Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ДОЗВУковые течениЯ 243 полиение условия выравнивания струи в бесконечности. Оно заключается в том, что вдоль каждой принадлежащей струе линии тока вектор скорости при удалении на бесконечность стремится к одному и тому же предельному значению, не зависящему от выбора линии тока. Другими словами, на бесконечности течение в струе асимптотически стремится к некоторому постоянному течению. При этом модуль скорости о в бесконечно удаленной части струи, так же как и на ее свободной границе, известен: он определяется, через интеграл Бернулли, заданным значением внешнего давления. Анализ и решение задач о струях сильно облегчаются, если все участвующие твердые стенки являются првмолинейными.
Действительно, в этом случае каждый участок границы, вообще говоря, имеет известный годограф: свободная граница, на которой известно постоянное значение модуля скорости о, изображается дугой окружности радиуса д, а прямолинейная твердая стенка, на которой известен постоянный угол наклона д вектора скорости, — отрезком радиуса. Если при этом топограф всей границы ограничивает область на плоскости годографа, то соответствующая задача о струях может быть поставлена, вообще говоря, как некоторая задача для какой-либо из форм основных дифференциальных уравнений на плоскости годографа. В каждой такой задаче необходим специальный анализ вопросов единственности решения и однолистности отображения плоскости течения на плоскость годографа.
Единственность решения обычно устанавливается с помощью принципа иаксииума и леииы Зареибы о положительности нормальной производной в граничной точке максимума для решений эллиптических уравнений второго порядка. Этими же средствами доказывается отличие от нуля якобиана отображения. Тем самым гарантируется локальная однолистность отображения. Для установления глобальной однолистности используются достаточные условна топологического характера из общей теории дифференцируемых отображений плоских областей. Одним из них является условие односвязности, согласно которому если при непрерывно дифференцируемом отображении с не равным нулю якобианом односвязная область переходит в односвязную, то в этой области отображение взаимно однозначно.
Другое условие лается лриниилаи соответствия гранин, в котором предполагается, что граница Г области й при непрерывно дифференцируемом отображении замкнутой области Г) с не равным нулю якобианом переходит в кривую Г', ограничивающую некоторую область й' (или ее дополнение Г)н). Тогда, если Г отображается на Г' взаимно однозначно, то образом Г) является й' (или йн) и отображение й Гг' (или Г) -+ йн) также взаимно однозначно. Имеются и другие, более тонкие достаточные условия глобальной однолистности, Так как поместить более подробное изложение всего этого математического аппарата в данном тексте Гллвк!зс, двумлгные уггыювившиься тнчьция не представляется возможным, то читатель отсьшается к соотвстствуюшим руководствам по уравнениям математической физики.
Здесь жс прихолится ограничиться утверждением о том, что в рассматриваемых ниже задачах о газовых струях свойства единственности решения и глобальной однолистности отображения плоскости течения на плоскость годографа могут быть доказаны вышеупомянутыми методами и на самом деле справедливы. Истечение симметричной струи. Одной из простейших «эталонных» залач о газовых струях является задача об попечении сии,иетричиой струи из бесконечного угловидного (или конусовидного) сосуда.
Качественная картина всей конфигурации на плоскости течения показана на рис. 1. Здесь АВ и А'В' — стенки симметричного относитедьно оси х сосуда, ВС и В'С' — свободныс границы газовой струи, а сечение ВВ' представляет собой отверстие, через которое и вытекает газ в окружаюшее пространство. Заданы ширина (диаметр) отверстия 26о и угол да наклона стснок к осн х, причем О < Оо < я. В бесконечности вверх по течению, з. е. в сосуде вдали от отверстия, газ покоится и имеет заданные параметры ро, ро (значит, известна и скорость звука со). Тем самым определена константа а,"-„=- 1(с'„-), интеграл Бернулли (22.24) становится конкретным: д +1(с ) = 1(го), и известны также критическая скорость с.
