Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Сравнение (5) с уравнениями траекторий (1.1) показывает, что линии тока являются траекториями частиц в Л (х). Однако необходимо иметь в виду, что, в отличие от общих движений газа, когда траектории частиц образуют трехпараметрическое семейство кривых, совокупность линий тока установившегося течения является лишь двухпараметрическим семейством.
В силу определения 1 оператор Р' является оператором дифференцирования вдоль линий тока. Это позволяет получить два важнейших интеграла системы уравнений (4). Первый из них есть интеграл энтропии, вытекающий из уравнения Р'$ = О и означающий, что энтропия вдоль линии тока постоянна: $ = $о(~) (6) Величина $о(к') зависит только от линии тока х': для каждой фиксирован- ной линии тока она постоянна, но, вообще говоря, меняется с изменени- ем х'.
у~ -с ~+-17р=ихю 11г1 1 скалярно умножается на вектор скорости ц. В силу (3) и известного свойства векторного произведения это ласт Р -с --Рр — О, Интеграл Бернулли. Второй интеграл есть следствие (6) и уравнения импульсов. Лдя его получения уравнение импульсов в форме Громеки— Лэмба (ЗЛ 9) Гллвл О. Сига!нхльныв модели лвижипия гхэх 92 Но из уравнения первого закона термодинамики (2.1), в котором надо положить П = .Р' и ввести удельную энтальпию 1 = -Ь р~', следуют равенства (гР'р =- 1Р'р.
р где принято во внимание, что Р'5 = О и г' = 1!р. Поэтому прсдыдушес уравнение переписывается в виде Р'(сэ гг 2() = О. Отсюда, аналогично интегралу (б), и следует искомый интеграл 9~ Ч 21 = 2~о(.У), (7) гдс величина зс( ж') зависит только от линии тока Ы. Соотношение (7) называется интегралом Бернулли, Следует иметь в виду, что в общем случае установившегося течения интеграл Бернулли (в отличие от интеграла энтропии) не равносилен дифференциальному уравнению импульсов (н потому не может полностью заменить это уравнсние); он представляет собой лишь необходимое следствие уравнсний энергии и импульсов. Тем не менсе интеграл Бернулли является ключевым для понимания основных закономерностей установившихся течений газа.
Удобно записать интеграл Бернулли в несколько иной форме. Так как в нормальном газе удельная энтальпия дастся формулой (2.14), то можно определить величину 1 з 1.= 2 / — Нр, — / р о (8) 1(гз) — О, (сз — О), 1(сз) оо (р ос). Действительно, в силу (2.24) справедлива формула И(й(с') = 2/т > О. которая отличается от 21 самое большее постоянным слагаемым (зависяшим от Я). Утвсрждается, что (при постоянной 5) величина (8) есть однозначная возрастающая функция от квадрата скорости звука, 1 = /(сз), и такая, что 1 1о.
устхповившигся лвижвния 93 1 > аз+ 2~ — йр = а~ +2а1п ~ — ) — оо (р ос). l а /Рл / р Максимальная и критическая скорости. С функцией (8) интеграл Бернулли записывается в виде -~-1(с ) = 9,„. (10) где д,в = д ( У) есть моксиззичьзю возможная скорость на данной линии тока .У (всегда 9 < 9 ).
Значение 9 = 9 достигается, в силу (9), лишь в состоянии вакуума, когла сг = О и р = О. Определение 2. Критмческой скоростью называется величина с. > О, определяемая как корень уравнсиня с„ + 1(с,) = 9~ . (11) Очевидно, что при любом данном дг уравнение (11) имеет единственный корень сг„так как его левая часть возрастает вместе с сг и принимает, в силу (9), все положительные значения. Для политропного газа эти соотношения сильно упрощаются. Из (2.20) сразу слсдует, что 1(сг) = 2сг/(Ч вЂ” 1), так что интеграл Бернулли имеет вид г+ 2 сг,г Ч, 1 = ю.
а критическая скорость дастся выражением (12) (13) До- и сверхзвуковые течения. Наиболее важные динамические свойства установившихся тсчсиий связаны с различением их по следующему признаку. Определение 3. Установившссся течение газа в области Н с Лз называется дозвуковым, если всюду в Й (14) Дачес, согласно Лемме (2.1) 1 0 при р — О, что равносильно первому соотношению (9). Наконец, из неравенства ~рр > 0 следует, что с некоторым р~ > 0 при р > рз булст сг = 1р > а > О (а = сопя!), откупа Гллвл И, Спвцилльнывмодглн двнжвния глзх оно называется сверхзвуковым, сели всюду в Й (15) Важно заметить, что дозвуковой или сверхзвуковой характер течения можно обнаружить путем сравнения модуля скорости О только с критической скоростью с .
Это следует из того, что если о ~ с, то величина с. всегда лежит внутри интервала (о,г). Действительно, если д < с, то в силу монотонности функции 1(сг) и опрсдсления (11) г + 7( г) < г Т(сг) г + Щ) < сг „ 7(„г) откуда д < с. < с. Если д > с, то все знаки неравенств заменяются на противоположные. Это свойство легко усматривается кз рис. 1, на котором качественно показана зависимость с(!1), определяемая интегралом Бернулли. Установлсннос с помощью интеграла с Бсрнулли различение дозвуковых и сверхзву- ковых течений не является формальным.
