Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2. Область зависимости лля точки М Рис. 2 Теорема 1 допускает различные обобщения. Одно из них заключается в отказе от требования непрерывной дифференцирусмости решения. Ее утверждснис остастся справедливым и для решений, в которых функции и, р, р предполагаются лишь удовлетворяющими условию Липшица. Это дает возможность использовать теорему единственности применительно к движениям со слабыми разрывами. Времени и пространству подобные направления. Другое обобщение, тесно связанное с корректностью постановок краевых задач для системы (1), состоит в рассмотрении случаев совпадения значений двух рсшений нс только на прямых 1 = сопак Можно указать широкий класс таких кривых в плоскости ггз(г, Г), что совпадение двух решений на какой-либо из этих кривых влечет совпадение этих решений в соответствующей области определенности. В следующем опрсдслении характеристики рассматриваются на некотором ланном решении У.
Определение Е Направление 1 в точкс Л7 б гГз(г,1) называется времени подобяызь если ( разделяет направления касательных к характеристикам С.„(ЛГ) и С (И), выходящих из ЛЛ в сторону й > О. Направпение называется просгпранопву подобиььн, если 1 не разделяет (оставляет по одну сторону) направлений касательных к характеристикам Св(ЛТ) н С (Лб), выходящих из Л7 в сторону й > О. Кривая .У называется времени подобной (пространству подобной), если во всех ее точках направление касательной к .У является времени подобным (пространству подобным) (рис. 3). 138 Гллвл Ш. Олномьеныв нгксиоовившиеся движкция Рис. 3 Вьшьсупомянутос обобшснне тсорсмы 1 состоит в следую~нем.
Пусть на решении (г дана просгпранспму подобная кривая .к, и пусть характеристики Св и С, проведенные нз некоторой не лежащей на .~к точки Лт, отсекают на.х лугу АВ, образуя криволинейный треугольник АЛ1В. Тогда, если решение Г определено в АИВ и (Р = (г на АВ, то à — — (г во всем треугольнике АИВ. Уместно отмстить, чго любая прямая 1 = сопзг является пространству подобной и что любая контактная характеристика, не являюшаяся линией вакуума, времени подобна. Теорема сушествования решения задачи Коши, поставленной для системы (1) с начальными данными на гладкой пространству подобной кривой, справедлива (в малом, т.
е. в некоторой окрестности начальной кривой), если начальные данные непрерывно дифферснцнруемы. Слабые разрывы. Характсристическая форма (4) исхолных уравнений удобна для анализа поведения и распространения слабых разрывов вдоль характеристик (теорема б.2). Согласно определению б.4 характеристика С является линией слабого разрыва, если решение всюду непрерывно и по каждую сторону от С (включая саму линию С) непрерывно дифферснцирусмо, но на С некоторыс производные основных величин терпят разрыв первого рода — при переходе через С меняются скачком.
В этих условиях при переходе через С производные по касательному направлению к С меняюгпся непрерывно. Поэтому разрывными могут быть только производные по направлениям, трансверсавьным к С (образуюшим с касательной к С ненулевой угол). Очевидно, что в условиях слабого разрыва на плоскости зтз(г,() для описания скачков производных по любому направлению достаточно знать величину скачка по какому-нибудь одному трансвсрсаяьному направлению. Для уравнений (4), учитывая уравнения характеристик (2), в качестве универсального трансверсального направления можно взять, например, направление оси г (скорости и и с предполагаются конечными). Тогда слабый 915.
Плоския, цилип!1 ичкскиа и севоичкскиа волны 139 разрыв будет полностью описываться величинами разрыва значений произ- водных и„, р„б„. Белес удобно, как это будет видно из дальиейшего, взять равиосильиый этому набору производных набор их комбинаций '+ юр"' 1 ср": 1 (7) Для каждого семейства характеристик выполняются свои условия на слабом разрыве. Для вывода этих условий полезны соотношения между дифференциальными операторами (3) Рч = Ро+сЄР= Ро — сР„, .Рь + Р = 2Ро, Рь — Р = 2сРо, (8) где Р„= д/дг. Ниже используется также символ скачка [Х] = Ь вЂ” Л ддя записи величины разрыва любой функции 7 при переходе через линию слабого разрыва.
В частности, по условию [и] = [р] = [р] = [Я = = [с1 = О. Операция взятия скачка линейка, т.е. для любых непрерывных функций )'(и, р, о) и д(и, р, Б) справедливы формулы вида [(иг + Яр;] = У[иг] + рйэ~.]. (Со) [Я] =О., Х] = О, [Ы', фО; (С,) [Я] ФО, Д =О, [И] =О: (С ) [Д' =О, [Т.] ~О, [И] =О. (9) Транспортные уравиеиия. Итак, иа слабом разрыве для каждого типа характеристик две из комбинаций траисвсрсальиых производных (7) мсияются иепрсрывио. Что же касается той комбинации производных, которая имеет ненулевой скачок, то для исс из уравнений (4) может быть получсио так называемое транслортнов уравнение, которое представляет собой обыкиовсииос дифферепциальиос урависиис, описывающее эволюцию этой всличииы вдоль соответствующей характеристики.
