Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 23
Текст из файла (страница 23)
На практике обычно использустся именно возможность построения решения, которос ищется в надлежащем 122 ГЯАВА 1!. СпециАЛЬНЫЕ ИОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА виде, с последующей проверкой всех граничных условий и, если это возможно, доказательством единственности решения. В важном частном случае уравнений с двумя независимыми переменными, например к и Ги коническое автомодельное решение имеет вил (для любой искомой величины Г) (14) и тем самым постоянно на лучах г = Лй (А = сопвг).
Такое решение изображается на плоскости гьз(х, и) в виде «веера» лучей А = солай разбивающих эту плоскость на ряд угловых областей (плоских конусов), в которых решение г (А) меняется испрерывно (в частности, можст быть постоянным). Эти области примыкают друг к другу вдоль некоторых особых лучей (которые могут быть носителями дополнительных условий, линиями сильного илн слабого разрыва). Следовательно, если граничные значения величин Г заданы и постоянны вдоль некоторых лучей Л = сопз1, то решение такой краевой задачи можно искать в классе конических автомодсльных рсшений вида (14).
При этом для искомых функций Е(А) получится система обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры такого построения для различных «онкретных уравнений и задач газовой динамики рассматриваются в главах П! и Г4. ~ 14. Приближенные модели Предыдущие специальные математические модели газовой динамики давали точные решения исходных уравнений. Здесь будут рассмотрены некоторыс случаи такого упрощения уравнений, которое приводит к приближенным решениям.
Этот метод заслуживает внимания, так как он широко применяется в приложениях прн решении сложных практических задач. Основой приближенного моделирования является глубокое изучение особенностей повсдсния движения газа, направленнос на выяснение определенных закономсрностсй, которые могут быть достаточно просто описаны в аналитнчсской форме.
С точки зрсния исходных уравнсний, эти закономерности принадлежат точным рсшениям, а приблнжснные решения выступают как их упрощенные асимптотическис описания. Общая схема такого подхода состоит в том, что в уравнения и в решение вводится некоторый малый парамегр с, от которого описание рассматриваемой особенности нс зависит, и учитываются порядки малости членов уравнений при б . О. Если в уравнениях возникают слагаемые с различными степенями д, то в каждом уравнении удерживаются только тс из них, которые имеют наинизшую степень малого параметра д.
Это н дает искомые приближснныс уравнения. б 14. Пвиьлижвнныа модели 123 Линеаризация. Пусть известно некоторое основное движение, т.е. точное решение уравнений газовой динамики (3.11): и = ио(х,!), р = ра(х,!), р = ро(х,а), О' = Зо(х,й).
(1) Ищется другое, мало отличающееся от (1), решение вида и = ио + би', р = ро + бр', р = ро -ь бр', Я = ~о + Ю', (2) где штрихом обозначены новые неизвестныс функции (добавки к основ- ному решению или его возмущения) переменных х и й а б — некоторый параметр. При подстановке выражений (2) в уравнения (3,! 1) надо учесть, что оператор Р производной в частице примет внд Р = Ро + би' с(7 Рс = дс + ио т7 и что функции (1) образуют решение системы (3.!! ).
После подстановки и сокрашения на общий множитель б получаются уравнения Рор'+ и' ~ро -ь р'г)!кис+ рос(1ти'-ь би' '(7р+ +бр' г(!т и' с Рои'+и' био — ' „, Чро+ б Ю+ Ро(рс + бр') Ро+ бр' +би' т7и' Рс5 +и' ~5о т си'. ~7У' р = б(У(ро+бр оо ч-бо ) У(ро оо)). =О, (3) =О, =О, Понятно, что указанная процедура является в значительной мере формальной. Математический идеал требует доказательства того, что решение полных уравнений при б О действительно имеет решение приближенных уравнений в качестве главного члена (хотя бы асинпснотичсскн).
На самом деле этот идеал достигается в вссьма редких случаях; обычно исследователи ограничиваются формальным построснисм приближенной модели. Обоснование жс предоставляется физической интуицией, для которой тем самым открывается широкий простор. Ясно, что при этом сильно возрастает роль критерия практики. В этом параграфе метод формального приближенного моделирования иллюстрируется на чстырех примерах. Последний из них (теория мелкой воды) ннтсрессн тем, что вскрывает несколько неожиданную связь между волнами на воде и газодинамическими процессами.
Гллвл В, Сссвцнлльныв молили лвижысия схзл 124 Ясно, что на самом деле возмущения ц'. р' и т.д. должны зависеть не только от переменных х, г, но также и от параметра б. Главная трудность дальнейшего анализа состоит в оправдании следующего предлоложессияс функции и', р'. р'..5' как решения точных уравнений (3), а также входящие в эти уравнения их пронзволныс имеют коне слые лрес)еловые зиичелия приб- О. Если это предположение оправдано, то переход к пределу при Б — О в уравнениях (3) приводит к следующей системе уравнений для возмущений основного движения: )3ор'+ р'с))тпо + ц' тсро+ Рос))тсс' = О 1 Т3оц ';и 37по+ — "7Р + зЧрсс с 1 с Р Ро )Эо5'+ и' Т25о Р = сОР Ь.ГВ 5 (4) по = О Ро" соовс, ро = сопяс, 5о = сопвс. В этом случае Ро = дс.
