Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Законченные результаты удается получить лишь для простых волн, описание которых приводится ниже. Отыскание простых воли. Простая волна описывается 5 — 1 = 4 независимыми соотношениями между величинами (3). Путом разрешения таких соотношений можно получить выражения четырех из переменных (3) через одну из них.
Для более симметричной записи получаемых выражений удобно ввссти вспомогательный ларазгетр простой волны т, назначив величины (3) функциями от это~о параметра. Тогда этот параметр и будет играть роль той «лишней» функции, которая опрслеляет дефект инвариантности Б = 1 простой волны. Итак, всякая простая волна описывается следуюшим представлением решения системы (3.1! ): ц — — - ц(п), р = р(о), р =- р(о), Н = Н(ц), (5) где о = о(х,1) — новая неизвестная функция, подлежашая определению вместе с функциями (5). Область пространства Н'(х,г), в которой определена простая волна, покрыта однопарамстричсским семейством гиперповсрхностей о = сопзг, влазь каждой из которых все основныс величины посгоянны.
Эти гиперповерхности называются поверхностна уровня простой волны. Гллвл! 1. Спацилльныа молвли движения глзл -и В результате подстановки представления (5) в систему уравнений (3.! 1), с учетом соотношений вида д!ч и = и'. 17а, з7р = р'~7а, Рп =- и'Ра, щи штрихом обозначены производные по а, эта система примет вид р'Ра + рп' Зуа = О, рп'Ра+ р"~7а =- О, УРа = О. (6) Пять уравнений этой системы содержат четыре производных первого порядка от «лишней» функции а. Их исключение приведет к уравнениям, связываюшим только инвариантные величины и их произволные; это будет часть инвариантной факторсистсмы.
Кроме того, полученные выражения для производных от а должны быть со«честны. Очевидно, что условия совместности породят новыс соотношения между инвариантными величинами и их производными. Эти соотношения составят вторую часть инвариантной факторсистсмы. Что жс касается теперь уже совместных выражений для производных от а, то они образуют дополнительную пассивную (т.е. не порождаюшую каких-либо новых уравнений) систему Р. Всеь этот путь рсализацни представления системы (6) в виде обьсдинсния инвариантной факторсистсмы и пассивной системы Р фактически будст продслан при доказательстве нижеследующей теоремы„дающей описанис основных свойств простых волн. Последнее из уравнений (6) является классифииируюииьц так как приводит к альтернативе; либо У ~ О, и тогда Ра = О, либо У = О.
Если в простой волне Ра = О, то поверхности уровня являются контактными характеристиками. Так как при этом 17а ~ О (иначе получилось бы, что а = сопят тождественно, т. е., со~ласно (5), просто постоянное решение), то из (6) следует, что р' = О или р = сопвп Следовательно, простая волна этого типа представляет собой изобарическое движение (см. З 9).
Теорема 1. Невыропсденная простая возни есть иээ»тропическое безнихревое де»же»ие. Поверх»пот» уров»я такой вох»ы являются звуковм,и»характеристика.ии и предстпелян~т собой ги»ерплоскоип» в Л" (х, !). Доклзлт1!льство. В нсвырождснной простой волне должно быть 5' = О, откуда 5 = сопзп Далее, здесь р' ф О, так как в противном случае из (6) Основные свойства простых волн. Простая волна, в которой Ра = О, будет называться вырожденной, а простая волна, в которой Ра ф О, будет называться и«выра»сданной простой волной. г !3. ПРОстые волны полУчилось бы, что и' = О и р' = О, т, е. постоянное решение. Поэтому в результате векторного умножения второго уравнения (6) на и' получается равенство и' х зуа = О.
(7) Но в силу представления (5) справедливо выражение тоси = — и' х ~7а. Поэтому равенство (7) равносильно гоги = О. Далее, в результате скалярного умножения второго уравнения (б) на т7а и использования первого уравнения (6) получается соотношение р (1га) — р !ча! = О, откуда с учетом равенства ф = сэр', следует уравнение ())а) г - сг(зуа(г = О (8) Сравнение этого уравнения с (6.27) показывает, что гиперповерхностн а = сопят являются звуковыми характеристиками. Далее, в результате скалярного умножения второго уравнения (б) на и' и исключения величины и' .
!7а с помощью первого уравнения (б) получается равенство г~и~~г Тсперь надо заметить, что равенство (7) равносильно соотношению !7а = Йи' (10) с некоторой функцией й = 1(х,т) ф О. Так как 2)а = а! + и 57а, то исключение из первого уравнения (6) величины !7а дает выражение для производной аг! р'а! —— — /с(р'и и'+ р!и'! ). Это выражение, с учетом равенства (9) и того, что с модулем вектора скорости 7 = !и~ верна формула и и' = — Е)', упрощается до следующего: аг — — — )г ~1Л + -Р (11) Из (10) и (!1) следует, что нормаль к каждой данной гиперповерхности а = сопя! имеет одно и то жс направление лля всех ее точек. Поэтому каждая поверхность уровня невырожденной простой волны есть гиперплоскость в В" (х, !).