Для величины М Кроме того, необходимо учитывать, что ддя характеристики Со касалюяьпым дигрферепцираванием является Ро, и потому для любой функции 1" (и, р, Я) иа Со будет [Ро г] = О. Для характеристики С касательным дифференцированием является Р+, следовательно, иа Сь всегда [РэЯ = О. Аналогично, иа С всегда [Р у] = О.
С учетом этих замсчаиий и соотношений (8) применение операции взятия скачка к уравнениям (4) даст для каящой из характеристик (2) следующие условия на слабых разрывах: ио ГЛАВА 1П. Олномкрныв нкустАноВИВшиБся лвижриия дифференцирование Р„первого уравнения (4) дает соотношснис РсЛЕ = = — и,ЛЕ, которое, с учетом вытскаюдчсго из (7) равенства 2и, = ЕЕ+ Е, записывается в виде ОЛЕ 2(й+ )М' (10) Это и сеть транспортнос уравнение вдоль характеристики Сс для производной Я„ = ЛЕ. Его принципиальная особенность состоит в том, что коэффициент при ЛЕ в правой части (1О) при переходе через Сс меняется непрерывно, как это следует из (9). Для получения транспортного уравнения величины й вдоль характеристики СА надо применить оператор Р, ко второму уравнению (4), С учетом формулы коммутации РгР.Р = Р Р„Ь Р„(и+ с)Р„ это даст Р.ьзт+Р (и+с) гг+Р, ( —, ).Р р — Р, ( —, ).Р„р = — Р„( —,.Сгг) .
(11) Здесь величины р и с следует рассмагривать как функции термодинамичсских параметров р и Я. Если уравнсние состояния газа взято в виде р =- Е(р, Я), то легко найти, что производные от функций с (р,5) и рс(р, Я) выражаются через функцию Е по формулам (с )„= —, (с )л =,Ер — ' . (рг)д = — — . (12) г Лю 2 Й~ Р~г Е'* р С учетом формул (12), после выражения всех производных по г через величины (7), окончательно транспортнос уравнение для величины ЕЕ вдоль характеристики С.Р приводится к виду ггп пт 2)12) пг - 2Е 22~~ 4 (, 4 4 и Еп и — — (2с-Р пзи)) ЕЕ .
( =РЕ,ЛЕ э — (п~ <-пг)сиМ+ ( 2г — — (2с — гпи) Е, — — ги . (13) и и 4г ,2 где величина гл определена в (2.22) и введены обозначения (14) п1 = , пз = д 14! 415. Плоския, цилнндгичнския и схья ичаскиг. волны Транспортное уравнение для величины Ь выводится аналогично, дифференцированием В, последнего из уравнений (4). Формально оно может быть получено из (! 3) просто заменой с на —. г и Ь на В, а )т на Е: т Ь2 з (т — 2 2п~+ из + — (2г — ти)у! Ь+ ~ — сЯЛ! -(- — (пт Рпз)сиЛ!+ и, ! /пз и 4г,( ( 4 2г + — '(2с -,'- иш)Л вЂ” — си 4г (15) Непосредственно видно, что коэффициенты при степенях Н в правой части уравнения (13) при переходе через характеристику Сь меняются непрерывно.
Поэтому, сели на С~ есть слабый разрыв, то эволюция вдоль С+ комбинации й производных с каждой стороны от С+ описывается одним и тем же уравнением (! 3), но, вообше говоря, с разными начальными данными. В частности, если в некоторой точке слабый разрыв отсутствует, то его нс будет и вдоль всей характеристики С, . Другая важная особенность уравнения (! 3) состоит в том, что оно нелинейно, гочнсс, является уравнением Риккати. Из теории уравнения Риккати известно, что его решение может обращаться в бесконечность на конечном интервале изменения независимого переменного.
Этот факт имеет большое значение для понимания структуры решений уравнений газовой динамики. В более простой ситуации он булет подробно изучен в з 16. Задача о распале слабого разрыва. С помошью уравнений (9) можно решить задачу о риспиде произвольного слабого разрыва. Как задача Коши для системы (1) с начальными данныгии при 1 = 0 и(г,О) —.
ао(г). р(г.О) = ро(г). 5(г. 0) =. Ьо(г) (16) эта задача ставится так, Пусть начальныс данные всюду непрерывно диффсренцирусмы, кроме точки г = го > О, в которой первые производные функций (16) имеют разрыв первого рода. Вдоль характеристик Со, Сч и С, выходяших из точки (го, 0), рсшснис задачи Коши с такими данными (16) будет иметь, вообще говоря, слабый разрыв. Трсбуется определить начальныс значения величин (7), распространяюшиеся вдоль каждой нз трех харак.еристик. Для решения задачи о распаде слабого разрыва удобно ввести показанную на рис. 4 нумерацию областей, на которые характеристики разбивают полуокрсстность точки (го,О), лежашую со стороны ! > О. В каждой из этих областей первые производныс основных величин непрерывны и потому имеют конечные предельные значения, ко~да точка (г.1) стремится 142 1'ллвл Ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
