Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(р<. ) Тогда значение р = рз опредсяяется как единственный корень уравне- ния р (р) =Ыр). после чего нахолится величина из '= К (рз). (16) откуда 771 < ).7',, что противоречит предположению. Остальные возможныс комбинации рассматриваются аналогично. Но если с каждой стороны от траскгории к = из$ возможна лишь одна волна, то она должна определяться точкой 3 пересечения (п,р)-диаграмм псрехолов из состояния 1, обращенных влево, и из состояния 2, обращенных вправо. В противном случае были бы нарушены условия на контактном разрыве,т. =- Нз1, Поэтому нет никаких Рис. !6 других, кроме перечисленных выше, конфигураций распада произвольного разрыва.
° Фактически расчет распада разрыва выполняется с помощью уравнений (и, р)-диаграмм (3), (4) и (7). С этой целью рассма риваются функции, описывающие соответствующие встви (ьцр)-диаграмм: для переходов из состояния 1 (рнс, 4) 177 118. Сьмь задач Акустическое приближение. Метод (и.р)-диаграмм применим лля анализа и решения многих конкретных задач с сильными разрывами. При относительно небольших значениях скачков ||и), (р) и (р) на практике успешно используется акуетпачвсков ириближеиае. Оно состоит в том, что кривая (и.
р)-диаграммы заменяется прямой — касательной к ней в сс центре. При этом важио, что (и, р)-лиаграммы простых и ударных волн касаются друг друга, в силу чего угловой коэффициент аппроксимирующих прямых одииаков для обоих типов волн. В акустическом приближении с величиной иииедаиса 7| = рс уравнения (и, р)-диаграмм с центром (ио,ро), в силу формул (5) или (1О), записываются в следующем виде: для волн, обращенных вправо, (17) Р— 7|оп = Ро — 7|лис и для волн, обращеииых влево, р + 7|оп =- ро -ь йоио, (18) где Ьо = роса есть значение импсданса в центре (и, р)-диаграммы. В 18. Семь задач Одномсрнос движение с плоскими волнами можно, интерпретировать как модель движения газа в цилиндрической трубе, в каждом сечении которой в любой фиксированный момент времени основные величины постоянны по сечению. С точки зрения ее практического использования такая интерпретация, конечно, нуждается в оговорке насчет трения о стснки трубы, которого нет в модели невязкого газа, цо которос есть в природе.
Эксперимент показывает, что для быстропротскаюших процессов и на коротких участках трубы это приближение является удовлетворительным. Так или иначе, принятая в данном параграфе трактовка одномерного движения газа как его движения в трубс может рассматриваться как формальная, вводимая для большей наглядности получаемых результатов. Здесь дается анализ и решение простейших задач с участием распадов разрывов, объединяемых общим понятием задач а взаниадейстпвиях.
Описываемые в них ситуации часто встречаются на практике в качестве элементов более сложных газодинамических процессов. Используется развитый в ч 17 метод (и.р)-диаграмм. Без дальнейших оговорок труба предполагается расположенной горизонтально, вдоль оси х, а все газы — нормальными, с известными уравнениями состояния. Работа ударной трубы. Два покоящихся газа разделены заслонкой в сечении х = О. Газ 1 с параметрами р|, р| находится под высоким давлением, а газ 2 с параметрами ра, ра — под низким, так что р| > ра (рис. 1). 178 ГЛАВА 111. ОднОмеРные неустАноВиВшиеся дВижения В момент времени 1 = О заслонка мгновенно убирается.
Требуется описать последующее движение газов и дать расчет его параметров для 1 > О. В этой постановке задача об ударной трубе является частным случаем задачи о распаде произвольного разрыва. Соответствующие (и, р)-диаграмма и возникающая на плоскости событий конфигурация волн аналогичны случаю рис. 17.8 и в уточненном виде показаны на рис. 2. Рис. 1 Расчет должен пать скорость ударной волны Х), идущей по газу низкого давления, скорость из и давление рз в постоянном движении за этой ударной волной, а также плотности газов рз и рз в этой области по разные стороны контактного разрыва. Согласно (и,р)-диаграмме рис. 2 точка (из,рз) находится из уравнений (17З) и (17.7), точнее, в результате решения системы конечных урав- нений из+ о(рз) = о(Р1) из = Затем по адиабате Пуассона для состояния 1 определяется удельный объ- ем Ъ~ и по адиабате Гюгонно с центром Я, рг) — удельный объем )гз": Рз = 0(1'з, о1), ~з' = %рз' Ъг Рг) (2) Наконец, скорость ударной волны находится из закона сохранения мас- сы (17.12), который в данном случае приводит к формуле 27 )'г — $/и" .
г 3 (3) О и, и Рис. 2 !79 4!я. Свмь зхдлч Ударные трубы широко применяются в газодинамических экспериментах для создания высокоскоростного потока, который получается в области 3. В акустическом приближении с помощью уравнений (17.17) и (17.18) для скорости и, получается значение из = (Р1 — Рг)/()зз + М), Задача о поршне. В сечении х =- О труба перекрыта поршнем, справа от которого находится покоящийся газ с параметрами рм рз (рис. 3). В момент времени 1 = О поршень начинает двигаться с постоянной скоростью сг.
