Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Так как эта постановка возможна при,З = 0 и любом значении а, то требование (15) конечности энергии Е(1) является уравнением, определяюшим величину показателя автомодельности а. Он необходимо должен быть равсн а= 2 и, 3' (16) Следовательно, приближенное автомодельное решение задачи о сильном взрыве можно получить только с показателем автомодельности (16), а именно а = 2/3 для плоских волн,а = 1/2 для цилиндрических волн но = 2/5 для сферических волн. Ниже излагается решение этой задачи для сферического случая. Для сферической ударной волны, когда а = 2/5, значения основных величин иа фронте, согласно формулам (20.27), таковы: 8( у — 1) — г,= 5( ~ Ч-1) 25(0 Ь 1)з (17) ~+1 8 К~= Ры Рф=, дь 0 — 1 ' 25(.У--1) Интеграл Седова.
Как было замечено впервые Л. И. Седовым (см. ссылки в [7)), эта задача имеет конечный интеграл энергии. Он следует из интеграла (20.17) при Лс = 0; тогда будет Аь. = 0 и получится равенство (18) Это и есть ишлеграл Седова. После деления на )7 и введения, согласно (20.8), величины Я равенство (18) принимает вид 2 — 1 5 откуда получается простое выраженно У через (7: (19) Последа(ку соотношение (19) есть точное следствие законов сохранения, то юпрсдсавемая им функция Я(У) должна быть точным решением соответ- а 2 !.
Задачи о поганив и о сильном взгывк 21! ствующего уравнения (20.4). В этом нетрудно убедиться прямой подстановкой выражения (!9) в уравнение с учетом значений показателей автомодсльности 1! = О, а = 275 и числа д = 3. Легко проверить также, что интегральная кривая ( ! 9) проходит через нужную точку на фронте (()ф, Уф), координаты которой даются формулами (17). Следует заметить, что интеграл Седова (18) является частным иктегралож соответствующего дифференциального уравнения (20.4); он не содержит произвольных постоянных. Анализ решения. Имея интеграл (!9), можно пай~и зависимость (7(Л).
Соответствующее уравнение (20.6), после подстановки в него функции (19), принимает вид 2 1, 4(з — 1) 2 ((7- — 1!— 1,(л -~ ч-! ' 5т/ 25э'(э ' !) (20) Для того чтобы разобраться в холе искомой интегральной кривой, необходимо заметить, что для положительности величины Я согласно (! 9) требуется, чтобы величина (7 менялась в интсрвалс (с учетом того, что всегда 7 > 1) — < У < -„.
2 2 5з 5' (21) (22) где 7 — 1 13!а — 77412 27-. '1' 5(2т 4 1)(зэ — Ц' Нетрудно убедиться в том, что точка (74 из (17) при любом 7 > 1 лежит в интервале (21). Но уравнение (20) имеет еще одну особую точку У, = 27(3э — 1).
Сравнение ее с (74 показываст, что при 7 < 7 справедливо неравенство (74 < ()„а при г > 7, наоборот, (7. < (74. При этом всегда 2/5э < (7,. Пусть сначала 7 < 7. Тогда из (20) следует, что !(Л/!((У > 0 в интервале 2!5'у < У < (74, в силу чего всличина У возрастает с ростом Л. При этом Л вЂ” О, когда (7 2757. Отсюда вытскаст качествснный график зависимости (7(Л), показанный иа рис.
2иь Этот график описывается аналитически после взятия квадратуры в (20), которая выполняется явно и дает 212 Глхвх! и. Одномегеные ньусзхновившиеся движения а константа Аф зависит только от т н получается из (22) при Л .== Ле и У = ()е. Получаемое здесь решение определено во всей области, от центра г = О до фронта ударной волны гс = Лф(27ь.
Ла Ла 0 Ф,, ()а 2/5 (1 О 2/ ()а 2/, и а) о) Ряс. 2 Если же 7 > 7, то в окрестности и справа от точки Уф будет г(Л/г((/ < О, т.с. с убыванием Л величина (/ растет. Отсюда вытекает качественный график зависимости (1(Л), показанный на 7 1 э<7, т>г рис.
2,б. Зтот график описывается аналитически той жс зависимостью (22), но теперь в интервале ()е < (7 < 2/5. При этом, когда У = 2/5, то Л = Л„> О. Зто означает, что получаемое здссь решснис не опрсдслено вплоть до центра г = О. Так как при Л, (7 = 2/5 из (19) получается, что Я = О, то все эти факты приводят к следующему выводу. Если з > 7, то область движущегося газа заклю- 0 2/. У, 2/ (Г чена между сферами г, = Л,( 7а и гф =- Лф(~7Я, бт " 5 а внутри сферы г =. г„находится состояние Рис.
