Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(21) Произведенис рд называется удезьным рисгодозс Говорят о рисширяюи!ейся (сзокаюи!ейск) трубкс тока, если ес плошадь сечения Г растет (убываст) при псрсмещении вдоль линии тока .х в направлении вектора скорости и. Оказывается, что поведенис течения в трубке тока существенно зависит от до- или сверхзвукового характера течения. Это поведение описывается следующим утверждением. называемый расходом вдоль линии тока .х". Предельный переход в (18) с учетом (!9) и (20) даст обьект (5,', Я, р, ц, Г), который и называется (абстрактной) трубкой токи. Он состоит из линии тока Ы с расходом Я и распрсдслснных вдоль нее значений плотности р, скорости й и ллои!иди сечения Г, связанных соотношением Гллвл )!. Опецилльныя мОДьЛИ ДВИжтиня глЗЛ ДОКЛЗЛтбльСтвО. Изменение удсльного расхода рд в зависимости от 9 вдоль линии тока .2' описывается легко выводимым из (8) и (9) соотношенисм д(рд)~до = р(1 — Мз), (22) где использовано обозначение () 7).
В силу (22) дифференцирование соот- ношения (21) приводит к равенству пар са9 — = (М вЂ” 1) —. 9 ' (23) Из (23) вытекает следующая таблица, строки которой дают все возможные сочетания знаков: Мс1, М>1, Мс 1, М>1, с)9 с 0 д9>0 сЩ>0 сзс) с 0 равносильная совокупности всех утверждений о свойствах трубок тока. ° Ударные волны. В установившемся течении поверхность ударной волны необходимо должна быть неподвижной в пространстве зсз(х). Такую «стоячую» ударную волну принято называть скичкон уплотнения. Так как скорость персмещсния скачка уплотнения Р» = О, то теорсма Цсмплена 5.4 для состояния аП » перед скачком и состояния «2» за скачком дает неравенства а1сааа! > с1.
ааз»г! С гз (24) Тем болсс должно быть д) > га. Следовательно, перед скичком уплотнения всегда находится сверхзвуковос течение. Другими словами, скачки уплотнения могут существовать только в сверхзвуковых течениях. При этом течение за скачком может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. Теорелаа 1. В расширяющейся трубке тока дозвуковая скорость убывает, и сверхзвуковая скорость возрастает; в сузкающейся трубке токи, наоборот, дозвуковин скорость возрос»апет.
и сверкзвуковия убываепа. Равносиаьния форлаулировка. при заааедзении г)озвукового теченаая трубки тока рисширяются, а при зииедлении сверхзвукового течения — су»саются; при ускорении дозвукового течения трубки тока сужаются, а при ускорении сверхзвукового течения — расширяются. й 1О. Установившимся движения Следуюшее свойство скачков уплотнения связано с интегралом Бернулли.
Из последнего уравнения (4.9) или, что равносильно, нз уравнений (4.14) и (4.13) следует соотношение —,ц~ ч- е + р)г =- 0 или, с удельной энтальпией 1 = е -ь рГ, [йз + 2([ = О, Сравнение этого соотношения с (7) показывает, что [!а[ = О, т. е. коислганта в интервале Бернулли при переходе через скачок уплотнения меняется непрерывно. В силу (10) это свойство справедливо н для максимальной скорости: [ц )=О.
(25) Для критичсской скорости с. аналогичное свойство, вообше говоря, нсвсрио, так как интеграл (8) зависит также и от энтропии Я, скачок которой всегда отличсн от нуля. Можно заметить, однако, что в случае политроппого газа, в силу прямой связи(13) критической скорости с максимальной, из(25) следует также, что [с.[ = О.
