Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 36
Текст из файла (страница 36)
— т В! г 3 рзс! (5) Скорость и находится из уравнения (4.17) и дается формулой откуда в силу (3) и (5) следует прсдставление иг = с!г — — В!з 0(г ). 1 г з 2 (6) Удельный объем И находится с помощью адиабаты Гюгонио с центром (К!, Р1). В силу теорсмы 5.2 в разложснии функции 1' = И'(Р) по формулс Тэйлора двс первые производные достаточно вычислить вдоль изэнтропы 3 =- Я!, по даст (см.
аналогичные формулы (5.7)) Е!9. Асимптотическое поведение Удлтных волн !93 КромеМВо, полезно найти инвариант Римана 1з = из — а(сэ). Так как Ва 1 Вза 1 В(рс) В Вр Рс Врэ рэс4 Вр эзг4 то в силу (3) аз = о.! + с!э — — В!э + 0(в ), з з (7) где о.! = о.(с!). Сравнение формул (6) и (7) дает важное соотношение (так как и! = О) 1з = !! + 0(э~). (8) Другими словами, скачок инварианта Римана ! = и — а(с) есть величина третьего порядка малости по сравнению с амплитудой ударной волны, когда амплитуда стремится к нулю. Наконец, скорость персмешения ударной волны Р находится из уравнения (4.12), т. е, здесь (иэ — Р) и! = — РИи н после подстановки выражений (5) и (6) оказывается такой: Р = с! + -В, э + 0(эз). 2 (0) Предположение А.
Всюду в области Й энтропия Я и инвариант римана ! постоянны, о' = я! и ! = !! = — а(с!), или и = а(с) - о(с!). (10) Крол!е того, считается, что движение в Й непрерывно и все величины.пало отличаются от их значений перед фронтом. Из предположения А следует, что все газодипамическис величины в области Й являются функциями одной из них, т. е, движение в Й есть простая волна. При этом уравнение (15.4) вдоль характеристик С можно отбро- Постоянство энтропии и инварианта Римана. Для вывода асимптотики на плоскости В'( т, !) рассматривается область Й = (то < т < те, ! > О), где постоянная то > 0 и т = те(!) есть уравнение ударной волны (фронта), причем те(0) = то.
Вывод основан на приближении, связанном с отбрасыванием, ввиду их относительной малости, величин О(ез) в соотношениях (4) и (8), а также с условием конечности суммарного расхода через границу т = то. Зти соглашения формулируются ниже как предположения А и В. 194 Глава 111. ОдномьРНЫа нвтетАНОВивщнаСя Движания сить (оно заменяется соотношением (1О)) и движение описываетсязнваня»о уравнениями характеристик С+. — = и+с, Й Й вЂ” (и +»т(с)) -т (и+ с) —,(и + о(с)) = — -си.
д д р д1 дт (11) д, = —, д 1 д дт и+ сд! и (11) переписывается в виде (и+ с)д+(и+ о(с)) + ит ~си = О. Применение оператора дь к тождеству (10) дает рд„= сд» р, в силу чего (и 4- с)д+(и + п(с)) = ид„+и+и с д„"р -1- сд,+.и+ се д„" р = =2и — д1р+ 2сдт и = 2рд~(ри). Поэтому предыдущее уравнение равносильно уравнению 2тдт (ри) + ири = О, интегрирование которого дает ти1з = а (12) ) где величина »» постоянна вдоль С -характеристик и является параметром, отличающим 0 одну характеристику от другой. Кажлая из этих характеристик соединяРис. 1 ет некоторую точку 1с(а) на прямой т = то с точкой (те. 1е), лежащей на ударной волне (рис.
1). Интегрирование первого из уравнений (! 1) вдоль Сь дает 14 = то(о) у! —,»1т. 1 /и'т тв Оказывается, что при условии (10) уравнения (11) интегрируются точ- НВ. Для этого вводится дифференциальный оператор т 19. АСИМПтатняаСКОВ ПОВЛЛВИИЛ тДАГИЫХ ВОЛН !95 Дифференцирование зтого соотношения по а с учетом того, что Же/с(а = = Р 'ого(йа, приводит к уравнению (~ +ь,< > ~(л ~ )~, зс ~о В силу предположения А величины Р и и + с можно рассматривать как функции от ри.
С помощью формул (5), (б) н (9) получаются достаточные для вывода асимптотики приближенные выражения 1 1 1 Вз 1 1 В~ — = — — — — ри, — = — — — ри, Р сз 2 ,, з ' и + с сз сз рзс, р~с, второе нз которых можно считать справедливым не только на фронте„но и всюду в области И. Если положить и = В~ Д2рзсе), то в результате подстановки (14) и использования (12) уравнение (13) упростится до следующего: Ыг " — = 1'(а) — 2й / г "~з~Ь.. го Пусть )(а) = 1 г "~здг; тогда зто уравнение перепишется так; 1аУ(а) + 2Ы(а) = 19(а), илн равносильно: Й вЂ” (а,у(а)) = а1~(а), да и проинтегрнруется в виде а Йа .7(а) = дед)Щ (15) гм где предполагается, что ге = го при а = ао, т.
