Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(7) Характеристики. На плоскости потенциала характеристики задаются дифференциальным уравнением вида пФ/пр = 2Т, Тогда нормальный характеристический вектор с проекциями на осн декар- товых координат (доы) есть ( — Рг,1) н по правилам, изложенным в 26, находится характеристическая матрица системы (7) А(зг) = уир ди — с1к а Рг — у рд/ ' Ее определитель <$ет,.4(2т) = д сей~ О 2гз у2~, р2д Следовательно, после преобразования на плоскость потенциала система (1) оказывается такой: 260 ГлАВА!У. Двумнгныв устлиовитнлняпн дает следующее характеристическое уравнение: сед о .и — у р = О, всегда имеющее два веществсиных корня (для и = 1 в области у > 0): (9) к.ь = у"рсзо, к = — у рГаа.
Для построения условий на характеристиках находятся соответствующие корням кь левые собственные векторы матрицы А(к), которые могут быть взяты а виде (1, ~ гя о). Поэтому условия на характеристиках получаются почленным сложением первого уравнения (7) со вторым, умноженным на ~ 1й о, и после небольшого преобразования оказываются такими: где верхние знаки берутся для корня кь, а нижние --для к., В условиях (1О) участвует уже рассматривавшаяся в (22.58) вспомогательная функция ч Г отцам Р(О) = ( — Й~.
О с. (11) С этой функцией образуются величины, аналогичные ннварнантам Рима- на для одномерных движений (16.6), производные от которых естественно возникли в условиях (1О): г = Π— р(о), 1 = Π—. В(о). (12) В последующем изложении вслнчины г и ! будут также называться инвариантани Римани. С ними условия на характеристиках (10) принимают вид -Ь к.,га = — — 19 а Гйп О, б + к 1, = — Гй о ьш О. и и н ус ' н ' 'е ус д д 2)+ — — — + кь —,, а~ Озз' 12 = — +к д .
д др ' дф* (13) Наконец, вводятся операторы дифференцирования по Гр вдоль характери- стик каждого из семейств 124. Хлвзюагнсзики и пгостыв волны 26! и окончательно получается следующая характеристическая форма системы уравнений (7): (С~) — .= у'рска, о!з Йр Дф (С ) — = — у'р !я а, Нф Рьг = — — !бав!пВ.
и ус (141 Р ! = и гб а а! и В. уч бу ро + у 'изб гя В х !на — !б(В Х а). Их рп — у "о~ х 1 г !абака Опера~оры Ря оказываются такими: Л !. = —, ~соа(В х а) — + а!п(В х а) — у! . д дз дх ду Поэтому если ввести еще модифицированные операторы дифференцировл- ння вдоль характеристик на плоскости В~(х, у) Ря = соя(В ": а) — + а!л(В*а) —, д . д дх ду' (15) то окончательно получится следующая характеристическая форма системы уравнений (1) на плоскости тсчения; (Сь) — ' = гя(В+ а), пу Нх (С ) — = сб( — а), пу Рег = — -а!паашВ: и у (1б) Р ! = — аш а а!и В. В дальнейшем будет соблюдаться указанная в (14) маркировка семейств характеристик Сх. Уравнения (14) показывают, что г и 1 действительно являются инварнантами в случае плоскопараллсльного течения: при и = 0 величина г постоянна вдоль каждой характеристики С+, а величина !— вдоль С .
Для отыскания характеристик на плоскости течения надо просто перс- считать производную Нф/Ну и операторы Рх согласно формулам (4). Тогда Лля характеристических направлений получатся выражения 262 ГЛАВА!Ч. ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ Отскща следуег качественная картина расположения направлений характеристик относительно вектора скорости в каждой точке А плоскости течения, показанная на рис. 1.
Здесь АВг н А — направления характеристик в точке А и подчеркнуто важное свойство (уже упоминавшееся в В 10), которое очевидным образом следует из формул (16) и (5); абсолютная величина нроекции вектора скорости на норлагь к характеристике равна скорости звука. Уравнения (14) нли (16) указывают е на еще одно принципиальное различие между плоскопараллельными и осесим- С, матричными течениями. В случае плоско- паразлельных течений (и = О) годографы 1 с характеристик являются стандартными А и в с! кривыми т = сопят или 1 = сопят неза- висимо от конкретного решения.
Для это- В, го случая сетка характеристик на плова — ° -,.р. „. - р . гг.г. Для осесимметричных течений (и = 1) Рвс. 1 это свойство неверно из-за наличия нену- левых правых частей в уравнениях (16), в силу чего годографы характеристик не совпадают с линиями г = сопят или ! = сопзг и существенно зависят от индивидуального решения. Транспортные уравнения. В качестве производных по направлению, трансверсальному к любым характеристикам, можно взять производные по Зз В=ге, Ь=1Р. (17) Общий ход вывода уравнений для этих величин вдоль характеристик аналогичен изложенному в В 15.
Ниже для простоты этот вывод дается в случае плоскопараллельных течений (осеснмметричный случай предоставляется читателю). Дело сводится к преобразованию уравнения д диг — Р+ г — — г + р гк О . г, г, + ( р гк о), г,г, — — О.
