Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Определение 1. Величины и о(с) называются инварианеами Римана. Для них вводятся обозначения (6) т =- и + а(с), 1 = и — а(г), В этих обозначениях и в силу (5) характеристическая форма системы (1) принимает внд (Се) г(х)т(! = и+ с, т = и+ а(с) ..= сопас; (С..) г)х/г11 = и — с, ( = и — а(с) =. сопаС. (7) Следовательно, инварианты Римана в политропном газе даются формулами т= и+ — с, 1 —: и — с. 2, 2 ') — 1 7 — 1 Другими словами, вдоль каждой характеристики Сь сохраняет постоянное значение инвариант Римана г и вдоль кажлой характеристики С сохраняет постоянное значение инвариант Римана 1. В случае политропного газа функции (4) вычисляется на основании уравнения состояния р = Арт (А =- сопл!) и оказывается такой: 1!6.
Изэ~~гопичяскив !!вижвпин с гаюскими волнами !49 В общем случае справедливо выражение для производной а'(с) = 2/тл с величиной тл., определенной в (2.22). Поэтому лля нормального газа а'(с) > О и функцин а имеет обратную, обозначаемую а !. С ее помощью скорость и и скорость звука с находятсн из уравнений (б) и выражаются через инварианты Римана: и = -(т+1). с = а ' ~-(т — 1) 2 ' ' ' ' 1,2 (10) В частности, в политропном газе и — -(т -с-1), с — (т — 1) э — 1 4 (11) и справедливы формулы 1+1 б-э и+с= т+ Π— у 2+1 и — с = т+ 1. (12) 4 4 На каждом движении газа инварианты Римана являются функциями переменных (я,1), т.с.
т = т(к,1) и 1 = 1(х,1). Условие их сохранения вдоль соответствующих характеристик может быль записано, в обозначенинх (15.3), в виде равенств В~л = 0 и 13 ..1 = О или, в развернутой форме, тв -!- (и + г) т, — -- О, 1, + (и — с)1 = О. (13) Простые волны. В терминах инвариантов Римана явно описываются простые волны как спецнальныс типы рассматриваемых движений газа. Непосредственный перенос результатов э ! 3 дает лишь следующую информацию о простой волне: это такое движение, в котором основныс величины зависят от одной функции п(х,1) — параметра простой волны, причем линии уровня п(з, 1) = сопя! являются прямыми и образуют ссмейство характеристик на шюскости Вз(т,1). Однако здесь о простых волнах можно сказать больше.
Так как величины и ~ с выражаются, согласно (10), через переменныс т и 1, то равенства (13) образую~ систему дифференциальных уравнений с двумя искомыми функциями, т(х,1) и 1(аь1). Ясно, что система (!3) равносильна исходной (1). Поэтому система (!3) называется сисюенай травлений в аавариантах Римана одномерных изэнтропнческих движений газа. 1ЗО 1;!лВЛ 01. ОВномнРИЫЕ НЕУсглНОВР!ВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Теорема 1. В каждой простой волне, если опа пе еспгл постоянное движение, один и тгмлко один из ипеариилтов Риз!она, г или 1, сохраняет тождесгпвеипо постоянное значение.
Если в простой вояке г Ре сопак то ее линиями уровня являются прянолипейпые лариктеристики семейства С . Если е простой волне 1 ==- сопя!, !по ее линия.ии уроеил являются ярямолииейпме .таракп!еристики сане!сства С . Обратно, если в некоторой области движение пе постоянно и один из ипеириаитов Римана тождес!пвеппо постоянен, то движение в этой области есть простая волна. Доклзлте'!ьство. По онредслению простой волны и в силу формул (7) инварианты Римана должны быть функциями одного параметра — функции сз =. а(х, 1), т. е. г = г(а).
1 =-1(а). (14) Подстановка представления (14) в уравнения (13) приводит к равенствам г'(а)Х)еа =- О. Г(а)ь! а =- О, где штрихом обозначены производные по а. Очевидно, что априори возможны четыре способа удовлетворить этим двум равенствам одновременно. Однако предположение г'(а) = О, 1'(с!) = 0 означает, что оба инварианта, г и 1, одновременно тождественно постоянны, что в силу формул (!0) даст не простую волну, а постоянное движение. Предположение О.ла = О, О а = 0 также нс годится, так как оно равносильно равенствам сг! —— 0 и их а, = О, т. е, приводит к тому, что а = сопЫ тождественно. В этом случае величина а нс может быть параметром простой волны. Поэтому остаются только две возможности. Первая из них г'(а)=0, Р а=О означает, что в простой волне г = сопят тождественно и что параметр волны а постоянен вдоль характеристик С . Но так как вдоль каждой характеристики С всегда постоянен инвариант Римана 1, то вдоль каждой характеристики С , в силу формул (10), постоянны также величины и и с, а с ниии и угловой коэффициент (7) этой характеристики г(л/йГ = и — с.
