Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Одномьепые неустлновившиеся движения к точке (го, 0). Для величин (7) эти предсльныс значсния отмечаются со- ответствующим нижним индексом. Например, из начальных данных (16) сразу находятся значения Дг = пс(го — О) + Рсссрс(го — О) ~з = но(го — 0) — — Ро(го 1 Расо -О).
Л7, = ~с(го -О); (17) Рого Ро(го — О) 1 Вг — ис(гс —. 0) —. Ьг = ко(го ' О) — р (го - 0), Иг = со(го+ 0), росо где штрихом обозначены производныс по г и расо есть значение рс в точкс разрыва (гс, О). Остается замстить, что из условий (9) следуют равенства % = гьз = ть4, г г .= Ез = г 4, Лг! == Лгз. Лзг =- М3, (18) которые и решают поставленную задачу.
Действительно, в каждой серии равенств (18) есть величина, известная из начальных данных (17). Поэтому в совокупности формулы (17) и равенства (!8) дают выражения всех искомых величин. Кроме того, из соотношений (! 7) и ( ! 8) легко находятся предельные значения всех производных и„, рг и Я„ в точке (го,О) для каждой из областей, показанных на рис. 4. Рис. 4 Определение 2. Пагронэкееой коордннаглой б называется дифференпируемая функция Р,(г,1), удовлетворяющая уравнению (19) и условию монотонности по г для любого фиксированного 1. В более слабой форме это условие выражается неравенством (20) Уравнения в лагранжевьп координатах. Для одномерных движений газа принимается следующее определение лагранжевой координаты. 5!5. Плоскиа, цилинл~ичвскил и согличкскив волны !43 Из этого определения вьпекаст характерное свойство лагранжевой координаты: она сохраннел1ся в каждой частице газа и отличаст частицы одну от другой.
В частности, если энтропия 5(г, г) удовлетворяет усдовию (20), то ее можно взять в качестве лагранжевой координаты. Очевидно, что во всех случаях энтропия зависит только от лагранжсвой координаты, .с е. справедлив интеграл злтронии В -= Б(б) (21) Лемма 2. 2Тлл производнык любой лагралжевой координаты б(г, Г) слраведливы формулы вида (22) рчз(ч): (1 = г риФ(С) с функцией Щ), олределлеиой задавлен начального раслределения б(г,0) = со(г). (23) Доклзлтнльстно, Дифференцирование уравнения (19) по г дает уравнение длл производной Сг: Рос,. + и,б„= О. В силу этого уравнения и уравнения неразрывности (1) справедливы равен- ства Ро ~г — ( = — иг и — + г — (рп„+ — ри) — г и — = О. à —.6'1 —.-з 6 — ч.! р( р р Отсюда следует, что г р 'с, = р(с), т.
е. первая из формул (22). Вторая формула (22) вытекает из уравнения (19) в силу первой. Если удовлетворяющая содержашемуся в определении 2 условию монотонности функция (23) задана, то известна и ей обратнаа функция г = со '(б). Тогда функция (о дается вытекаюшей из (22) при 1 = 0 формулой ''р(С) = (Со (С)Г (р(СО (С).0)Г СО(СО (С)). где штрихом обозначена производнал функции (23) по г. Лемма 2 показывает, что на данном движении лагранжева координата определена с точностью до замены б на Р(б) с любой монотонной функцией Г.
Если устранить этот произвол путем конкретизации функции р в (22), например, положить чз = 1, то уравнениями (22) функция б(г, г) 144 Глянь !!!. Однпывгиыт. НвустнипвиввикСЯ Лвижн!ня булет определена однозначно (с точностью до нссушественного постоянного слагаемого). В этом случае б(г, !) называется з!асснвай лигранжевай координатой. С другой стороны, сслн лагранжсва координата Цт.!) задана, то при ьз = 1 формулы (22) опредсляют величины (24) р = т™б„, и = — 4!/с,.
Следовательно, прн заданной функции (21) движение газа полностью опре- делено, гак как давление дается уравнеиисм состояния (25) р = У(р ~) Однако построенное по формулам (2 1),(24), (25) движение автоматически удовлетворяет лишь уравнениям нсразрывности и энергии. Требование того, чтобы это движение удовлетворяло также и уравнению импульсов (!), приводит к уравнению относительно функции б(т.1): — — — — — =- т —,1(т "~,.
Я(б)). (26) Для данного уравнения состояния (25) это уравнение является универсальным — оно описывает вссвозьюжныс лагранжсвы координаты, которые можно ввести на каком-нибудь г!вижснии газа. После выполнения дифференциальных операций и ввсдения скорости звука согласно формуле с- = 2р(р, о') уравнение (26) переписывается в следующей форме: ~„'~ти — 2бт64т~ + (Йс — сз)6' -' —,. г б,' = б,'.Ь~' (27) Итак, система уравнений (1) одномерных движений газа сводится к одному квазилинейному дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка (27) для лагранжевой координаты в =- 5(т,1), содержащему произвольное распределение энтропии (21).
Класс точных решений. Лемма 2 имеет также интересное применение для построения одного класса частных решений системы уравнений (1) в случае лалигвропнога газа. Этот класс выделяется прспположснием о линейной зависимости лаграижевой координаты от геометрической координаты г: (28) б(т,1) = а(!) 5 (5. Плоские, цилиндгичвскив и скьвгичьскив волны 145 В силу (28), соотношения (22), в которых для упрощения дальнейших формул сделана замена функции зв =.
