Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 14
Текст из файла (страница 14)
+ Сх)ес", ч. гу)е то говорят, что (1) долускаеес преобразование С'. Задача описания группового свойства системы (1) состоит в определении всех допускаемых ею преобразований. Эта задача имеет алгоритмическое решение, сводящееся к отысканию аднолараметрических локальных грува Ли Сс преобразований пространства Е. Каждая группа С" задается законом преобразования яб гллвл 1. Млтямм нчгокля МОДКЛЫ лэоВОй диилмики Каждое из преобразований с '. )'з. Гз, с 'о называется пврвпосом (говорят такжс псранслвиивй нли сдвигом), а именно 1 ' — псреиос по х, э з— по р и г.
д. Прсобразования /". уэ, )в называются галсасвевыии переносами, ,гв -- по х и т. д. Преобразования ут, Гв, тв называются в~эащессиями, причем ) г — вращение вокруг оси т, 1~ — вокруг оси р и у' — вокруг оси г. Для краткости здесь они записаны в комплексной форме и для получения формул преобразования каждой координаты надо сравнить дсйстви гсльныс и мннимыс части. Если взять два каких-либо преобразования (5) с разными значениями параметров, например у' с а и э'т с 5 и составить их композицию, то получится некогорое комбинированное преобразование, точнее, двухпарамссрическос семейство прсобразований, также лопускаемых системой (1).
Нсограничснное продолжснис такого комбинирования приводит к группе Ли преобразований пространства У, порожденное преобразованиями (5), Она называется группой /алилв». Общий элемент группы Галилея есть преобразование вида (3). где скалярный параметр а заменен векторным а = (а', .... аю). Поэтолсу группа Галилея является 1О-паралсстричсской группой преобразований и обозначается символом С'о Итак, сисщвма (1) с)осцскаввс группу Галилея С'", порожденную олнопараметрическими группами (5). Для построения общего группового преобразования (общего элемента группы Галилея) достаточно взять каждое из преобразований (5) со своим значением параметра, например 1' - с параметром а,', 2' с параметром аз и т.д., 10' - с параметром а'о, и составить композицию этих десяти преобразований.
В результате получится преобразование вида (3~, но в нем уже параметр а будет векторным параметром а = [а~, а, ..., ащ), Слсдовательно, группа 1'влился является 1О-параметрической группой преобразований н потому обозначастся символом Ссо. Итак, гистлеии (1) донускавпс группу 1алилвя Сю, порожденную однопараметрическими группами (5). Преобразования растяжения. Кроме того, система (1) может попускать ссрвобраэовапия рагпсяэвтищя всех переменных, которые слелуст искать в вилс 1 =ад х =-5х. и =-гпи, р =яр, р =(р. (б) где положигсльныс параметры а, 6, тп.
й, 1 подлежат опредслению. При преобразовании (6) первые нроизводныс преобразуются по простому правилу: каждая производная умножается на частное от деления параметра-множителя функции на параметр-множитель независимой псременной, например: с сп с 1, ии= — и,, р,=-рв, а: ' 5 *''' Ь 8.
Ггю и !овоь гнопг 1во 77 о~куда Ь = алт и 1 = Ьгп-. С учетом этих соотношений второе уравне- ние (!) оказывастся инварнантным без лополнитсльных ограничсний. На- конец, третье уравнение инвариантно, если н ~олька если функция (2) удо- влетворяет функциональному уравнению (7) при любых значениях параметров к и й Ясно, что функция а обшего вила может удовлетворять соотношению (7), только если Ь = ! = 1. В этом случас будет ш = 1 и Ь = а. Поэтому с функцией а общего вида система (1) допускает только одну группу С' растяжений; у ':l'=а1. х'=аж. (8) Добавление к (5) преобразований (8) рас~иаряет группу Галилея до 11-параметрической группы С".
Итак, группа Сы допускается системой уравнений газовой динамики лля любого норл1ального газа. Возможные дальнейшие расширения допускаемой группы связаны с решениями функционального уравнения (7). В частности, ему удовлетворяст при вссх х и ! функция а = 7р с любой постоянной Э. В этом случас из (2) получается сз = чр/р, т, е.
известнос соотношение (2,20) для полнтропного газа. При этом пять параметров а...., ! связаны только прслыдушими двумя соотношениями и, следовательно, три нз ннх своболны, например а. пг. )г. Это ласт сщс лве нсзависимыс от (8) допускаемые группы растяжений: ;ж =аж, и -аи, р: —.ар; 1з / гр =ар р =ар. (9) Теч самым в случае политропного газа допускаемая группа расширяется до 13-параметрической группы Сш. Необходимо учитывать, что в записи (8) и (9) групп С' растяжений групповой параметр меняется в интервалс (О, +ос) и что групповое свойство, вместо соотношений (4), описывается соотношениями 7"(а,1) = а, Грсбованис инвариаптности системы (!! относительно преобразования (б) сводится к сравнению множителей, появляюшнхся в отлсльных слагаемых левой части кажлого уравнсния.
В результате получается система уравнений относительно параметров а, ..., ! и требуется найти ес общее решение. Для первого уравнения (!) эта процсдура даст соотношения 78 Гллвл 1. Млтемлтнчаскля модель глЗОВОЙ Дннлыихи /(/(а, а), 6) = /(о, а(>). Для возвращения к описанию вида (4) лостаточно сделать в (8) и (9) замену параметра а ехра. Замечательно, что для политропного газа с у = б/3 система (1) допускает еще одну группу С', которую трудно вугадать» или найти путем общих рассуждений; для этого надо применить технику группового анализа, изложенную в [5], х' = —, и' = и — а(х — 1и), 1 — а(' 1 — а1' (10) р' = (1 — а1) р, р' = (1 — аФ)ар.
