Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для углов Ос ) О„рм решение (сели оно вообще существует) должно резко отличаться от найденного. Здесь положение таково, что решение в точной постановке нсизвсстно. Рис. 5 Рис. 6 Эксперименты с обтеканием конечных клиновидных тел показывают, что при Оо < О„р,а обычно реализуется слабое решение. Если же Оо ) О„р~а, то возникает так называемый отошедший скачок, линия которого располагается впереди тела, нс соприкасаясь с ним (рис. 6). За отошедшим скачком реализуется сложное до- и сверхзвуковое вихревое течение с переменной энтропией, описание которого в настоящее время может быть дано только численными методами.
Отраигение косого скачка от стенки. Явление отражения ударной волны от жесткой стенки, рассмотренное в ~! 8 для падающего фронта, параллельного стенке (нормальиое отражение), прсдставляст большой интерес и в случас наклонно ладаюи(его фронта. При этом и он1раокенния волна также будет наклонной. Возникающая злесь задача об описании движения газа за падающим и отраженным фронтами в общем случае лостаточно сложна. В ее простейшем варианте предполагается, что падающий фронт и стенка являются плоскими и что газ перед фронтом покоится.
Тогда движение можст рассматриваться как плоскопараллсльнос. Пусть Є— скорость псрсмешения падающей ударной волны, А— точка пересечения линии фронта со стенкой и г1 — угол между ними (предполагается, что О < гг < к/2). Тогда скорость перемещения точки А вдоль стенки равна 8 25, Косые скачки уплотнения 283 В системс координат, перемещающейся в ту же сторону вдоль стенки со скоростью сы точка пересечения, а с ней и падающий фронт покоятся. В этой системе координат наблюдатель видит движущийся со скоростью д1 вдоль стенки постоянный поток, который отклоняется наклоненным ему навстречу косым скачком уплотнения, образующим со стенкой угол то Предполагается, что и дальнейшее течение газа за скачком в этой системе координат является установившимся.
Требуется описать это течение при условии, что от точки А отходит второй скачок, приводящий поток за первым скачком к направлению, параллельному стенке (рис. 7). О Рис. 7 А Рис. 8 Решение ищется с помощью ударных поляр, В заданном состоянии газа перед падающим фронтом, согласно предыдущему, известна скорость йп Тем самым известна и ударная поляра с вершиной В1 (рис. 8). Поэтому за- 284 Г:ывл Ю Лвтмы ньп:, тсзлновившикгя ~ вчыая панис угла палсния т, однозначно определяет угол поворота потока д~ в падающем скачкс.
За ним все параметры течения, в частности вектор цз и скорость йз, становятся вполне определенными. Тем самым известна н ударная поляра с вершиной В» для состояния за падающим скачком. Ес точки пересечения с осью п = 0 определяют ударный переход в отраженном скачке, за которым вектор скорости цз направлсн параллельно стенке. При этом точка Вз ласт слабый отраженный скачок, а точка В.' — сильный. Эксперимент показывает, что обычно реализуется слабый отраженный скачок.
Такое отражение, картина которого показана на рис. 7, называется правильным отражение»ь Правильное отражение возможно не при любых значениях амплитуды падающей волны ~ и угла падения эгь Его реализация лимитируется тем, что ударная поляра с вершиной Вз может нс пересечь ось ь' = О. Исследованис этой ситуации лля политропного газа приводит к следующему результату. Если угол т~ достаточно мал, то всегда существует правильиос отражение.
Для каждого заданного а~ имеется такое предельное значение х. = э~.(г~), что при эг~ ) 1г. правильное отражение невозможно. Качественная зависимость т, от я~ показана на рис. 9. Предсльное значснис Х, (з~ ) при з~ — <ю для воздуха (7 = 1, 4) приблизительно равно 40'. О 0 Рис. 9 Рис. !О Если ц > у,(з~), то картина отражения ударной волны существенно усложняется. В опыте при этом наблюдается так называемое иаховское отралсение с «тройной» точкой А пересечения более чем двух линий сильного разрыва.
Качественная картина маховского отражения показана на рис. 1О, где ОА - «почти прямой» скачок, АХ н АХ' — косые скачки, а АК— линия контактного разрыва. Однако при этом липни скачков в окрестности точки А, вообще говоря, искривляются и течения в областях 2, 3 и 4 нс являются постоянными. Это создает значительные трудности при исследовании маховского отражения, и до сих пор неизвестно, существует лн решсние вообще (без учета вязкости и теплопроводности).
Более подробныс сведения 125. Косын оклики кшкинвния 285 и — Лгв = О (Лг == стбдз). (1б) Ясно, что гак жс, как и в случае обтекания клина плоскопараллсльным потоком, эта задача принадлежит к классу кол ничсски автолюдельных (см. З 13) и долж- до на решаться с сильным разрывом — косым и скачком уплотнения. Однако сеть существенное отличие. так как здесь течсние между повсрхностями скачка и конуса нс 0 может быть постоянным (постоянныс осесимметричные тсчсния возможны ~олько Рис. ! ! в направлении оси х, см, 522). 1!оэтому в случае конуса решение усложняется.
Оно основано на следующем качественном представлении о геометрии течения (см. рис. ! 1). К вершине конуса присоединсн конический косой скачок ОЖ с уравнением Л = Ло, где Ло = сгкКо < Лы в котором заданное свсрхзвуювое течение поворачивает на угол дс < ды В интервале Ло < Л < Л~ реализуется некоторос коничесюс теченис Буземана (см. З 22), доворичиваищее нолюк до нужного направления вдоль поверхности обтекаемого конуса.