Различают прямые и косые скачки уплотнения. Скачок уплотнения называется лряимяс ссли вектор скорости ортогоналсн поверхности скачка. При персходе через прямой скачок направленис вектора скорости не меняется, линия тока проходит через точку скачка гладко. Скачок уплотнения называется косььи, если вектор скорости образует ненулевой угол с нормалью к поверхности скачка. При переходе через косой скачок вектор скорости скачкообразно меняет свое направление, линия тока в точке скачка имеет излом. Зги эффекты регулируются условием сохранения касательной к поверхности скачка составляющей вектора скорости (4.!5). Более подробно они будут рассмотрены в 825. В заключение следуст отметить, что предположение об изэнтропичности установившегося течения существенных изменений, отличных от уже обсуждавшихся в з 9, не вносит. Наибольшие упрощения получаются в тех случаях (например в задаче обтекания), когда свойство изэнтропичносги дополняется свойством независимости константы в интеграле Бернулли от линии тока.
Установившиеся течения с единой дяя всего потока константой Бернулли иногда называют тоэиергетичегкмии, Свойство нзоэнсргстичности сохраняется при переходе через скачки уплотнения, хотя прн этом изэнтропичность течения может нарушаться.
1ОО ГЯАВА 1!. Спш1нхльныв модили ЛВИЖГНИЯ ГАЗА Преобразование Мунка — Прима. Замечательное свойство симметрии установившихся течений газа состоит в том, что для широкого класса уравнений состояния «с разлсленной плотностью» такис течения эквивалснзны изэнтропичсским. Эти уравнсния состояния задаются заменяющим первое (2.7) соотношенисм (26) р = а(В)Ь(р) с функциями а(Я) > 0 (а'($) < 0) и Ь(р) > 0 (Ь'(р) > 0). Легко проверить, что в рсзультатс преобразования (и, р, р) (иы ры р1) по формулам иг = — ~/а(В)и, р, = р/а($), р1 = р (27) система (4) останется неизменной, а уравнение состояния (26) примет вид р1 = Ь(р1). т.е. давление р1 будет зависеть только от плотности рг.
При этом, в силу (б), линии тока исходного и преобразованного течсннй будут одни и те же. В частности, классу (26) принадлежит и политропный газ (2.5). Кчасс уравнений состояния (26) обнаружили М. Мппк и К. Рта сшс в 1947 г. Преобразование (27) (и даже более общее свойство симметрии) есть следствие того, что система (4) при уравнении состояния (26) допускает бесконечномерную группу преобразований с оператором (28) У = р(х)(п'д„, — 2рдр) где р(х) — любая функция, удовлетворяющая уравнению 77'д = О. В частности, можно взять д = Ф(В, Я) с произвольной функцией Ф, где В сеть левая часть интеграла Бернулли (10), т.е.
В = оз + 7(гз) (сообшсние Ю. А. Чиркунова, 1990 г.). $! 1. Безвихревые движения Здесь обсуждается поведение важной кинематичсской характеристики полл скоростей — его вихря и рассматривается специальная модель движения, когда вихрь раасн нулю. Эта модель заслуживает внимания благодаря сильному упрощснию основных уравнений, особенно в соединении с другими предположениями об изэнтропичности, стационарности и т.д. В«хрен вектора скорости ц называется вектор ш = го1 и. В декартовых координатах х = (т, у, з) и и = (в, и, ю) вихрь может быть записан в форме символического определителя: 1 1 1с готц = (д/дх д/ду д/да и и ш б ! !.
БВЗВихРВВые дВижениЯ где з, .1, )с — орты осей я, д, г, или в компонентах: ьэ =- го! ц = (ю, — и,, и, — ш, и — и„). Движение газа называется безвихревььи, если в этом движении вихрь ьэ равен нулю: готц = О. (2) Условия безвихревого движения. Необходимое условис безвихрсвого характера движения дается слсдукнцим предложением. Лемма 1. При непрерывном безвихревом двилсении нормального газа выполняется соотношение т7р х 173 = О.