Этот результат справедлив для размерности физического пространства и = 3. Для уравнений вида (1) произвольной размерности и аналогичное преобразование допускается при 7 =- (г> 4 2)/и. В частности, для плоскопараллельных движений оно существует при 7 = 2 и для одномерных движений с плоскими волнами — при г = 3. Максимально широкая группа. Возникает вопрос: нет ли других, не сводящихся к комбинациям перечисленных выше, групп С', допускаемых системой (1)? Оказывается, что нет, приведенными выше преобразованиями групповое свойство уравнений газовой динамики исчерпывается. Теоре>иа 1.
Максил>азьно широкая локальная группа Ли преобразований, допускаел>ая сисп>смой уравнений газовой динамики (1), совпадает с Сы в случае произвольной функции (2), совпадает с С' в случае политропного газа при любая показателе адиабаты з и совпадает с См в случие 7 = б/3 (для трехиерных движений). Доклзлтильство этой тсорсмы можно найти в [5]. Действие на множестве решений.
Групповое свойство вносит в множество всех решений системы (1) алгебраическую структуру, определяемую следующим фактом; под действием любого допускаемого преобразования вида (3) каждое решение системы (1) переходит в некоторое решсние этой жс системы. Другнмн словами, допускаемая группа, например С", действует на множестве решений системы (1). Этот факт позволяет производить новые реп>ения нз уже извссгных.
Алгоритм преобразования решений в решения состоит в следующем. Пусть ц = цо(х,1),, р = ро(х. Г), р -- ро(х.1) есть искоторос решение. Его надо записать с преобразованными (штрихо- выми) персменнымн: ц' =- по(х', б), р' = ро(х', 1'), р' =- ро(х', б), 5 8. Ггупповов свойство сделать подстановку выражений лля штрихованных переменных согласно формулам преобразования вида (3) и затем разрешить полученные соотношения относительно переменных и, р, р. В результате получится набор функций ц = ц,(х,г), р = р,(х,1), р= р,(х,т), которые образуют новое решение, зависящее от параметра а. Например, с помощью галилеева переноса ~4 решение (11) преобразуется в решение и = по(х+ аеА1) — аеп р = ро(х+ аеА1), р = ро(х - ае1й 1), где е1 — орт направления оси т.
Подгруппы и инварианты. Допускаемые группы эффективно используются для построения классов точных (частных) решений. Идея состоит в присоединении к системе (1) дополнительных соотношений, вводимых с помощью инвариантов подгрупп Н С С.
Напомним, что подмножество Н с С называется подгруппой группы С, соли вместс с любыми прсобразованиями у и г', принадлежащими Н, обратное преобразование у ' и композиция 2'о (' также принадлежат Н. Ясно, что любая подгруппа Н группы С, допускаемой системой (1), является группой, допускаемой (1) и что любая группа Н, допускаемая системой (1), необходимо сеть подгруппа наиболее широкой группы С, допускаемой этой системой. Определение 1. Нс тождсствснно постоянная функция У(п) называется илвариаилщи группы Н прсобразованнй вида (3), сели для всех З" Е Н выполняется равенство УУ(")) = (( ) (13) Вообще говоря, группа Н имсст бесконечное множество инвариантов, так как любая функция от инвариантов есть снова инвариант.
Это множество описывается понятием базиса инварнантов. Определение 2. Набор инвариантов,У = ()ы... 1ц) называется базисогл инвариантна группы Н, если функции )ь(а) в совокупности функционально независимы и если любой инвариант К(а) группы Н является функцией от ннвариантов,7п ....,)ч: (14) К(о.) = Е(,11(п),..., ) (о)) . Если ввести координаты вектора о. б г, по:южна а = (а', ..., а') (для системы (1) а = 9), то всегда будет а < ж а условие функциональной нсза- 86 Ганах 1. Мх) кмнтич)текля модкль гнзовой Динамики висимости инвариантов выразится чсрез о х а-матрицу Якоби (доя/доз) равенством ранг (дзь/доз) = 6 (15) Теорема 2.
Базис инвариантна существует для любой группы Нн преобразований конечномгрного пространства У(о). Доклзлтндьствг) можно найти в [5). Инвариантно-групповые решении. Для построения класса решений системы (1) беретсл любая подгруппа Н С С, находится ес базис инвариантов (,7„..., з,) и к системс (Ц добавляются соотношения вида с некоторыми, заранее не фиксированными функциями У)).
В результате диффсренцирования соотношений (!6) по всем независимым переменным 1, х (при этом и, р, р очи) аются функциями от 1, х) получастсядополнитсльная к (!) система дифференциальных уравнений, связываю)цая производные и„и, ..., р., присоединением которой к (1) образуется переопределенная система Е диффсрснциальных уравнсний для искомых и, р, р. Для того чтобы система Е имела решспня, функции Га, в свою очередь, должны удовлетворять нскоторым новым дифференциальным уравнениям (условиям совмсстности уравнений Е), совокупность которых называстся факторсистемой. С яюбым рсшсиисм факгорсистсмы уравнения системы Е совмсстны и, тем самым, имеют рсшсния. Такие решения называются инвариантно-групповыми решениями, нроизведеины.нн группой Н или, коротко, Н-решения.ии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