Это преобразование выполняется с использованием равенств Г„, +Ргяоснв = 0.рй, (Р ся сг) „= (Р гк гг) в г7„, = (Р !к сх) в . — г7 гк сг . (Ь вЂ” В) г г = — В, 1 РГКО $ 24. ХАткктагистикн и пгостыв волны 263 в силу которых предылущее уравнение и дает транспортное уравнение, описывающее изменение величины Л вдоль характеристики Сьл Р+Л вЂ” (рг8а) (Л вЂ” Ь)Л = 0 с 2р (18) Аналогично получается транспортнос уравнение, описывающее изменение величины Б вдоль характеристики С Р Б — ' — (ртба) (Л вЂ” Е)Ь = О. с 2р (19) Л=-Р р(9) =- —,Р о, Х.=Р,р(с) = Р,9.
(20) ст8 а сг8 а Действительно, например, первая из формул (20) вытекает из очевидных равенств Р ° = Р (. — 1) = -2Р-ДИ) Р г = (Рь -1- В )г = 2г,4 —— 2Л, и аналогично получается вторая. Для интегрирования уравнения (18) делается подстановка Л = 1/я, в результате которой оно становится линейным: Р+г + — (ргба)час = — (ртба)ж я с 2р 4 2р С учетом (20) коэффициент при з преобразуется к виду Ч т, Р+'IРтйа 2 (рек )ч~ = 2р /р 18 Поэтому предыдущее уравнение упрощается до следующего: Р+(с /ртйа) = — «арейа(ргйа)». Я 2р Каждое из уравнений (18) „(19) есть уравнение Риккати.
Благодаря специальному виду они интегрируются в квадратурах. Более того, аналогично случаю одномерных движений (см. 8 16), здесь можно обойтись одной квадратурой. Для этого надо заметить, что справедливы формулы 2б4 ГзлвЛ 1У. ДВУМЕРНЫЕ УотлнОВИВШИеся твленнл Для входящей в правую часть производной нетрудно получить выражение — (ргйо) =— (21) где т — величина, введенная в (2.22). Поэтому правая часть равна т+ 2 Уатйо 4 ч)п гт сочз о Теперь интегрирование вдоль характеристики Сч от некоторого значения ро (при котором все величины отмечаются индексом нуль) до персмснного значения р дает т+ 2 Ур~йи а~/рсйп = готгягйпоо — / —, Ф. 4 е(пасовза и.(С.1 Для приложений иногда удобнее иметь результат с интегрированием вдоль характеристики Сч по переменной 4л При такой замене переменной интегрирования будет Нзэ = йр(ртбгт.
Наконец, возвращение к Н = 1/з дает следующее представление решения транспортного уравнения (18); Йо у'р Гй о (22) а уроЫоо — Но 1' ~ (ейпо) абз(соао) '~Ы4 с,(с,) 4ур Точно такой же вид имеет решение уравнения (19); оно получается из (22) просто заменой Д на Ь и Сь на С . На основании (22) можно сделать вывод о том, что неравенства Яо < О и Ьо ( О достаточны лля того, чтобы первые производныс решения оставались ограниченными при движении в сторону дф > О. Напротив, если хотя бы одна из величин, йо или Ьо, положительна, то со стороны ф > фо можно ожидать наступления градиентной катастрофы в точке, определяемой условием обращения знаменателя в нуль.
Качественные свойства. Очевидно, что гиперболическая система (7) является симметрической (см. Е 7). Поэтому для нее справедливы все выводы, полученные лля уравнений одномерного движения в Е 15. В частности, верны теоремы единственности решения задач Коши и Гурса, а также некоторых смешанных задач. Теорема существования гладкого решения, й 24. Хлгхктвгнстнки и пгостыг. волны 265 г, = и)'з', тя =- ойг (23) с некоторой функцией )з' > О, определяемой полем скоростей. Так как якобиан г ф„- т, ф.
= у'Раз% всюду положителен, то можно перейти к системс уравнений, эквивалентной (22.2), рассматривая искомый вектор (2 = (и, щ р, 5) как функцию переменных (т, ф): гг 2 +)у и 'з РЧ о. + 'тор~ г У Рцрв Мбу~р Ьзт'ии + Жео, — у Роив -Ь у"Рига О, (24) У О. Ю5, В записи системы (24) в матричной форме (здесь (г считается вектором-стоябцом) А Ь; + Лг(Га =- Е матрицы-коэффициенты таковы: Здесь обе матрицы, Л' и Л"', симметричны, но только матрица А' является положительно определенной при условии, что М > 1, т.е. для сверхзвуко- например, задачи Коши справедлива, вообще говоря, лишь в малом„т.е. в достаточно малой окрестности носителя начальных данных. Необходимо обратить внимание на то, что система уравнений (7) гиперболична и относительно направления оси р, и относительно направления оси (Л.
Поэтому для нее корректна задача Коши как с начальными данными при,р =- сопят, так и при ф = сопле. Это означает, что непрсрывныс безвихревыс свсрхзвуковыс течения обладают свойством зволюиионлослщ как по переменной Зз, так и по переменной вс Однако прн рассмотрении течений в целом необходимо учитывать возможность возникновения сильных разрывов, в том числе и контактных, и областей вихревого течения, причем свойства эволюционности мокнут нарушаться. Для правильного ответа на вопрос об эволюционности следуег рассмотреть исходную систему (22.2) без предположений о потенциальности и изэнтропичности. С этой целью надо заметить, что для любого данного семейства линий тока существует ортогональное семейство кривых, которые могут быть определены как линии уровня функции т = т(х, у), удовлетворяющей уравнениям вида 266 ГЛАВА 1Ъ! Двумееные уотьновиви!иеся течения вых течений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