Это означает, что харакгеристика С сеть прямая линия. Аналогично, последняя возможность 1'(а) = О. Ола = 0 б ! б. ИзэЗП РОПиЧЬОКИБ двнжвиия О ПЛОСКИМИ ВОЛНАМИ !5! приводит к такому же заключению с заменой г на 1 и С на Сэ. Тем самым первая часть теоремы доказана. Обратно, пусть в некоторой области непостоянного движения тождественно постоянен один из инвариаитов Римана, например г = — го. Тогда инвариант 1 не тождественно постоянен и обо величины и и с являются, в силу формул (10), функциями только от 1. Согласно определению движение в рассматриваемой области есть простая волна.
° Простая волна, в которой тождественно постоянен инвариант Римана г (соответственно 1), называется коротко г-волной (соответственно 1-волной). Уравнсния прямолинсйных характеристик для простых волн легко интегрируются. Например, в случас г-волны в уравнснии характеристик С дх — (и — с)с(1 = 0 коэффициент и — с на С постоянен, в силу чего вдоль этих характеристик х-(и — г)1 = сопзц При псрсхолс от одной характеристики С к другой константа интегрирования может меняться и потому должна рассматриваться как функция параметра волны О.
Вместо этого ее можно считать функцией любой непостоянной величины, например и, с или инварианта 1,— все эти предположения равносильны. Для опрсдсленности эта константа инте!рировация будет считаться функцией скорости и. Аналогично интегрируется уравнение характеристик С+ в простой 1-волне. Итак, уравнения простых волн могут быть записаны в следуюшем виде. Уравнения г-волны: г = и+ а(с) = го = сопят, х — (и — с)1 = Е(и). (16) Уравнения 1-волны: 1=и — а(с) ж 1о = сопвг, х — (и+с)1= Г(и).
(17) Отсюда следует, в частности, что совокупность всевозможных простых г-воли (а также 1-волн) зависит от одной произвольной функции. В качестве таковой может рассматриваться, например, функция Г(и) в уравнениях (! 6) и (17). Теорема о примыкании. В связи с понятием простых волн возникает важная задача об их распознавании, т.е. о формулировке таких признаков, по которым можно было бы судить о том, что в некоторой области движения газа есть простая волна. Обшсс достаточное условие сушсствования простой волны дастся в иижеследуюшей теореме, в которой олномернос движение с плоскими волнами заранес нс предполагается нззнтропичсским.
Теорема 2. Если в пепрерывпаи (одмомерпож, с плоскими возопил) дви,женно газа есть характеристика С~ (соответственно С ), пе явлнюп!амсм линией вакуума, вдоль «отарой везичпны и., р, р постоянны, то 152 ГЛАВА 11!. ОЛ1щмьм!ыь икустлиОВИВШИБСЯ ДВИЖКИИЯ а окрестности этой характеристики, с каждой ее стороны, <)линие длижеиие является изэитровическми и либо лостаялнььи, либо простой 1-волной (соотнетстненно г-волной). В частности, непостоянное изэигропичсскос лниженис, непрерывно примыкающее к постоянному, всегда есть простая волна.
ДОКАЗАТ1И!ЬСТВО, Пусть вдоль характеристики С„величины и, р, р постоянны. Тогда вдоль нсс также постоянна и энтропия В, Пусть По ~ )1~(х,е) есть множество, состоящсс из точек всех траекторий Со, псрссекаюших данную характеристику С+. Так как Се нс сеть линия вакуума, то ПВ является областью. Ясно, что в области По энтропия тождсствснно постоянна. Пусть Й с )тз(х,1) есть множество, состоящее из точек всех характеристик С, пересекающих данную характеристику Сч. Ясно, что П тоже является областью. Так как инвариант Римана 1 постоянен вдоль данной С+ и постоянен вдоль каждой С, то он тождественно постоянен в области П . Следовательно, если на пересечении областей По и !) движение нс постоянно (хотя бы с одной стороны от С+), то в силу теоремы 1 это движение есть простая 1-волна. Аналогично рассматривастся случай, когда величины и, р, р постоянны вдоль некоторой характеристи- киС .
Если не постоянное изэнтропичсскос движение примыкаст к постоянному движению вдоль некоторой линии х', то вдоль этой линии должен быть слабый разрыв. По теореме 6.2 линия К должна быть характеристикой. В силу изэнтропичносги движения линия .х может быть только звуковой характеристикой, например С„. Так как она принадлежит находящемуся по одну сторону от нее постоянному рсшснию, то вдоль этой характеристики Се все величины и, р, р постоянны. Согласно первой части теоремы по другую сторону от С+ движение есть простая волна .
° Если во второй части теоремы отказаться от требования изэнтропичности непостоянного движения, примыкающего к постоянному, то утверждение будет, вообще говоря, неверным. Действительно, примыкание может происходить вдоль траектории (характеристики Со), а нс постояннос движение может быть нзобарическим (см. З 9). Однако если дополнительно предположить, что примыкание происходит по звуковой характеристике, то вторая часть теоремы будет верна и без требования изэнтроличности (впрочсм, в этом случас она фактически совладав~ с первой частью теоремы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
