба, в которой, как это следует из формул (17), кривизна этой характеристики меняется скачком. Трехлистность годографа. Еше одно сушественное свойство окрестности центра течения выявляется при рассмотрении сс годографа. Из рассмотрения рис.
4 следует, что сверхзвуковая часть годографа не может быть однолнстна. Действительно, при однократном обходе вокруг точки О на плоскосзи тсчения прохоляшая через О харакгеристика Сч встречается дважды (то жс верно и для С ). Точная формулировка этого свойства такова. Следствие 3. Есии ускорение а ф О, то годограф сверхзвуковой части течение, расположенной вниз по потоку от первых нроходяизих через О характеристик, является трехяистныи. Каждая из трех областей 3, 4 и б 296 ГЛАВА ! У. ДВУМЕРНЫЕ УС ГАНОВИВШИЕСЯ ТБЧБННЯ но рнс.
4 отображается взаимно однозначно на одну н ту же область плоскости годографа (рис. ЗЛ Этот факт устанавливается совсем просто, если ограничиться славной частью отображения 112(х.у) Лз(и,о), определенной формулами (12). С учетом (15) эти формулы переписываются в виде и(х, у) = с, + ах ч- й, а уз, и(х, у) =- 2'к.а, ху -', ~й,а у . (18) В этом же приближении, в силу (16), уравнение звуковой линии есть (о) х = — Й„ау, :а уравнения центральных характеристик Сч, в силу (!2), таковы: (19) (Сх~) х = — — н,ау~: (Се) х = л,ау~.
1 2 (20) Исследование отображения 212(х, у) — Лз(и, и), заданного формулами (!8), можно выполнить, заметив, по каждой квадратной параболе на плоскости )1~(х, у), опредсляемой заданием вспомогательного параметра Л: х = Лй,ау, соответствует полукубнческая парабола на плоскости 212(и,о), определяе- мая заданием вспомогательного параметра Га и = р-Й„(и — с.) . г 4 з 9 * Действительно, в результате подстановки выражения для х в формулы (18) задаваемое ими отображенис сводится к конкретной зависимости (2 от Л; (ЗЛ+ 1)2 (Л+ 1)з ' (21) График функции (21) показан на рис. 6. Значениям Л < -1 соответствуют значения р < 0 и и < с„. Это есть дозвуковая область течения, в которой отображение (18) взаимно однозначно.
Звуковой линии, согласно (19), соответствует значение Л = — 1 и р = оо. При переходе в сверхзвуковую 12б. Околозвтковыв тнчгнпя 297 область, глс Л > — 1, взаимно однозначный характер соответствия сохраняется до тех пор, пока Л < — 1/2, )з > 2. Точка Л = -1/2 даст, в силу (20), характеристику С~. Значение и = 2 получается также при Л = 1, причем это — двукратное значение, которое даст, согласно (20), характеристику Сз . При д < 2 соответствие трехзначно: каждое значение ц получается при трех различных значениях Л. Поэтому вся область плоскости годографа, опрсделяемая неравенствами 0 < )з < 2, оказывается трижды покрытой образом свсрхзвуковой части плоскости тсчсния, соотвстствуюшей значениям Л > -1/2. Это и утверждается в слсдствни 3.
Рис. 6 Указанный характер отображения связан с тсм, что якобиан отображения (18) в сверхзвуковой части течения меняет знак, обрашаясь в нуль на характеристиках С~з. Действительно, из (18) для якобиана следует выражсние и ья — и„п = 2к,а~(х — й,арз) = 2йза у~(Л вЂ” 1). Замечание о моделировании. Моделирование (11), использованное при построении главной части течения в окрестности ценгра, имеет на самом дслс более широкос значение. Оно используется для изучения особенностей, которые могут появляться на звуковых линиях в решениях краевых задач о трансзвуковых течениях, Иногда это моделирование даст вполне удовлстворитсльпос приближенное решение задачи в целом. Нсобходимая для этого система дифферснциальных уравнсннй получается, сели заметить, что первое уравнсние (5) инвариантно относнтсльно преобразования (11), а второе имссг вид (1О) с ннвариантной левой частью. Простое подробное вычисление показывает, что правая часть в (1О) после подстановки (11) имеет более высокий порядок малости по сравнению Глквл 1'»' Двтмгвныв ж-гкновивппе ся тгчлния с левой частью при б -~ О.
