Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Вообще говоря, форма тела ВР вниз по потоку от характеристики АВ нс влияет на поле течения в области П. Анализ и расчет независимого трансзвукового течения весьма сложны из-за того, что линия скачка ОА заранес неизвестна, а энтропия за этим криволинейным скачком псременна. О Т Рис.
2 Тем нс мснсс, если число Маха М1 велико, а характерный размер затупления относительно мал, то область П также мала и ее влияние на течение в целом может быть учтено приближенно. Одно из таких приближений связано с изложенной выше нестационарной аналогией, которую можно считать приемлемой, начиная с некоторого сечения ЕГ, расположенного за линией АВ. Правила выработки начальных данных на линии ЕГ при этом основываются на интерпретации действия затуплення как продукгора нестационарного течения, возннкаюшего в рсзультатс сосредоточенного воздействия на газ путем выделения некоторой энергии Е, импульса 1 и внезапного движения поршня со скоростью (.г. Эти вспомогательные параметры должны опрсдсляться только формой затуплсния, Поэтому лля данного Зг4 Гллвл 1Ч.
Лвумкгныв устлновивцшвся тгчвшя затупления их можно находить другими методами, например экспериментально, или путем численного расчета, или с использованием других приемлемых приближений. Подробный анализ имеюшихся здесь возможностсй лан в (11). Например, ссли извсстпа полная сила Х .= (Х, У), действуюшая на затупяенис, то можно принять, что в слос елиничной ширины выделилась энергия Е = Х . 1 и ему сообшсн импульс У = а', '1'.
Приближение Ньютона. Когда параметр К, а с ним и К,, является большим, то согласно (5) ила~нос~в газа за скачком близка к предельно возможному значению р1(1+ 1)/(3 — 1). Если при этом З близко к единице, то почти вся масса газа, прошедшего через скачок, концентрируется в тонком слое вблизи поверхности скачка — образуется так называемый ударный слой. С другой стороны, при К вЂ” ~ ос и у — 1 из соотношения (3) следует, что К/К, — 1. Это означает, что в таком пределе повсрхность скачка совпадает с поверхностью обтскаемого тела (равенство К, = К равносильно равенству 3Г = В.). При этом из формулы (1) получается, что давление на теле (совпадаюшее с давлением за скачком) дается формулой (15) р = рза, з)л В, которая называется формулой Ньютона.
Она была получена знаменитым ученым на основании следующих соображений. Предполагается, что частицы газа, встречаясь с поверхностью тела, полностью отдают ему свой нормальный к поверхности импульс и затем продолжают двигаться вдоль поверхности, уже не оказывая давления на тело. Пусть о есть элемент площади поверхности тела, наклоненный к набегающему потоку под углом В. Тогда масса газа, сталкивающаяся с плошадкой а за единицу времени, равна т = р1 о|а гйп В, а ее импульс есть тць Его нормальная составляющая к поверхности равна та1 з(пВ = о.р1о гйпз В.
г.г Следовательно, импульс, передаваемый единице площади поверхности тсла в направлении нормали, который и равен давлению, дается формулой (15). Известно, что приближснне Ньютона может рассматриваться как предельное также и при газокинстическом подкопе к обтеканию тел разреженным газом. Оно справедливо, если течсние является свободно-молекулярным (т.с. молекулы между собой нс взаимодсйствуют), а граничнос условис взаимодействия молекул с поверхностью тела сводится к неупру3ому удару. Тем самым изложенная в настоящих лекциях феноменологическая модель газовой динамики в вопросах теории гиперзвуковых течений смыкается с газокннстичсской моделью.
Ь 27. Гипвгзвуковыв тпчня)л Задачи и упражнения к главе 1'з7 !. 1!айги фуикпию тока и потенциал скоростей течелия Праилг«я — Мейера в случае полит роппого газа. 2. Найти линии тока течения (иа плоскости 7<~(х, у)), олисывасмого частным рсшеиием урааисиия Чаплыгина (22.47) вида <Ь = иВ -1- 6(д) (и = сопя!).