Доклзлтедьстно. К уравнению импульсов в форме Громски-Лэмба (3.!9) применяется дифференциальная операция гоц и используются формулы векторного анализа гос(г" а) = г" гога+ з7 г" х а, го!(а х Ь) == (Ь.'7)а — (а. й)Ь+ аг)!РЬ вЂ” Ъйта. В результате для вектора ш = го! и с учетом тождества йт иэ = О получа- ется уравнение (4) Рьэ = (ш з7)ц — ьэйтц+ р з7р х ир. Здесь последнее слагаемое, в силу равенства Зур = сз'(ур + 5~75, пропорционально векторному произведению тур х 17Я. Поэтому, если ьэ = О, то из (4) следует (3). Движение газа, прн котором верно соотношение ~7р х Чр = О, называется баротролньыь Оно характерно тем, что в нем поверхности уровня плотности н давления совпадают. Для нормального газа свойство баротропностн движения равносильно выполнению соотношения (3).
Так как уравнсние (4) справедливо для любых движений газа, то для баротропных движений (4) превращается в уравнение вихря: (б) Рш = (иэ т7)ц — иэг)!ни. Замсчателыю, что это уравнение может быть проингсгрировано вдоль траекторий частиц в )!л(х, !). Если принять обозначения ( !.2) и ввести значение вихря при Г =- О ьэс(хо) = ш(хо, О) 1О2 Глквх 11. спе>зилльаюняаяодели движения глзх то решение дается формулой и~(>со, Г) -' .
! — ) и>с(хс). 1 >гдх > б !хдхо) (б) которая проверяется прямой подстановкой в уравнение (5) с учетом урав- нения (3.4) и формулы Эйлера (3.5) для производной от детерминан- та б = с(с((с>х/с)хс). Этот факт приводит к следующей формулировке усло- вия, при котором движсние является безвихрсвым. Доказательство слелуст из формулы (6). Соотношение (3) всегда справедливо для изэнтропического движсния. Кроме того, оно может быть выполнено в силу специальной геометрии движения газа, когда поверхности уровня плотности и энтропии или давления совпадают (например, в одномерных движениях с плоскими, цилиндрическими или сферическими волнами).
Предположение (2) о бсзвихревом характере движения равносильно факту существования потенциала скоростей р = р(х, $), т. е. такой функции, что (7) Поэтому безвихревос движенис называется также потенциальны.и движе- нием. Необходимо иметь в виду, что равенсгвом (7) потенциал определен лишь с точностью до постоянного слагаемого, которое может зависеть от врсмени (. Интеграл Кон>и-Лагранжа.
Основная особенность модели безвихрсвого изэнтропичсского движения состоит в том, что в ней уравнение импульсов может быть проинте>рировано. Действительно, в силу определения удельной энтальпии (2.!9), при Я =. со>зв! уравнсние первого закона термодинамики (2.1) превращается в соотношение (8) й,о =- рй с любым дифференцированием гй В частности, если взять г( = т7, то бу- дет з>р = рй>' .и с учетом (7) уравнение Громеки-Лэмба (3,19) может быть записано в виде 1 Р> + -9 — з = О. 2 Теорема (Лагранжа).
Если двимсение газа непрерывно и биротрапно и если в некоторьш момент времени в какой-либо частице (в какой-либо ,кассе газа) вихрь равен нулю, то он будет равен нуле в этой частице (в эпи>й массе газа) вг> все моменты времени. 1 Б Безвихгевыв дВиЖЕНИЯ Отсюда и получается интеграл Каши -Лаграннса :р2 -.- — а -~- 2(р) = 6. 1 2 2 (й) где постоянная интегрирования 6 = 6(1) может произвольной функцией времени. Так как потенциал р сам определен лишь с точностью до слагаемого, зависящего от 1, то без нарушения общности можно записывать интеграл Коши .
Лагранжа (9) с правой частью 6 =. О. Очсвидно, что при 5 = сопят н ш = О уравнение (9) равносильно векторному уравнению импульсов (с учетом определения (7)). Поэтому безвихрсвое изэнтропичсское движение газа описывается системой, состоящей из уравнения неразрывности и интеграла Коши-Лагранжа для двух нсизвссгных функций — плотности р и потенциала скоростей у, С учетом равенства (7) и определения оператора Лапласа Л:р = г(1т(17Ф) эти уравнения таковы: рг + Ч:р Чр -~- рЬ| = О, :р,,'- — 11222/~ + ((р) =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