И Г;гхвл П. Специлльныв модгли движения гхзл 120 Здесь инвариантная факгорсистсма образована уравнениями Ь" = О и (9), а пассивная система Р— уравнениями (10) н (11) для «лишнсй» функции и. Легко проверить, что в силу совокупности этих уравнений исходные уравнсния (О) удовлетворяются тождественно. Параметр простой волны и нахолнтся путем интегрированна системы уравнений (10), (11).
Для этого надо заметить, что лнффсренцированне вдоль любой кривой, лежащей на поверхности уровня о =-. сопяц дает со- отношение Иа = 7а г(х -ь сиг(1 =- О, откуда, в силу (1 0) и (1 1), следует уравнение с постоянными коэффициентами при диффсренциалах Их и Ш. Поэтому оно просто интегрируется в виде х ц — 1~99+-Р)=г, 1 (12) ц= ц(гг,)3), р= р(гз,д). р — - р(и,Д). Я = Я(с«8), (13) где парамстры а и д — «лишнис» искомые функции персменных х,г. Здесь факторсистсма оказывается очень с;южной и исчерпывающему анализу не поддается.
Тем нс менее теория частично инвариантных решений позволяет доказать, что двойные волны общего (в определенном смысле) характера являются изэнтропичсскими решениями (см. (5]). где постоянная интегрирования Р может бьжь произвольной функцией и (впрочем, несущественной, так как сам параметр а определен с однофункциональным произволом). Видно, что (12) есть уравнение однопараметрического семсйства (с параметром а) гипсрплоскостей — поверхностей уровня простой волны.
При заданных функциях ц(гг), Р(гз), р(п) и г (и) уравнение (12) неявным образом определяет параметр как функцию переменных х, 1. В уравнении (12) величины ц, р, р, как функции переменного и, связаны только с уравнением состояния р =- ) (р, 5) при Я = сопле н уравнением (9). Поэтому совокупность всех простых волн зависит от трех произвольных функций одного независимого переменного. Для двойных и тем более тройных волн — решений уравнений газовой динамики (3.11) — такого простого описания не получается. Симметричное параметрическое представлсние двойных волн имеет вид 113.
пгостыг. волны 121 Автомолельные кратные волны. Уместно обратить внимание на специальный случай кратных волн, которые свалятся к инварнантным решениям. Например, если в представлении простых волн 112) положить Е = О и и = ги = О, то в качестве параметра волны можно взять гг = х/й Это приводит к частным инвариантным рсшсниям подмодсли конических движений !2,8".
В общем случае решения, описываемые подмодслью 12,8с, можно рассматривать как тройную волну, которая сама себе подобна в том смысле, что все искомыс величины остаются неизменными при равномерном растяжении пространства й4(х, 1). Для установившихся течений также возможны аналогичные подмодели, в которых все искомыс зависят только от отношений х/г, й/л или х/,/у~ + гз, описывающие стационарные двойные или простые волны. '!акис сами себе подобные решения принято называть аытаиаделвными. Существование таких кратных волн являстся типичным для любых дифференциальных уравнений, допускающих группу С~ равномерных растянсепий всех независимых переменных (аналогично группе (8.8). Этот важный класс кратных волн заслуживает выделения специальным термином.
Определение 2. Решение дифференциальных уравнений, допускаюгцих группу равномерных растяжений пространства независимых переменных, инвариантное относительно этой группы, называется коническим авнтчадельпым решепиап. Данный термин отражает тот факт, что в коническом автомодельном решении все искомыс функции постоянны на лучах, выходящих из фиксированной точки Оцентра). Поэтому характерными областями определения таких решений являются внутренности прямолинейных конусов с общей вершиной в центре. В краевых задачах дополнитсльные данные, определяющие коническое автомодельнос решение, лолжны задаваться на поверхности таких конусов и быть постоянными вдоль образующих. Особенно важно обратное свойство: граничные значения в краевой задаче, заданные на повсрхностях конусов с общсй вершиной и постоянные вдоль образующих, совместимы с предположением о конической автомодельпости искомого решения.
Поэтому краевыс задачи, в которых данные обладают указанными свойствами, называются панически автаиодельпыми задачами. Итак, если задача конически автомодельна, то можно искать ее коническое автомодельное решение. Конечно, вообгнс говоря, ниоткуда не следует, что такое рсшенис существует. Этот вопрос связан с корректностью постановки красной задачи в неограниченной области и должен решаться индивидуально для каждой конкретной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