Рассмотреть случаи а = 0 и 6(9) = О, 3. Показать, что при преобразоваиии — — ф = (сЬ + <()<р' а0+ 6 сь" + <( с постояииыми а, 6, с, <((а<( — Ьс ф 0) уравнение Чаплыгииа (22.50) переходит в уравиеиис того же вида с фуикписй Чаплыгина К', определяемой формулой ( С+и)' (а<( — Ьс) 4. Используя уравнения (22.45), доказать следующий аиалог теоремы 20,1 (Никольского и Тагаиова); если в лозвуковом течении при движении вдоль лилии 9 = сопят область меиьших скоростей иаходится слева, то вектор скорости моиотоиио поворачивается по часовой стрелке. 5. Равномерный поток пслитропиого газа, лвижущийся со скоростью 9< > с< вдоль прямолииейиой степки АВ (см.
рисуиок), обтекает полуокружность ВС. Выяснить, при каких значениях парамез.- ров цз, сз и 7 происходит отрыв потока от степки с образоваиием зоны вакуума. Найти точку отрыва. б. Прямолинейная стенка (х ( О, у = О), вдоль которой в направлении оси х движется равиомериый сверхзвуковой поток (расположеииый при у > 0), при х > 0 гладко переходит а искривлеииую стенку у = ~'(х). Показать, что если па искривленной стенке есть вогнутость ()'"(х) > О), то при продолжении патока неизбежна градиентная катастрофа. 7.
Найти максимаяьиый угол поворота потока политропиого газа Вя„м в косом скачке в зависимости ш М< (использовать соотношение (25.!4)). 8. Показать, что в случае политроппого газа скорость за косым скачком с предельным углом поворота потока В„, всегла дозвуковая. 9. Доказать соошиои<ение Пралдтлл для косых скачков в политроп«ом газе з '7 — ! з и„и„. =. с„— — и .
"< "' * 7 + ! Ф' й!6 ГллВл 1У Двумвпныг устлновнвшнлся з'пчения 10. Показать, что если вдоль звуковой линии 0 =- сопят, то она является прямой на плоскости течения. 11. Найги характеристики уравнения Трикоми (26.27). 12. Показать, чго линии р = сопяг (линии гока а околозвуковом приближении) зля решения (2625) на плоскости йг(и, и) образуют семейство прямых, огибающих характеристики ю=~-и 2 згг 3 13.
Показать, что в полярных кгюрдинатах (г,р), вводимых соотношениями и= гсовО, — ( — и) Г =гагпд, 2 згг 3 уравнение Трикоми (26.27) принимает аил раа -1- г р„. Ч- -гу, = О. 4 3 14. Найти преобразования растяжения, лооускасмые уравнением Трикоми (26.27). 15. Найти предельную форму ударной поляры в случае политроппого газа, котла М~ оо при фиксированном сз. 16. Решить задачу обтекания политропным газом вынуююго угла в гиперзвуковом приближении.
17. Решить задачу симметричного обтекания тонкого ромба равномерным сверхзвуковым потоком политропного газа, направленным вдоль большой лиаюпали. В гипсрзвуковом приближении найти силу сопротивления ромба. 18. Доказать, по а плоскопараллсльном установившемся течении политропного газа невозможна конфигурапня из трех прямолинейных скачков уплотнения, выхолящих из одной точки, сопи в кажлом секторе течение является постоянным. 19.