1/Щ, дают слсдуюшсс представление скорости н плотности: и= "— гвва'~, р= -г '(((~-) =а в( 'Ф(~), (29) где (з = (в+ 1 и штрихом обозначена производная по Е В политропном газе уравнение состояния дается соотношением (2. 5) и для давления справедлива формула вида р = В(б)рт или, в силу (29), (30) где функция В(с) определяет распределение энтропии по частицам газа. Необходимо заметить, что в силу соотношения (28) для производных по г и С справедлива формула связи д/дС .= ад/дг. Поэтому в результате подстановки выражений (29) в уравнение импульсов (1) оно приводится к следующему: ре — — — а а"С' 'в(5(С), и интегрируется: (31) с константой Вс, которая предполагается нс зависяшей от Е Сравнение формул (30) и (31) показывает, что переменные (1,С) разделяются. Это приводит к соотношениям (32) (33) а = пса где ис — новая константа, возиикаюшая при разделении переменных.
Под- становка (32) в (30) даст окончательное представление давления: (34) Что же касается уравнения (33), то его решение сводится к квадратуре, Если принять в качестве начальных условий значения а(0) = 1, а'(О) = ад, (35) !4б ))<ЛВЛ Ш. ОДН<)МБРНЫГ )Н<КСТЛНОВНВШИГксЯ ДВИЖЕНИЯ то решение можно представить в виде равенства (36) где введена константа бо = ао — Р(э .
1)а,. 1 Формулы (28), (29), (32), (35) и (36) дают семейство частных решений уравнений (1) одномерного движении газа. Решение зависит от одной произвольной функции )))(6) и нескольких произвольных постоянных. При различном выборе констант ао и бо это рсшснис может описывать разлет газа от центра, его схождение к центру или определенного вида пульсации.
Полная классификация получаемых типов движения приведена в [7]. Особый и)ггсрсс представлнет решение, соответствующее выбору <э(О = 6". Оно описывает разлет в вакуум массы газа, в коюрой давление и температура распределены по параболическому закону (с максимумом в центре), а плотнос~ь постоянна по пространству и убывает со временем.
й 1б. Иээнтропические движения с плоскими волнами Изэнтропичсские одномерные движенин газа с плоскими волнами представляют собой одну из простейших моделей иеустаиовившихся движений газа. Она иаиболес богата как конкретными фактами, так и разнообразными до конца решенными задачами. Исторически на этой мололи отрабатывались не только многие понятия и аналитические построении нсстационарной газовой динамики, но также и алгоритмы численного расчета ее основных краевых задач. Условие изэнтропичности, конечно, является сильно ограничительным, так как оно ис позволяет во всей общности рассматривать движения с ударными волнами, в результате прохождении которых по газу энтропия меннстся и, вообще говоря, становится переменной по частицам. Однако и здесь возможно искусственное моделирование сильных разрывов, на которые надо наложить определенные условия устойчивости (см., например, (6)).
Исходные уравнении. В этом параграфе будут рассматриваться только илидкие двиаюелил. Пространственная координата обозначается через т, и принимает значения на всей оси, †< х < +со. Поэтому плоскостью событий месь является вся плоскость )<з(т..г). Исходныс дифференциальные уравнения можно взнть в виде (15.1), где надо положить = О, г = к 4 16. Изэитноничкскив Лвижкпин Г ШЮСКнми ВОЛН*ми 147 и отбросить третье уравнение, которос есть следствие второго ввиду того, что условие Б = Яо = сольц влечет равенство йр =- сэйр с любым дифференцированием и.
Итак, в качестве исходных берутсн уравнения и~ ь ии -~- — 'рн = О; си р, + ир, + ри, — О. где с" = с (р) — /н(Р Яо). Уравнения (1) могут быть преобразованы ко многим равносильным формам, удобным для анализа различных ситуаций. Например, в координатах (4,1), где лагранжсва координата б = 4(т,1) вводится уравнснинми (частный случай (15.22)) для скорости и и удельного объема Ъ' = 1/р легко получается равносильная (1) простейшая сильно иелинейиан (см. (6)) квазилинейная система нз двух уравнений: и~ + (р(г'))4 = О, (4 — ие = О, (2) где функция р()') связана с уравнением состоянии газа р = д((г. 5) формулой р($') = р()г. Яо).
При этом сушественно, что сс производная удовлетворяет условию р'(1г) ( О, так как согласно (2.23) она равна — рзс". Система (2) с условием (3) была предметом многих тонких математических исследований, начало которым положил сше Б. Риман в середине Х1Х столетия. Этн исследовании привели к созданию современной математической теории разрывных решений квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений, особенно сильно продвинутой за последние 30 лет. Инварианты Римана.
Наиболее ценную информацию о поведении решений системы (1) даст сс характеристическая форма, которая может быть получена из (15.2) и (15.4) прн и =- О. В силу условия Б = гопзг здесь исчезают контактные характеристики и остаются только звуковыс. Это не значит, конечно, что исчезают траектории частиц — они сеть в любом движении газа; пропалает лишь свойство траекторий быть возможными лннинми слабого разрыва. Кроме того, условия (15.4) на звуковых характеристиках здесь интегрируются. Действительно, при любом дифференцировании 4 для величины Нр/рс можно написать представление — ',(р=-'1р=( -'1р, рс р /р !48 ГЛЛВА П!. Одномвгнын леус!Ановившинся движения где интеграл нюжна рассматривать как стандартную функцию а скорости звука с.
Итак, с функцией в т(с) =- ~ -а)р О (4) при любом дифференцировании д выполнено равенство г(р =- рейт(г). Если уравнение состонния р — — )" (р. Я) таково, что при Я = Яс интеграл (4) нс сходитсн, то можно заменить нижний предел интегрировании любым фиксированным значением ро ) О. В силу предыдущего равенства соотно- шения (15.4) на звуковых характеристиках принимают вид (б) 21+(и+ а(с)) = О, Р (и — а(с)) = ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