(определение 10.2), соответствующие критическая ллотиас ~ль р. и критическое давление р,. На свободных границах задано постоянное давление рч < ро, а следовательно, и скорость звука сь Поэтому из (1) находится постоянное значение а~ модуля скорости на свободных границах, определяемое формулой с(» + 1( ) 1гсО)' При этом предполагается, что д~ < см что равносильно (см. б 1О) неравенствам р ( с. или р, ( рс < ро. Требуется дать аналитическое описание (расчет) этого течения, в частности, найти величину расхода газа 2с',З, Для построения годографа области искомого течения достаточно заметить, что вдоль стенки АВ (или А'В') модуль скорости с! монотонно возрастает от значения й = О до а == сп, а вдоль свободной границы ВС угол наклона вектора скорости () монотонно убывает от значсния О .: да до й = О, Поэтому годографом области течения является круговой сектор, показанный на рис.
2, где соответствуюшие рис. ! точки обозначены одинаковыми буквами. Эта область годографа одинакова как для плоскопараллсльной, так и для осссиммстричной струи. Пусть 2л — величина сечения (диаметр) струи в бесконечности вниз по течению (ссчсние СС'), Так как там должно быть асимптотически по- 24» а1дв Яозвукювые теч$инл Рис. 2 Рис.
1 стоянное течшиге, то расход газа в струе может быть выражен через величину 6 и,~окдввно формуле (22.10), имеет значение и 2(1 2Я ~и+1 и+1 (2) Согласно (22.11) приращение функции тока при переходе от нижней грани- цы струи к верхней равно 2Я, и поэтому граничные значения функции тока могут быть взяты такими: Ф~лнг:= — Я, Фаянс =Я Тем самым задача об истечении струи сводится к отысканию функции тока ф = ф(д,0) как решения соответствующего дифференциального уравнения в заданном секторе АВВ'А' плоскости годографа с краевым условием (2), т.е. как решения задачи Дирихзе. В силу очевидной симметрии значение яЗ на оси симметрии равно нулю, и потому достаточно найти решение задачи Дирихлс в половине АВС указанного сектора с граничными условиями ф(о,0о) = -Я, гс(цы0) = — Я, 4(0,0) = О.
(4) Эта постановка краевой задачи для функции тока одна и га же как для плоскопараллельной, так и для осссимметричной струи. Однако решение ес сравнительно просто толью в случае плоскопарадлельной струи, когда уравнение для функции тока на плоскости годографа (22.47) линейно; этот случай и рассматривается ниже. Для построения решения вводится вспомогательная функция — еэ 0 ~// Я 0о (5) 24О Гллвл 1Ч. Двтмы пыя устлповивп~ився пгчнпня которая, так же как и б, удовлетворяет уравнению (22,47) и, кроме то~о, в силу (4) обращается в нуль при 0 =.
О и 0 == Во. Далее,методомразделеиия переменных д и 0 в уравнении (22.47) находятся частные решения, тоже равные нулю при 0 = О и 0 = Во. с'и = «„(д)в(п(и„В), и„= ~п (и = 1,2,...), (6) Во где «„(о) есть решение линейного обыкновенного дифференциального урав- нения второго порядка з (7) ограниченное в точке о = О. Затем из решений (6) образуется ряд а„«„(9) в1п(и„В), (б) а„«„(г1г) в1п(и„В) = — - 1 (О < 0 < Во): В Во я=1 (9) левая часть которого должна быть разложением в ряд Фурье функции, на- ходящейся в правой части, Поэтому коэффициенты а„ в (9) определяются по формулам Ф2рье а„«„(ог) = — ( — — 1 в1п(и„В)дВ о и оказываются такими: а„= — — (и = 1,2,...). 2 1 "п«„(ог) (10) который в случае достаточно хорошей сходимости также представляет ре- шение уравнения (22 47), равное нулю при 0 = О и В = Во.
Наконец, остается удовлетворить второму краевому условию (4), которое в силу прслставле- ний (5) и (8) приводит к соотношению 123. Лозвтковыь тачвния 247 С коэффициентами ( !О) по формуле (8) определяется функция флнавтем из соотношения (5) — и искомая функция тока ( В 2 ~ еа(Ч) з|п(и~ад) \ Во 7г , з (01) где величины и„даны в (6).
Как всегда в методе Фурье, полученное представление решения нуждается в обосновании с точки зрения сходнмостн ряда (1 1). С этой целью необходимо вьшснить характер асимптотичсского повеления функций Чаллыгина е„(а) при и — оо. Извсстным из теории обыкновенных дифференциальных уравнений приемом получается следующее представление: (12) где Я(0) = ехр — — Нд а функции Ь,(а) ограничены в интервале 0 < а (~ с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