На е самом леле оно связано с зависимостью типа системы дифференциальных уравнений (4) от характера установившегося течения, когда это течение рассматривастся не в пространстве событий Л»(х, 1), а лишь в «своем» пространстве Лз(х). Такое рассмотрение оправе. дано постановкой краевых залач стационарРис. 1 ного обтекания или стационарного тсчсния со свободными границами, для которых каждое событис является «вечным». Поэтому вместо характеристик общих уравнений на решениях- установившихся течениях необходимо изучить поведение характеристик самих уравнений (4) в пространстве )1з(х). Характеристики. С этой целью удобно взять исходные уравнения в виде, соответствуюшем матричной записи (3.17), с учетом того, что для установившихся течений отсутствует слагаемое с А', так как (г! = О.
В отличие от общего случая (6.14), нормальные характеристические векторы ищутся в гЧз(х); Тогда характеристическая матрица А(б) снова будет иметь вид (б.15), но с укороченным выражением вспомогательной величины Х, а именно с величиной к' = иб + ог! + их,. 95 9 !О. Устлловишпиься лвижвния Здесь, не нарушая общности анализа, можно считать 6 единичным вектором, !6' = 1. Тогда величина ~' = и 6 будет равна проекции вектора скорости на направление 6. Но вектор 6 совпадает с нормалью и к характеристике С(!), которая па самом деле неподвижна в Лз(х).
Поэтому просто ! —. п.п = и„. Далее, выражение для определителя характеристической матрицы (6. ! 7) здесь будет тем же самым (с заменой у на т') и его корни даются равенствами т' = О или у' = хс. Итак, для уравнений установившегося влечения возможны даа типа характеристик: конлшктные, на которых и„= О, и звуковые, на которых (16) Уравнение и„= О означает, что вектор скорости ортогонален нормали к характеристике, т.
е, являстся касательным к характеристической поверхности. Так как это верно в любой ее точке, то вмссте с каждой точкой Р данной характеристике принадлежит целая линия тока, проходящая через Р. Следоватсльно, всякая контиктния характеристика является веометрическим тестом линии токи, Ураансннс (!6) означает, что ортогональная проекция вектора ц на нормаль п равна (по абсолютной всличинс) скорости звука. Но величина проекции !(7„! вектора и не может быть больше его модуля д = (и .
Поэтому равенство (16) возможно, только ссли выполнено неравенство ((5), т. е. если течение сверхзвуковое. Следовательно, звуковгяе лариктеристики суи!ествуют только в сверхзвуковых течениях. Для ннх всегда ибсолютная вечичина нроекиии вектора скорости на нормаль к хирактеристике ракии скорости звука. В соответствии с опрсдслснием 6.2 эти выводы показывают, что система уравнений установившихся течений является гиперболической, только если течение сверхзвуковое.
На дозвуковых течениях существуют лишь контактные характеристики. Интересно взглянуть на эту ситуацию с точки зрения пространства событий Н (х,я) на примере постоянного решения ц = цо, с = сш которое описывает установившееся течение. На этом решении в Я4(х, !) существует характеристический конус (6.32), внутренность которого (при ! > 19), согласно рассмотрениям 9 7 (см. текст после теоремы 7.3), является областью влиЯниЯ его всРшины Р(хо, Яо).
Здесь хаРактеРистики С(1) С )тл(х) суть сферы, центр которых перемещается со скоростью ло = !цо~, а радиус растет со скоростью со. Поэтому, если 9о ( го, то вершина Р во все моменты времени ! > !о остается внутри сферы С(г) (рис. 2, а). Если же Оо > со, то сферы С(т) не содержат точку Р и огибают прямой круговой ГЛАВА !!. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОЛИЛИ ДВИЖЕНИЯ !'АЗА конус Ко с 17з(х) с вершиной Р н углом раствора 2сх, определяемым из соотношения (рис.
2, б) зшсх = со)с)о. Таким образом, если течение дозвуковое, то его возмущение в точке Р со временем охватит все пространство )сз(х). Если же течение сверхзвуковое, то возмущенно в точке Р локстизуется внутри конуса Ко. Из рис. 2, б непосредственно видно, что проекция вектора по на нормаль к конусу Ко равна скорости звука со. Следовательно, Ко — характеристический конус рассматриваемого сверхзвукового установившегося течения.
б) а) Рис. 2 Определение 4. Величина (17) М = с)/с называется числом Маха. Для дозвуковых течений число Маха М < 1, а для сверхзвуковых тсче- нийМ>1. Трубки тока. Следуюшая особенность установившихся течений связана с понятием трубки токи Этот объекг формируется так. Берется некоторая трубообразная область Т„, образованная линиями тока, проходящими через некоторый «начальный» диск К, малого радиуса г с центром в некоторой точке Р Е )сз, перпендикулярный вектору скорости п(Р). Пусть К— какое-нибудь сечение Т„, н пусть Е -- боковая поверхность отрезка области Т'„, заключенного между К, и К (рис. 3).
Ясно, что Е образована линиями тока, т.е. является контактной характеристикой. Поэтому и и = О ~ 10. Упзановившиеся лвижвиия „а Е и применение интегрального закона сохранения массы (2) к области с границей у = К„+ Е + К дает соотношение Я(Т,.) = ~~рп. пои = ~~ ри.
пп"у, (18) если нормаль п выбраиатак, чтобы было п и > О. Следовательно, входящий в (18) интеграл не зависит от выбора сечения К. Поэтому всличина Я(Т,) называстся расходаи сиза через сечения трубообразной области Т„. Пусть 2' сеть линия тока, проходящая через точку Р, и пусть ссчение К выбрано плоским, перпендикулярным к .х. Площадь сечения диска К, обозначается через и„, а площадь сечения диска К вЂ” через о. Предполагается, что отношение о/сг„имеет конечный предсл (19) !пп и/о; = Г. о Рис. 3 Тогда будет существовать также конечный предел (20) Я = !пп Я(Т,)(с„= рдГ, рцТ вЂ” Я вЂ” сопьс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