Для расчета этого конического течения надо обратиться к системе уравнений (22.63). Ес можно свсстн к одному уравнению второго порядка для функции о =- о(и). В этом представлении первое уравнение (22.б3) псреходит в равенство (16) Л = — и„, а второе приводится к виду 2 (о + оьк) воин — 1 ои гз (17) Уравнение (17) удобно тем, что сто интегральные кривыс располагаются непосредственно на плоскости годографа. Искомос решение дастся интс- по вопросам, связанным с отражением наклонно падающих ударных волн, можно найти в (4) и в Питированной там литературе. Осссимметричное обтекание конуса. Бесконечный круговой конус с осью х и полууглом раствора д1 обращен вершиной навстрсчу равномерному сверхзвуковому потоку, текущему со скоростью ц1 = (ды 0).
Трсбустся построить осссиммегричнос течение — обтекание юнуса. Граничное условие на конусе имеет вид 286 Глявл М Лвтмсгные кщлповившиася течяния гральиой кривой ВзВс (рис. 12), которую при заданной точке Вз на ударной полярс пало искать, решая задачу Коши для уравнения (17) с начальными условиями с(ня) --. ся.
си(из) = —— (18) ог — из ' Второе равенство (18) следует из уравнения (! 6) в силу того, что точка Вз лежит на задней стороне линии косого скачка, иа котором Л = сс8 то, и из равеле~на касательных составляющих вектора скорости до и после скачка (рис. 12). Эта интегральная кривая должна дойти до конечной точки Ве, гле выполнено условие обтскания (15), которое в силу (1б) можно переписать в виде с(нс)си(пс) + по = ().
(19) и, 3, и Рис. 12 Совокупность всех конечных точек Во, получаемых, когда точка В пробегает линию ударной поляры, образует яблокоеидную кривую, показанную на рис. 12, Ясно, что яблоковидная кривая и семейспю интегральных кривых ВзВо, получаемые численным решением задачи (17), (18), (19), зависят только от данного невозмущенного сверхзвукового потока и могут считаться известными (см. (3)). Окончательно решение задачи обтекания конуса сводится к следующему.
Заданный луч ОВо образующей поверхности конуса пересекает построенную для данного набегающего потока яблоковилную кривую в точке Вщ которой однозначно соответствует точка Вз на ударной поляре с вершиной Вп Нормаль ОЮ к прямой ВгВз дает направление луча образующей поверхности конического скачка. Вектор ОВо равен вектору скорости течения на поверхности конуса. Коническое течение между поверхностями 287 к нитнз 126.
Околозвтковыь ткчгния скачка и конуса описывается известными из расчета кривой ВзВо зависимостями и(ц) н Л(и). В задаче обтекания конуса возникают тс жс обстоятельства, связанные с единственностью решения и с существованием решения при больших углах ом которыс отмечены выше по поводу обтекания клина. й 26. Околозвуковые течения Переход через скорость звука представляет собой одно из важнейших газодинамических явлений. С точки зрения тсорин интерес к этому явлению вызван тем, что основные уравнения модели установившихся тсчсний приобретают дополнительную особенность, связанную с изменением их типа в области определения решения.
Определение 1. Установившееся течение газа называется околозвуковым, ссли всюду в области этого течения величина М вЂ” 1! мала по сравнению с единицей. Околозвуковое течение может быть чисто дозвуковым или чисто сверхзвуковым. Однако наибольший интерес представляют трансзвуковые течения, в которых происходит переход через скорость звука. Здесь будут рассматриваться именно такие гладкие околозвуковые течения в рамках модели плоскопараллельного безвихревого изэнтропического течения. Тем не менее надо иметь в виду, что многие из отмеченных ниже фактов и свойств верны и для осесимметричных течений (см.
упражнения 20, 2!). Звуковая линия. В плоскопараллельном течении переход через скорость звука осушествляется на неюторой линии, юторая называется звуковой линией. Расположение и форма звуювой линии иа плоскости течения зависят от решения. На данном решении ее уравнение может быть записано в любой из равносильных форм: 9(х,р) =с(х,у); д(х.у) = с.; М(х,р) =1. (1) Ясно, что годограф звуковой линии всегда принадлежит фиксированной окружности д = с, (см. рис. 22.2).
К звуковой линии может примыкать как дозвуковое, так и сверхзвуковое течение. Прежде всего устанавливаются некоторые особенности такого примыкания. Если к звуковой линии л примыкает сверхзвуковое течение, то в каждой точке А Е к выходяшие из А характеристики Сч и С образуют с вектором скорости угол 90' и, следовательно, касаются друг друга (рис. 1).
Этот факт очевидным образом следует из определения угла Маха (11.22) и равенства в1п од = 1. 288 Г,ывх !У. 2(вэ мы иьп:. чстпиовившнвся ггчення Теорема А. А. Никольского и Г.И.Таганова. Пусть к звуковой линии Я примыкает дозвуковое течение. Предполагается, что Я нс является линией тока. Простой, но весьма важный факт выражастся следуюшим свойством монотонности изменения направления вектора скорости при персмсшении вдоль такой звуковой линии. Рис. ! Теорема 1. Если при перемещении вдаль звуковой линии область дозвукового течения останется слева, то вектор скорости монотонно (ноясет быт!и не строго.палаточно) поворачивается по часовой стрелке. Докпзлтидьство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