3 вакуугна. Вытскающее из этих рассмотрений поведение величин 2, У и Л показано на рнс. 3, где дан график зависимости (19) и стрелками обозначено направление изменсния этих величин от фронта ударной волны к центру дяя случаев т < 7 и ) > 7. При э = 7 в области за фронтом величины (1 и У постоянны; анализ этого решения предоставляется читателю. Вычисление зависимости й(Л) выполняется с использованием функции (22) и соответствующего уравнения (20.7), При этом фактически полу- 213 2 21, ЗАЛАчн О ПОРшнв и О силыюм ВЗРывг чается функция 21(У), которая выписывается явно, аналогично (22).
Наконец, зависимость Р(Л) находится просто по формуле Р = 2'1г. Расчет движения фронта. В полученном решении остается один неопределенный параметр — входяшее в (22) значение Лф. Эта величина опредсляется условием заданной энергии взрыва Ео. Действительно, в силу (15) в формуле (14) слсдует положить Е(1) = Ео. Кроме того, необходимо заметить, что, как это следует нз (22), на самом деле величины К Л, Р зависят только от огношсння Л/Лф. Поэтому после подстановки У = (/(С), Л = р1Л(С), Р = рзРЯ, С = Л/Лф, (23) и перехода к переменной интегрирования ~ равенство (14) примет вид Ео = еор2Лф, (24) где всличнна (26) зависит только от показателя адиабаты у.
Формулой (24) и определяется искомое значение (26) Тем самым задача о сильном взрыве полностью решена. Закон движения фронта ударной волны дается уравнением гф = ЛфГ~~о, (27) 0 а распределение параметров газа за фронтом— формулами Рис.
4 Качественный характер распредслений скорости, плотности и давления за ударной волной, описываемых формуламн (28), показан на рис. 4. а!4 Глхвл Ш. Одноме ные неустхновившиеся движения Можно заметить еше, что если выразить скорость фронта ударной волаы В4 через его радиус гс и использовать значение (26), то получится формула )24 = — гу! — г 2 1 Ео -зуг 5 'у еор! Ф (29) Сравнение (29) с асимптотикой (19.19) показывает, что при сильном взрыве скорость распространения ударной волны с ростом ее расстояния от места взрыва убывает быстрее, чем в случае слабых ударных волн.
Поэтому область применимости формул (28) решения задачи о сильном взрыве ограничена теми расстояниями, на которых ударная волна остается достаточно сильной. Задачи и упражнения к главе П1 1. Показать, что стационарные решения уравнений одномерного движения (15.1) описывают течения типа источника (см.1 ! 1). 2. Показать, что с массовой лагранжевой координатой б (см.
1 ! 5) система ( ! 5.1) в лаграижевых координатах (5,1) имеет анд ((г = 1/Р) щ -'г г"рг = О, К вЂ” г"ит = -г(ги, Яг = О, 3. Найти характеристическую форму уравнений одномерного движения газа в лаграижевых координатах (см. задачу 2). 4. Для уравнений одномерного иззнтропического движения с плоскими волнами политропиого газа при т = 3 найти класс точных решений, для которых массовая лагранжева координата имеет вид б = Е(Л)„где Л = г(1.
5. Найти явные окончательные формулы и дать анализ точного решения вида (! 5.29), (15.30) системы (15.1] в случае ф(Я) = 5' для показателя адиабаты т = = (Р-Ь 2)!Р. 6. Поршень, занимавший в момент времени 1 = 0 положение т = О, выдвигается по закону к = атг (а ( 0) нз трубы, заполненной покоящимся пояитропным газом (при з ) 0), в котором скорость звука равна сс. Описать движение газа в классе простых волн.
7. Пгпи условиях предыдущей задачи лоршеиь вдвигается а грубу цо закону т = а! (а > 0). Показать, что момент наступления !раднснтной катастрофы лается формулой !. = ссДт Ч- 1)а. 8. Найти закон движения свободного поршня массы И в неограниченной грубе с площадью сечения Е пот лействием лаалецив расширяющщося политропиою газа, первоначально находившегося в состоянии покоя, если по другую сторону поршня лавление равно нулю (аакуум).
621. ЗАДАЧИ О ПОРШНЕ И О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 215 9. Показать, что сали при отражении простой волны от жесткой стенки получается снова простая волна, то падающая и отраженная волны являются одновременно либо волнами сжатия, либо волнами разрежения. 10. Показать, что для политропного газа с т = 3 уравнение Эйлера — Пуассона (16.50) имеет общее решение вида р(г) — а(() гле тт и С вЂ” произвольные функции. Используя этот факт, найти явное решение задачи о взаимодейатвии центрированных волн разрежения (см.
6 16). 11. Закрытая с двух концов труба длины Д заполнена покоящимся политропиым газом с -» = 3. В момент времени 1 = О один конец открывается и через него начинается истечение в вакуум. Найти распределение основных величин в трубе для всех 1 > О. 12. Ударная валка падает иа контактный разрыв, разлеляющий два состояния покоя одного и того же политропного газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