Это жс вычисление дает величину Л = 2А-. в формуле (10). Поэтому после введения новых переменных и' = 2Й,(и — с.), и' =. 2к.с (22) В частности, формулы (18) после подстановки (22), растяжения независимых переменных х' = /с.ах., у' = lс.ау (24) и «стирания штрихов» принимают стандартный вид: и =2х «2уг, »=4ху+ -уз, 3 (26) Легко проверить, что формулы (25) дают точное решение системы (23), С помощью стандартных формул перемены ролей зависимых и независимых переменных (22.24) система (23) линеаризуется: я» = у» х« = иу» (26) и, после исключения х, приводится к уравнению 7рикаин для у(и, и): (27) иу»» у»« = О. Оно является простейшим стандартным уравнением смешанного типа.
Для уравнения (27) областью эллиптичности (дозвуковые течения) является полуплоскость и < О, а областью гиперболичности (сверхзвуковые течения)— полуплоскость и ) О. При этом линия вырождения типа есть ось и = О, изображающая звуковую линию. Соответствие с физическими переменными осуществляется путем «восстановления штрихов» и обращения к формулам (22) и (24), Прямая звуковая линия. Важная особсшюсть околозвукового течения обнаруживается в случае специального вида звуковой линии, когда все ее точки суть центры течения, а сама она — прямая линия.
Именно такого вида течение должно реализоваться, сели к звуковой линии примыкает простая волна (теорема 2). и последующего «стирания штрихов» окончательно получается система уравнений околозвукового прнбзнжен«л (для плоскопараллельных течений) ия — »к = О. ии, — иу — — О. (23) Э 26. ОкО>>ОЗВУкОВые течн>ия 299 Определение 3. Звуковая линия Я называется прямой звуковой яинией, если на плоскости течения Л есть прямая линия и вектор скорости во всех ее точках перпендикулярен Я. Прежде всего, справедливо слсдующее замечательное достаточное условие реализации прямой звуковой линии. Теорема 4. Пусть в окрестности Чентро течения О решение системы (5) триясдь> непрерывно дифд>ереннируеио. Если 0 есть точка рвслрямлсння проходящей через нее ли>н>и тока и если в 0 ускорение равно нулю, то точка Г~ принадлеэкит прямой звуковой линии.
дОклзлтельстВО. пусть система координат (х,у) выбрана так же, как и выше при анализе окрестности цснтра течения. Рассматривается вектор-функция д = д(х, у) с пятью компонентами: д = (и — с„о, ия, о, о,,). (28) ад — =Нд, ду (29) где Н есть 5 х 5-матрица с элементами, непрерывными в окрестности точки О. В силу предыдущего анализа окрестности центра течения из условий теоремы следует, что д(0,0) = О. Но единственным решением уравнения (29) с нулевым начальным условием является тождественный нуль, т. е. д(0, у) = О. Следовательно, на некотором интервале оси у, содержащем точку О, необходимо и = с, и о = О, т.
с, этот интервал сеть прямая звуковая линия. Итак, все сводится к доказательству представления (29). Оно выводится последовательным дифференцированием уравнений (5) и справедливо благодаря специальной структуре нелинейных членов во втором уравнении. Для экономии места здесь этот результат приводится для модельной системы (23), где роль и — с, играет и. Именно, для системы (23) соответствующая матрица Н получается тривиально и оказывается такой; 0 0 0 0 0 0 и 0 и 0 0 1 О и 0 0 0 О 1 и 0 0 Зи,, 00 Утверждается, что для любого трижды непрерывно дифференцируемого решения системы (5) при каждом фиксированном х вектор д, как функция величины у, удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению вида еоо Г;7АВА 1Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
