Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 24
Текст из файла (страница 24)
с=сз при условии, что б = сс,сс)1 мало. Правильнос описание возмущений гиперзвукового тсчсния получается при следующем представлсни величин (подробности даны в з 27): х=х', р=б(Г'. и=с)з+б и'. и=би', (15) р=бзр: Р=Р: о '.У. В результате подстановки представления (!5) в уравнения (3.11) последние принимают вид б(с)с -1- бзи')и',, + би'и„', + б —,р', = О, Р (с)à —,'- б~и')р', -Ь и'р + р'(бзи + и ) =- О (рц -' бзи')5,', + се5'., = О. Далее делается стандартное предположение: функции и', и', р', р', Бс и их производные по х', у' имеют при фсскеиравассньсх конечных значепнях переменных х', Г)' конечные предельные значения при б О.
Здесь ситуация аналогична случаю околозвуковой модели. В этом предположении в рсзультате сокращения второго уравнения (1б) на б и последующего прслсльного перехода при б — О из (16) получается система уравнений Р с)Г Р', 4 ь'р'„, -Ь Р'т'„, = О, с)ГЬ, + и'Б,'., = О. Послс замены х' = ал( и псреобозначения сй и, 17' — х система (17) в точности совпадает с системой уравнений одномерного движения газа с плоскими волнами. В этом приближении величина и' остается неопределенной; она может быть вычислена в более высоком приближении, например из интеграла Бернулли. 128 Г мнх П.
Спн!илльныь молю~и ЛВижвння ГА3А Теория мелкой волы. Здесь дается вывод приближенных уравнений, описывающих динамику волнового движения идеальной несжимаемой жидкости на поверхности водосма конечной глубины при условии, что толшина слоя жидкости мала по отношению к характерному горизонтальному размеру (например к длине волны). Оказывается, что получаемая модсль чтой задачи, казалось бы нс имсющсй отношения к динамике, в точности совпадаст с уравнениями движения политропного газа с показателем адиабаты т = 2. Возникающая при зтом гндролинамическая аналогия нс только даст замечательный пример единства природы волновых явлений, но может быть полезной и при анализе конкретных лвнжсний.
Исходная задача ставится так; требуя стоя определить потенциальное движение ндсачьной несжимаемой жидкости, на которую действует равномерное поле сил тяжести, в тонком слое над горизонтальным Г! 6(ж!) ровным дном с постоянным давлением на х верхней свободной поверхности (рис. 1), возникающее под действием некоторого парис. 1 чального возмущения. Для простоты будет рассмотрена двумерная задача, хотя все почти дословно справедливо и лля трехмерной задачи. 1!усть Ф = Ф(я, д, !) есть потенциал скорости, д — ускорснис сил тяжести, вектор которых направлен по оси у, дно водоема есть д = О н д =- 6(к,!) — уравнение свободной границы. В области Г) = ( — ос < х < эо., О < д < 6(в,!)) потенциал Ф удовлетворяет уравнению Далласа (18) Ф , + Ф„„ = О и граничному условию ненротекания на дне Ф, (т, О, !) = О: (19) на свободной границе д = 6(я,!) выполняются два условия: кинематичсское 6с Флбх " ~у (20) и динамическое (давление считается равным нулю) Ф, + -"(Ф".- -ь Ф'-,') + ди: О.
(2! ) Кроме того, для Ф и 6 задаются некоторые начальныс значения при 1 = О. Для анализа удобно ввести в рассмотрение значение потенциала на свободной границе тз(т, г) = Ф(я. 6(к, !), !). (22) 14. ПРиБлижениые мОДели 129 х=х'. у=бу', 1=8 '~!', 6=оп', Ф = о И Ф',:р = Ф~ ~р'. (23) Вначале приближенно решается краевая задача в области П. В силу (23) уравнение (18) переходит в уравнение Его рсшение ищется в виде ряда по стспсням 6 Ф'=Фо+б Ф~+..., для членов которого получается рскуррентная систсма Фоу у — — О, Ф~у у + Фоу у — — О,... Решение этой системы с граничным условием (19) имеет вид Фо —: А(х',1'), Ф1 = — — А,, (:г', С')у~,...
и дает представлснис потенциала 2 Функция А находится из граничного условия (22), которое дает А ==- х' + + б-Ф + ... В итоге получается представление решения краевой задачи (с точностью до членов порядка 44) (24) Тогда входящие в уравнения (20) и (21) производные от Ф могут быть выражены через производные от зу и производную Ф,. Последняя жс может трактоваться как значснис опрсдслснного оператора Х над парой ( р, 6), действующего по правилу: в области Й решается смешанная краевая задача для уравнения (18) с граничными условиями (19) и (22), после чего находится Х = Фу ~у4л = Ю( р, 6).