Требуется описать последуюшее движение и дать расчет его параметров для ! > О. (1„, О' 0 В и Рис. 4 0 з Рис. 3 Зта задача, в отличие от рассмотренных ранее, является задачей с граничным условием, так как скорость частиц газа, прилегающих к поршню, должна быть равна скорости поршня (см. з, 7): и(И,1) = Г (4) Здесь постоянное значение (4) задано на прямой ж = И, в силу чего задача конически автомодельна (см, з 13) и ее решение можно искать в виде и == и(Л), р = р(Л), где Л = т/б Единственность такого решения доказывается с помошью тех же соображений, которые были использованы в доказательстве теоремы 17.1. Так как переход из состояния 1 в составе 2 должен осуществляться волнами, обращенными вправо, то (и, р)-диаграмма этого перехода будет гле 61 и йг — импедансы (17.16) газов 1 и 2. Увеличение скорости потока за счет повышения давления рз затрудняется тем, что с ростом рз, вообше говоря, растет и импедаис Ьь Однако влияние этого фактора может быть уменьшено, если в состоянии 1 одновременно с повышением давления газ сильно охлаждать.
!ВО ГЛЛВЛ!О. ОДИЮМВРВЫИ ИЯУСТЛ1ЮВИВШИЬСЯ ДВИЖШ1ИЯ такой, как на рис. 4. Характер возникающего движения определяется знаком величины (7. Если (Г > О (поршень движется в сторону газа), то в газ идет опережающая поршень ударная волна, за которой образуется область постоянного движения газа со скоростью, равной скорости поршня (1.
Если же (! < О (поршень выдвигается, отходя от газа), то газ переводится нз состояния покоя в состояние постоянного движения со скоростью поршня посредством цситрированной 1-волны разрежения. Плоскость событий лля обоих вариантов показана на рис. 5. О Рис. 5 Для расчета первого варна!па используется уравнение (и,р) диаграммы ударных волн (17,7), в котором надо положить ис = О, и = У, ( уо, Ро) = (1'ы р1) и рассматривать его как уравнение для Р = Рз > р11 (Рз — Р1)()Р1 И (Рг', (Р! Р1)) = П (Р > Р1).
(б) После определения Рз удельный объем находится по форл1уле 'уз = ИР(рз; К, р! ), а скорость ударной волны — из уравнения вида (17.12), что даст Г) =- ! 11. 'У'! — 'Уз (б) Для расчета второго варианта используется уравнение (и,р)-диаграммы простой 1-волны (17.4), здесь принимаюшсс внл (7) т(р ) == !2(р! ) -, (! (!У ( 0). По известному рз термодинамические величины находятся из уравнения состояния газа: Р2 !7((Р2 ~1) Р2 1!~2 12 зр(Р2 Е1). 181 8!8. Семь злдлч Если скорость поршня !У! достаточно велика, то, как это видно на (п,р)-диаграмме рис.
4, поршень оторвется от газа. Движение газа будет таким жс, как при истечении в вакуум (см. 6! 6). Максимально возможная скорость поршня, не теряюшсго контакта с газом, равна (9) Кл — и(Р1) В случае политропного газа уравнение (5) в силу (17.14) сводится к квадратному и решается явно, что дает возможность детально проанализировать зависимости давления на поршень и скорости ударной волны от скорости поршня.
В варианте выдвигающегося поршня также можно получить достаточно простые окончательные формулы. На практике задача о поршне находит применение в вопросах, связанных с предварительным быстрым сжатием газа, а также с явлениями удара и откола. Отражение уларной волны от жесткой стенки. По трубе, заполненной покоящимся газом с параметрами ры р~ и закрытой сира- .;;'.:!, й:,:" ва (в сечении к = 0) лсесткой стенкой, идет ударная волна, персмсшаюшаяся слева направо с постоянной скоростью )7 (рис. 6). В момент времени ! =-- 0 ударная волна достигает Рис. 6 закрытого конца.
Требуется описать и рассчитать движение газа для ! > О. Это также задача с граничным условном. Предположение о наличии жесткой стенки означает, что на ней должно быть выполнено условие и(0,1) = О. (10) Здесь в состоянии 2 за ударной волной можно считать известнглми все основныс величины, т. с, пз. р и рз (теорема 5.5). Поэтому лля ! > 0 снова получается коничсски автомодсльная краевая задача (см. 9 13) с граничным условием на контактной характеристике к = О, имеющая единственное автомодсльнос решение. Здесь (и, Р)-диаграмма и конфигурация на плоскости событий будут такими, как показано на рис. 7.
Характерными элементами решения являются пидити!ин па стенку и отриясеннин от стенки ударные волны. Поскольку состояние 2 известно, то за основу расчета можно взять (и, Р)-диаграмму ударных волн с центром (цз, Рз). Тогда оба давления, Рз и рз, должны быть корнями одного и того жс уравнения (вытекающего из (17.7)) (11) (Р Рз)(1 3 11 (Р 1'2 Рз)) ' пз' 1Ю Глхвл !1!. Одномв ньииивустхйьвившився движвния Рнс, 7 Рз Р~ 77 Рз — Р (12) Наиболее существенная особенность явления отражения ударной волны от жесткой стенки состоит в том, что действие падающей волны после отражения усиливается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