Доказать, что если равномерный сверхзвуковой поток проходит через криволинейныйй скачок, то точен ис за скачком вихревое. Вывести формулу для величины вихря, образующегося иа скачке: (Г(а))г ы = нтз 1 - Г(а)' гле н — касательная составляющая векгора скорости, зт — кривизна линии скачка, а функция Г(к) опрелелена равенством (25.2). 20. Показать, что лля осесиммегричного течения уравнения околозвукового приближения, аналогичные (26.23), имеют вил нд — — гы, ии = пк -ь гю,гр. Проверить, что зти уравнения имеют ючнос решение и = 2к Ч- р, и = 2кр -> — р' г, 1 з 2 и выяснить свойства отображения (к, у) (и, и), 317 $27. Гипьазвуковыи ~ичниия 21. Показать, что на звуковой плоскости т = 0 осссиммстричпого течения скорость ускорения гс(р) — —.
(1/2)н, (О, у) уловлсгаоряс~ аналогу уравнения (26.31) зл + гс,Гр = бес . Доказать наличие особых точек у реьзения этою уравнения с начальными данны- ми гс(0) = Ь, иl'(О) = О. Приложение Основным инструментом использования групп Ли в теории дифференциальных уравнений, в частности, для построения классов точных решений, является соответствие между группами Ли и алгсбрами Ли операторов, кратко изложенное здесь с применением к уравнениям газовой динамики (УГД). Доказательства всех формулируемых утверждений можно найти в [5].
Группы и алгебры Ли. Рассматривается !У-мернос пространство Я (г) точек (векторов) г = (гз,..., г~). Пусть а Е Я вЂ” вещественный параметр. Отображение Г ! Ло х й — Ям, действующее по формуле г = у(г,а), (1) называется однолораиетринеской группой Ли О! (! ), если у е С,(гто х Л) и обладает свойствами ,[(г.,О) = г, ~([(г,а).Ь) =[(г,а+Ь). Векторное поле ( на пространстве Л" (г), вводимое равенством Ог) = дг(г,а)( д н Х = ~ ~(ь(г) -! д-" Дифференцирование (2) по параметру Ь в точке Ь = О, с учетом обозначе- ния (3), приводит к уравнению Ли д ! да (( /) / (б) с координатами !, = (!, !,..., !,~), записывается в виде линейного диффе- ренииального онераторг! ПРИЛОЖЕНИЕ в силу которйго для любой (гладкой) функции р(г) верно разяяиппяг — г'(г ) = Хг'(г'). до (б) Решение уравнения Ли (5) даст отображенис (1), обладаюшее свойствами (2).
Тем самым между группами С'(5") и операторами Х сушествуст взаимно однозначное соответствие, которое выражается записью Сз(Х). Коммутамораи операторов Х и У называется оператор [Х, 1'), определенный (в смысле действия на любую функцию Г(г)) формулой [Х, У', = ХУ вЂ” 1'Х, (7) Конечномерная (г-мерная) группа Ли С" есть множество однопараметрических групп С', обладаюшсе свойством (С'(Х) С С", С'(У) С С") г-.=ь С'([Х, У1) С С".
(8) Опсраторы (4) можно складывать и умножать на всшественныс числа, образуя их линейные комбинации и вскторныс пространства (или подпространства) операторов. Векторное пространство Е' операторов называется г-мерной алгеброй Ли опера»юров, если выполнено свойство (Х б Е;, 1' б Ь') =ь [Х, У) б Ь". (9) Векторное подпространство К с Е" называется лодалгеорой в 1.", если для любых Х, У б Л также [Х, У1 е К.
Число г означает размерность Е," как векторного пространства. Поэтому в Е' сушествуст базис из г линейно независимых операторов 1' (и = 1, .... г). В силу (9) их коммутаторы должны быть линейными комбинациями базисных опсраторов, т. е. выполняются соотношения (сумма по 'у=1, ...,г'1 [У . Ув) = СэвУз (О. /5 = 1,..., г), ( П)) где Сзл — вешественныс числа, называемые структуриыни ктьзлсталта.ил алгебры Ли 1,". Соотно1псния (10) определяют таблицу коммутаторов («таблицу умножения») в Т,".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