е. 1о(ао) = О. Последний интеграл можно преобразовать с учетом соотношения (12): тяб гллвл !й. Олномягиык ивз!сФлновившнвсялдйняй!гйея Пф1$положение В. Интеграл ри(го,Ф)Ю = О (16) конечен и полоасителен. Асимптотические формулы. В силу предположения В,панЦгЯ получается асимптотическое представление интеграла,/(а): и/з че 1 .7(а) =., -- —. я аз (17) (о = О) 7(а) = ге — го; (и = 1) У(а) = 2(,/ть — з/го)' (о = 2) .7(а) = !п(гф /то). (18) Сравнение (17) с (! 8) дает асимптотическую зависимость ге(а) или а(ге), а значит, и величины (ри)е в зависимости от ге в силу (12).
В заключение надо заметить еше, что в силу формул (5) и (6) справедливо соотношение ртия ргсге + 0( )~ позволяющее представить амплитуду е асимптотической формулой е =- (ри)е/р~сы Отсюда и получается искомос асимптотическое представление амплитуды з через ге при ге — оо. При этом в формулах (18) слагаемыми гс и го можно пренебречь. Окончательно, с учетом (2) н выражения В~ = 2йргсз, асимптотика амплитуды я записывается через относительный радиус ударной волны С = ге/го и дается следующими формулами: з =Нб (и = О, плоские волны) (и = 1, цилиндрические волны) г = ! Н~-з74, з/2 е =Н~ '(!пс) '/', (20) (о = 2, сферические волны) в. другой стороны, интеграл .7(а) берется явно, и для различных значений и гввзучаются формулы 197 а 20. Автомодальныл движгния где безрвдиавввя величина Н дастся формулой Нз ~/ш7+ 2 (21) ~ 20.
Автомодельиые движения Термин «автомодельность» уже встречался в 9!3 для описания частных случаев кратных волн, обладающих конической автомодельностью. В более широкой трактовке, применительно к физическому содержанию решаемых задач, автомодельными принято называть решения, которые получаются путем анализа размерностей всех участвующих величин. С точки зрения тсоретико-группового подхода это равносильно использованию допускаемых уравнениями групп растяжений.
Однако свойство некоторой группы преобразований быть группой растяжений зависит от выбора системы координат в пространстве основных переменных. На самом деле сдинстаенныл~ инвариантным характеристическим свойством групп растяжений является то, что они абелевы (коммутативны). Поэтому рационально использовать термин «автомодельный» применительно к любым решениям, инвариантным относительно абелевых подгрупп основной группы. При этом представление решения в той системе координат, в которой группа является группой растяжений, удобно называть автал~адельным в узком смысле.
Уравнения автомодельных движений. В этом параграфе рсчь пойдст об автомодельных в узком смысле решсннях уравнений одномерных движений политропного газа (!2.12). Эти решения выделяются тем, что они полезны и часто используются в приложениях; кроме того, они наиболее хорошо изучены (см. (7)).
Общее представление таких решений н соответствующая факторсистема имеют следующий вид: г(7(У,) и !ВРР) р Гй згзР(А). Л гà — «. (Ц здесь сг и 73 — показатели автамадевьнасти, а функции 17, Л, Р удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (штрихом На основе асимптотики (20), (21) и предыдущих выводов легко получаются формулы, описывающие асимптотическое поведенис на ударной волнс величины давления (3), плотности (5), массовой скорости (6) и скорости ударной волны (9) для каждого значения параметра симгвстрии и.
198 Глхвл! В. Одномагньш ну кстлновившияся движвнйя обозначены производныс по Л) (У вЂ” о)ЛУ' + Л вЂ” — (у + (у + 2 — = О, Р' 2 Р )1 В (су — а)Луг' + уГЛ(у' + (уз(у + Я 1г = О., ((у — о)ЛР' + ЗРЛ(у' + ((д у -~- 2) (у + )У вЂ” 2)Р = О, (2) (4) где М = (2 убг — (-» — 1)(2а +,9) — 2) 2— — (У вЂ” а)((су — у + 1)(у + ( у .- аьу — 3)(у+ 2а), (5) Х = (д ~Б+2а+ )3 — 2)Š— (У вЂ” а)((уз — (у), и введено обозначение ьу = уг(з — 1) 1- 2.
По известной зависимости У((У) функция У(Л) находится квадратурой из уравнения Л г((у ( ~(У+ 2а+, — 2)г — ((У аН(Уз — (У) г(Л ((У вЂ” о)з — 'уЯ (О) после чего сше одной квадратурой находится й(Л) из второго уравнения (2): Л,щ Л(У'+ д(У+ Р гг НЛ 1У вЂ” а где положено уз = 1 + и, так что д = 1 для пдоских волн, уу = 2 для цилиндрических волн и д = 3 для сферических волн. Замечательная особенность системы (2) состоит в том, что она сводится к одному независимому уравнению псрвого порядка и двум квадратурам, Этот факт не случаен, он имеет групповую природу и связан с тем, что исходные уравнения (12.12) допускали трехпараметрическую группу растяжений, а для определенна решений вида (1) использована только одна ес однопараметрическая подгруппа; оставшиеся два независимых растяжения должны допускаться системой (2).
Здесь эти преобразования видны непосредственно: (а) Л = аЛ; (Ь) й = Ьут', Р = ЬР, (3) Преобразование (3, а) позволяет избавиться от явного вхождения нсзависимого переменного Л за счет замены б = 1п Л, а преобразование (3, Ь) показывает, что единственным нсзависимым уравнением должно быть уравнение, связываюшсе инварианты этого преобразования (У и Я = Р)К Вывод последнего требует лишь выполнения ряда тождественных преобразований, в итоге которых получается уравнение '199 в 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
