Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если при этом М(ЛВ) = (ио — Лооо) — (Ло ч- 1)со ф О, то система (63) с такими начальными данными имеет единственное решение в некотором интервале, содержашем точку Ло, Анализ всего семейства так получаемых решений не прост ввиду неавтоно ~ности системы (63); правые части содержат независимую переменную Л. Если же Ф(ЛВ) = О, то при сс ~ О и конечной и~ будет оо = О. В этом случае луч Л = Лс будет характеристикой системы (23) на решении вида (32) и для построения решения системы (63) требуются дополнителные условия.
В частности, система (63) имеет лосаоянлое решение и = ио, о = О. Представляет интерес вопрос о сушествованни не посвоянного течения Буземана, примыкаюшего к данному постоянному через слабый или сильный разрыв (последняя возможность будет обсуждаться в е 25). Здесь рассматривается случай слабого разрыва.
Итак, пусть со стороны Л < Ло имеется постоянное ~ечение с и = ио > О, с = О, к которому вдоль луча Л = Лс непрерывно примыкает не постоянное течение Буземана. Так как этот луч должен быть характеристикой (теорема 6.2), то необходимо выполнение равенства Л(ЛВ) = О и точка Лр будет особой точкой системы (63). Здесь Л(Ло) = ио д— (Лсз + 1)сод = = О, откуда следует со = ис > сс, т. е.
течение необходимо должно быть З 22, УРАВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ 239 сверхзвуковым, Вычисление производных в точке Ло путем дифференцирования второго уравнения (63) с учетом Аг(ЛВ) = 0 дает необходимые и достаточные дополнительные условия 2 4 ио = Ло со Ло со 2 з ' — )Уо = — Лосс (64) то + 2 ис это+ 2 изс где то > О есть значение величины (2.22) в точке Ло. Возможны два вари- акга течения в зависимости от того, будет Ло > 0 или Ло < О.
П е р в ы й в а р и а н т: Ло > О. Из (64) следует, что ис > О, ис < 0 и гзс~ < О. Поэтому с ростом Л вблизи точки Ло величина и возрастает, а и убываег, становясь отрицательной, т.е. )Ц также растет. Значит модуль скорости д растет, а с убывает, причем величина АГ(Л) < О. Утверждается, что последнее неравенство невозможно при всех Л, Лс < Л < 4-оо. Действитедьно, если М(Л) < О, то !)з'(Л)! < (Л + 1)сг и из первого уравнения (63) следует, что (Л' + 1),и > Л!и!.
(65) Интегрирование (65) от неюторой точки Л1 > Ло до переменного Л > Л1 дает неравенство Лг, 1 < й,и~2 (66) с некоторой постоянной Йг > О. так как )и(2 < 92, то из (66) следует, что неравенство гУ(Л) < 0 возможно лишь до некоторого конечного значения Л = Л„с которым Аг(Л„) = О. Из уравнений (63) получается, что и'(Л.) = +эо и и'(Л.) = -ос, т.е. при Л = Л. происходит градиентная катастрофа. Окончательно получается, что в варианте с Лс > 0 течение Буземана, непрерывно примыкающее к постоянному, является автомодельной вавнай разрежения, заканчивающейся на луче Л = Л.. Это течение может быть интерпретировано как продольное обтекание части тела вращения, имеющего вид сужающегося цилиндра (А, А.
Никольский, ! 957). Распределение величин и и г в зависимости от Л и плоскость течения с линиями тока показаны на рис. 8. Второй вари а н т: Ло < О. Из (64) следует, что здесь ио < О. ис < 0 и Мс > О. С ростом Л вблизи точки Лс обе величины и и и убывают, т.е. )и! возрастает и будет Аг > О. Это направление изменения величин и, и сохранаяется во всем интервале (Лс, 0). Из (63) следует, что и'(0) = О, а при Л > 0 будет и' > О, т.е.
/и, .'будет убывать. Как далеко (по Л) может существовать таюе решение? Для ответа на этот вопрос сначала устанавливается, что при всех Л > 0 пока существует гладкое решение системы (63), знаки неравенств й<0, и'>О, и<0 )з'>О га=и — Ли>0 (62) 24О ГЛАВА Ю, ДВУмагиыв Устхиовившився тичкция Рис. 8 будут сохраняться. Дсйствительно, пусть Л1 (О < Л1 < оо) есть наибольшее значение Л, при котором в оакрьлиож интервале (О, Лз) выполнены все неравенства (67).
Тогда они будут выполнены и при Л = Л ~. нарушение хотя бы олного из цих ведет к противоречию с определением точки Лп Именно, если и(Л1) = О, то при М(Л1) Ф 0 слева от точки Л1 решение системы (63) должно быть постоянным (теорема единственности), а при М(Л1) = 0 из формул (64), с заменой Ло иа Лм следует и'(Л~) < 0 и, в силу непрерывности, о'(Л) < 0 для близких к Л1 значений Л < Лп Если и'(Лд) == О, или о'(Л1) = О, или йГ(Л1) =- О, то из (63) снова следует о(Л~ ) = О. Наконец, если ш(Л1) = О, то будет )т'(Л1) = — (ЛЯ -~- 1)сз < 0 и значит величина Ю должна быть равна нулю при некотором Лз, 0 < Лз < Ли Полезно замепгть еше, что из (63), (67) следуют соотношения (о )' = 2ии' < О. (68) В частности с ростом Л модуль скорости д убывает, а значит скорость звука г растет, т.с.