Пусть ищутся только изэнтропичсскис возмущения, т. е, 5' = О. Тогда система (4) примет вид Р', + Ро с(ст ц' = О, Ропс г тср = О (Р =- соР ). (5) Это — классическая система уравнений акустики (для однородной среды). В частности, нз (5) легко выводится одно уравнение для возмущения давления: Рн = со~Р (6) гле Л, =- 1.(Ро,5о). Описанная процедура вывода уравнений (4) называется линеаризацией исходных уравнений (3.1), так как уравнения (4) являются линейными дифференциальными уравнениями относительно искомых ц', р', Р', 5'. Необходимо иметь в виду, что при рассмотрении краевых задач дополнитсльныс условия также подвергаются аналогичной процедуре линеаризации.
Важный частный случай системы (4) получается тогда, когда в качестве основного движения взято следующее носшояниое решение (покоящийся газ): 9 14. пвивлижкнныв моззвли 125 где Ь вЂ” оператор Лапласа. Волновому уравнению (6) удовлетворяет так- же возмушснис плотности р', а в стччае безвихрсвых возмущений (т.е. когда го! ц' = О) — и вектор возмушсния скорости ц'.
Околозвуковое приближение. Ради простоты рассматривается случай безвихревого установившегося движения, описываемого интегралом Бернулли (11.19) и уравнением для потенциала скоростей (11.20). Около- звуковое приближение предназначено для упрощенного описания течений, возникающих при малых возмушсниях звукового потока, в котором и =. с„и = — ш .= О, с =- с,. (7) Если выполнить изложенную в предыдушем пункте операцию линеаризации с основным движением (7), то легко убедиться в том, что полученная модель оказывается нсудовлетворитсльной. Формально правильное описание возмушсний звукового потока получается, если принять следующие прсдставления координат, потенциала и скорости звука: х=-б я, 9=6;~~. а='б а; ;- = с„к + ез'~ь,р', г = с, -, б с' (8) и=с.-~-е и, и=-е''и.
ш=д их. (10) После подстановки всличнн (10) и выражения для скорости звука (8) в интеграл Бернулли (11.19) последний принимаст вид з -2хз „и~+ба ю- та(824 ~2)- Т(с2, 2 3 „~~+б442)= з Использование разложения по формуле Тейлора !(г~ -1- 9) = !(г.) + (2!п~.)9 ~ 0(г)~) (где т, = гп(р,) сеть всличина (2.22)), справедливого в силу (2.24), и учет соотношения гз и 7(с) = 9- приводят после сокращения на 2Р, к уравнению г.
и' ь (2с,(т.)с' + 0(б ) ... О. (1! ) Теперь делается предположение, аналогичное тому, которое использовалось при линсаризации: функции и', и', и~'. с', как решения соответствующих точных уравнений, а также входящие в эти уравнения производные при любом выборе значения всшественного параметра й. С использованием обозначений (9) для компонснт вектора скорости ц на основании (8) получаются выражения Гллвл О. Спг пихльиыа модели движкиия глзл при фиксировинлых коленных эна гелиях переменных х'.
у', -' имеют конечные предельные значения при б — О. Выделенныс здесь курсивом слова акцентируют внимание на нетривиальности данной ситуаций, так как согласно (8), например, у/х = — б 'у'/х' и при фиксированном отношении у'/х' булет у/х — эо при б О. Качественно это означает, что околозвуковое движение слабо меняется в направлениях, перпендикулярных основному звуковому потоку, и потому для правильного описания этого изменения надо сокращать расстояния (как бы сжимать поток) в этих направлениях так, как предписывают формулы (8) †(1О).
Обоснование этого предположения для одного вида околозвукового течения дано в з 26. В пределе при д . 0 из (1!) получается соотношение (12) гл,„и -'2с = О, заменяющее интеграл Бернулли в околозвуковом приближении. В уравнении для потенциала скоростей (11.20) представления отдельных слагаемых в силу (8), (9) и (10) имеют вид (из — сз)р „+ (шз — с ),р., = — 6~ 'с~(р'„,„, -(- р'..., -1- 0(бв '), 2иих,„в 2ииы„, = 0(ва ь), 2июР„в = 0(вв «).
Следовательно, после лслсиия на бз ь и предельного перехода б — 0 пол»- чается уравнение 2с,(и' - г')'р' — с„"(ри и — ':р',;) == О. Наконец, использование соотношения (12) и равенства и' = у»', приводи это уравнение к окончательному виду (13) г. р лр ' ' т'к'и' Выполненное моделирование показывает, что возмущения звукового потока приближенно описываются леденец)ньен уравнением, а именно квазилинейным уравнением (13). Этот нетривиальный факт делает теорию околозвуковых течений газа очень трудной, но вместе с тем и очень интересной лля математического исследования. Гиперзвуковое приближение.
Рассматриваются сверхзвуковыс, равномерные в бесконечности вверх по потоку плоскопараллельные установившиеся течения газа. Г!усть д~ есть значение скорости в бесконечности и сг— 4 14. !1еиклнжкспсьп:, молили !27 соотвстствующес значение скорости звука. Тсчсссие называегся еилерзвгковым, если число Маха МГ = с!с 7'сс является очень большим (по сравнению с единицей). Ясно, что если в такой поток вносятся относительно малые возмущения, то число Маха М будет большим и во всем потоке. Гиперзвуковое приближение предназначено для описания течений, получаемых относительно малыми возмущениями поступательного течения, в котором (14) и=с)ы и=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