При этом Ж, очевидно, линеен относительно ЗР, но нелинеен относительно )з. Приближенное моделирование этой задачи выполняется путем введения малого параметра д согласно формулам ~зо Гллвл И. Спгпилльныь молили движения ~лзл Уравнения (20) и (2) ) в результате подстановки (23) принимают вид 6',, ч Ф',6',, =- б Ф'„„Ф', ) — (Ф'г - б зФ'„з) г96' =- Ю. (25) Прн обычном прсдположснии о предельных значениях вссх штрихованных величин при б — О из (24) находится прадед ))ш(6 гФ'„,~„,,л,) =- — 6',г'...,. (26) В силу (26) формальный предельный персход Б — ~ О в уравнениях (25) с учетом (24) приводит к уравнениям 6'г ь згт 6', 9 Ь'9гх.г = О ~г ' фх ) й6 = О (27) Наконец, если ввести скорость и' = зг', и продиффсрснцировать второе уравнение по х', то получится система уравнений (штрихи опуШены) 6~ +и6, + 6и, = О, ги ьии —;д6, = О.
(28) Задачи и упражнения к еиаве И 1. Доказать, что изобаричсское движение является безвихревым, если и только если векюр скорости и = совки 2. Показать, что магрипа А определяет изобарнчсское лвиженис с линейным полем скоростей (9д 5), если и только если Аз = О. 3. Показать, что уравнения изэнтропичес кого лвижеиия имеют решения, в которых плотность р зависит толью от времени Г (обобщение изобарических движений).
Установить, что в этом классе решений удельный объем необходимо имее г вил (а,— постояииыс) р =- ас ь с|г ж сгг — сгг г з Это есть система уравнений одномерного с плоскими волнами иззнтропичесюго движения газа (роль пяотности р играет 6) с уравнением состояния р = — д6г. Легко показать, что начальным данным в исходной зада- 2' чс соответствуют некоторые начальные данные для системы (28). Теория волновых движений несжимаемой жидкости, основанная на приближенной модели (28), получила название теорип,невкой воды.
б 14. 11РИБлижеинып МОдш!и 4. Показать, что в установившемся движении политропного авва приввдснная скорость Л = 9/с выражается через число Маха М = 9/с по формуле 5. Пусть при установившемся обтекании тела цолитропным газом давление в точке торможения (9 = 0) имеет значение ро. Вывести формулы б. Выяснить, до каких скоростей полета вблизи земли можно считать воздух несжимаемой жидкостью при определении лавлеиия в критической гочкс с точностью 1'Уя (скорость звука 1200 кьи'ч, 7 = 1, 4).
7. Показать, что установившееся сверхзвуковое течение типа источника возможно со скачком уплотнения, расположенным на любом заданном расстоянии гс ) г,. 8. Вычислить инварианты группы С' с оператором (8.10). Найги представление решения, инвариантною относительно этой группы. 9. Восстановить преобразования, образующие группу С' с оператором б д = ггд, - (тд. + 1рд„+ (х — ги)д„+ (р — ги) д„— 21 рдр — 4 гидр. Показать, что система уравнений плосюпараллельного движения полигропного газа (12.17] допускает эту ~руппу только ирц э = 2.
10. Доказать, что для системы уравнений (12.29) при и > 0 простые волны необходимо являются автомодельиыми решениями, т. е. имеют вид и = и(Л), р = р(Л), р = р(Л), где Л = г/!с точностью до преобразования переноса по 1. ПО Вычислить характеристики системы уравнений стационарных конических движений газа (12.25).
Дать описание класса решений, на которых эта система имеет гиперболический тип. 12. Найти характеристическую форму уравнений акустики (5) в случае одномерных движений с плоскими волнами. Использовать ее лля решения задачи Коши с произвольными начальными данными при 1 = О. 13.
Найти преобразования растяжения, допускаемые уравнением (13) лля потенциала скоростей в околозвуковом приближении. 14. Показать, что уравнения теории мелкой волы на непрерывных решениях равносильны интегральным законам сохранения где à — произвольный замкнутый контур на плоскости Н (.г, Г). г 15. Найти уравнения сильного разрыва в теории мелкой воды исхода из интегральных заюнов сохранения предыдуШей залачи.
ГЛАВА Ш Одномерные неустановившиеся движения Модель одномерного нсустановившегося движения представляет собой одну из наиболее полно изученных газодинамических подмолелей. Исторически начало теоретического изучения движений этого класса восходит к Риману, почти 150 лет тому назад заметившему наиболее важныс особенности явления распространения волн конечной амплитуды.
Это явление сопровождается такими сушествсино нелинейными эффектами, как градиентная катастрофа, образование ударных волн, распад произвольного разрыва и рядом других. Предположение об одномерном характере движения является привлекательным и полезным по ряду причин, Прежде всего, оно приближенно оправдывастся для многих случаев реальных движений газа. Даже если некоторое движение в целом и не одномерно, отдельные его пространственно-временные подобласти часто могут быть описаны в рамках одномерного движения. Таковы движения в трубах, прн взрывах и ударах и т.д. Далее, уравнения и задачи этой модели являются сравнительно доступными для качественного анализа и численно~о расчета благодаря тому, что здесь основные величины зависят лишь от двух независимых переменных. 11рн этом не последнюю роль играет также и возможность прелсльно наглялного изображения различных газодинамических ситуаций на плоскости событий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