имеет место яечелие сигал|ля. Однако на вась интервал (О, ос) гладкое решение продолжено быть не может. Это следует из интеграла Бернулли, прсдписываюшего ограниченность скорости звука, а значит и плотности р се максимальным значением. Именно, из интеграла Бернулли и уравнений (63), (68) выводится уравнение лля плотности р(Л) (00) р',/р =. 2иф(/Х Так как Х < шз, то из (69) следует неравенство РЪ > 2~Ю (70) 241 923 Лозвтковыа гачапия Но в силу ~Ч > О будет глг > (Лг + 1)сг и значит при Л оо будет ш=и+Л)с) сс, т.е.
)Л! — оо. Поэтому для достаточно больших Л > Л1 > О дробь Л)с)/ш будет ограничена снизу положительной константой /см т, е, Л/и( > йгю. Значит неравенство (70) при Л > Л1 приводит к неравенству р'/р > 2)ч/Л, интегрирование которого дает конечное неравенство ,(Л) > Е Лгм с некоторой константой йг > О. Поэтому при Л вЂ” оо будет р — оо, что невозможно.
Рнс. 9 Оказывается, что здесь сушествует течение с сильным разрывом (коническим скачком уплотнения, см. 925), через который поток переводится в постоянныл1, идуший вдоль полуоси х > О. Линия этого разрыва совпадает с некоторым лучом Л = Лз (рис. 9). Следовательно, в варианте с Ло < О течение Бузсмана является автомодсльной волной сжатия, состоящей из непрерывной волны и конического скачка уплотнения, посредством которых постоянный сверхзвуковой поток со скоростью ио преобразустся снова в постоянный поток со скоростью иг < ио. При этом результируюшсе течение может быть как дозвуковылк так и сверхзвуковым. й 23.
Дозвуковые течения В теории дозвуковых установившихся бсзвихрсвых изэнтропнческих (значит — нзоэнсргстических) двумерных течений газа предполагается, что во всем рассматриваемом течении модуль скорости 9 меньше соответству юшей скорости звука с, т.
е. всюду в потоке число Маха М < 1. В зависимости от характера краевых задач в качестве исходных дифференциальных уравне- 242 ГЛАВА! У. ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ний, описывающих такие течения, берутся либо система уравнений (22.23), либо уравнение для потенциала скоростей (22.28), либо система уравнений метода годографа (22.35), (22.46) и (22.50) или некоторые их модификации.
Каждый раз эти дифференциальные уравнения надо рассматривать совместно с интегралом Бернулли (22.24), причем уравнение состояния (которое в теории таких течений принято называть также уравнением адиабаты) р = г(р, Бс), энтропия Бо и константа Бернулли дз считаются фиксированными. Благодаря строго эллиптическому типу исходных дифференциальных уравнений теория дозвуковых течений с точки зрения постановок ее основных краевых задач во многом аналогична теории течений идеальной несжимаемой жидкости. Здесь будут рассмотрены два класса задач, наиболее хорошо изученных в этой теории: задачи о струях и задачи обтекания, Исторически именно на этих задачах разрабатывались и отшлифоаывались математические методы исследования лозаукоаых течений газа. Уместно отметить, что первые задачи о дозвуковых плоских газовых струях были решены С.А.Чаплыгиным еще в начале текущего столетия [10).
Задачи о струях. Характерным признаком таких задач является наличие так называемых свободньп границ. Этим термином принято называть такие части границы области течения, которые сами заранее неизвестны, но на которых задается два граничных условия; кинематическое и динамическое, Кинаиаеическое условие состоит в требовании, чтобы свободная граница была контактной линией, т.е. состояла все время из одних и тех же частиц.
Для установившихся течений это равносильно тому, что свободная граница является линией тока. г(инаиическое условие заключается в задании распределения давления вдоль свободной границы. Обычно заданное давление считается постоянным. Это позволяет интерпретировать струйное течение как такое, которое происходит в некотором окружающем изобарически покоящемся газе, линия раздела с которым и представляет собой свободную границу. Действительно, тогда линия раздела является контактным разрывом, при переходе через который на ней выполнено условие непрерывности давления.
Кроме свободных границ в задачах о струях могут быть и другие участки границы течения, которые считаются заданными твердыми непроницаемыми стенками. На таких участках задается условие обтекания (говорят также: условие непротекания), равносильное условию, что и эта часть границы является линией тока (заранее заданной). Таким образом, каждая струя, имеющая конечную величину поперечного сечения, течет между двумя линиями тока, и потому расход газа (см. В 22) в ней постоянен. Наконец, в струях, уходяших в бесконечность и имеющих либо обе границы свободными, либо одну из них в виде твердой прямолинейной стенки, требуется вы- З 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
