Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Именно, сели выполнены условия согласования только нулевого порядка, то вдоль Г могут быть разрывны первые производные основных величин; если выполнены условия согласования только первого порядка, то псрвые производныс на Г нспрсрывиы, но могут быть разрывны производныс второго порядка и т,д. Если же на с(0) условия согласования нулевого порядка нс выполнены, то непрерывного в замкнутой области решения задачи о поршне нс суще- 4 7.
кРАеВые ЗАДАчи ствует и вместо него реализуется движение с особенностями типа ударных волн и центрированных волн разрежения, Теорема единственности решения в классе Сз (с возможным слабым разрывом на Г) и здесь доказывается с помощью теоремы 2 об оценке разности двух решениИ, которая для задачи о поршне верна дословно. Для проверки этого утверждения достаточно показать, что квадратичная форма (10) неотрицательна на Е. Но ввиду (14) на Е верно равенство И~ .4(Р))$" = 2(а~ + Дц + 7~)6 + бз~рс', н остается заметить, что компоненты сг, )3, г вектора 14' имеют значения а = и' — и, Д = о' — о, З = ю' — ш, Поэтому, если для решения Г на Е верно равенство 7Г' = О, то равна нулю и разность 7Г' — Зг = ая + )Зц + ГЬ на Е.
Задача о поршне является одной из наиболее распространенных краевых задач, встречающихся в приложениях. Например, ее частным случаем является задача о движении газа, формирующемся в результате перемещения в нем твердого тела или системы тел (вообще — твердых непроницаемых границ). При заданном законе движения тела положение его поверхности известно в любой момент времени. Эта поверхность является, таким образом, поверхностью типа гг(г), следовательно, контактная характеристика Е полностью задана.
Задача обтекания. Это частный случай задачи о поршне, выделяемый условием независимости сечения п(1) от времени 1. В этом случае границей является неподвижная непроницаемая поверхность о С Я (х), или, как говорят, обтекаемая потоком газа неподвижная твердая стенка. Если уравнение гг есть 6(х) = О, то граничное условие (14) записывается в виде (15) К задаче обтекания сводится анализ течения, возникающего прн равномерном поступательном движении ограниченного тела в безграничной массе газа, покоящсйся на бесконечности.
Если скорость движения тела равна це, то можно применить преобразование Галилея, перейдя в систему координат, движущуюся со скоростью цо. Тогда, в силу ннвариантности уравнений газовой динамики (см. З 8), система (3.1б) ие изменится, а тело станст неподвижным. Для опредсления движения газа получится задача обтекания данного нсподвижного тела с дополнитсльным условисм (16) 1ип ц(х) = — цс, 1х, 'х> Задача со свободными границами. Контактная характеристика г. называется свободной границей, если на ней заданы значения давления р, 72 1ллвх 1. Млткмхтичкскля модвль газовой Линлмики Такое задание делает смсшаниую задачу Коши переопределенной и для восстановления «равновссияя необходимо одно из условий снять.
С точки зрения описания реальных движений газа естественно считать неизвестной саму гнпсрповерхность Е. Тогда задаюшая се уравнение 6(х.1) =- О функция 6 становится новым искомым элементом задачи. Задачу со свободной границей можно интсрпрстировать как задачу о поршне, форма которого зарансс нс задана, но на нем предписаны значсния давлсния. Наиболее распространенной является такая постановка, когда заданное давлснис постоянно.
В этом случае па искомой гиперповерхиости Х с уравнением 6(х.1) = О должны быть вьшоянены граничные условия )п + и6, ~ и6э + ш)ы = О. р = сопвы (17) Пример такой постановки дает задача о волнах на поверхности водоема. Задачи со свободными границами очень трудны для анализа и к иастояшему времсни, за нсключеписм простсйших случаев, изучены слабо. Звлача Гурса. Сушествует несколько вариантов постановок краевых задач, когда все граничные данные задаются на характеристиках. Такие задачи называются эидачими Гурси. Необходимость анализа задач Гурса возникает в вопросах примыкания решений, получаемых в разных областях с обшей границей.
При постановке какой-либо задачи Гурса сушественно учитывать условия на характеристиках (см. 6 6), которые наклалывают ограничения на задавасмыс значения основных величин. Ниже приводится пример такой постановки. Пусть задана гладкая поверхность по С )гэ(х), расположенная на гиперплоскости 1 = О, и две гиперповерхности Гь и Г, содсржащие (в качестве границы) повсрхиость по и расположенные при 1 > О. На Г«и на Г заданы наборы У~ — — (ив. р~, рэ) и У = (17 . р, р ) значений основных газодинамических величин как функции класса Сз(Гж). 11редполагастся, что со значениями Уе и У гиперповсрхности Г~ и Г являются звуковыми характеристиками, причем разных семейств (см.
э б), и что условия на характеристиках Ги выполнены. Требуется определить рсшеннс в области Й, заключсниой между Г+ н Г Если решение этой задачи Гурса сушсствует н принадлежи~ классу С~(Й), то в области Й необходимо содержится контактная характеристика Е, прохоляшая через поверхность по и дсляшая Й на две части Й+ и Й так, что Й примыкает к Гч, а Й вЂ” к Г . На Е, вообще говоря, образуется слабый разрыв, характер которого зависит от выполнсния условий согласования граничных данных на поверхности ао. Здесь ситуация аналогична той, которая была описана при рассмотрении задачи о поршне.
Если условия согласования нулевого порядка ис выполнены, то решение класса С~ (Й) нс сушсствует; в решении такой задачи Гурса нсобходимо няммяине йй ! Ру!пювоя сВОйст!ю 73 олжны быгь особенности. С условиями согласования нулевого порядка задача Гурса поставлена корректно (в малом по г), причем вдоль В можст иметь мссто разрыв первых производных и т.д. Задачи с особенностями. Если начальиыс данные (1) в задаче Коши нс являются непрерывными, то в сколь угодно малой окрсстности момента ! = О в решении могут появиться особенности, характер и повсдснис которых зависят от структуры функций (!).
Разрывные начальныс данные могут порождать движснис с сильными разрывами -- ударными волнами или контактными разрывами. К этому приводят задачи о взаимодействиях различных движений газа между собой или с внешними телами (например, задача о воздействии ударной волны на твердое тело). Сюда же относятся модельные задачи о последствиях сосредоточенных воздсйствий на газ, когда в некоторых точках, на линиях или поверхностях зада!отея интегральные характеристики движения газа — поток массы (расход), сосредоточенный импульс или мгновенно выделившаяся энергия (например задача о сильном взрыве).
Особенностью является также поведение параметров движсния газа в бссконечно удаленной точке пространства Ггз(х) или при ! -~ оо. При анализе задач с особенностями необходимо опираться на общие закономсрности, опрсделяющис характер движения газа вдали от особснностсй, учитывать области определенности, влияния и зависимости решения.
В таких задачах зачастую бывает полезно обращаться к исходным интегральным законам сохрансния, которыс справедливы без ограничений для всех физически осмысленных движений газа. й 8. Групповое свойство Фундамснтальную основу исслсдования какой-либо физической системы составляют сс свойства инвариантности относительно некоторых преобразований. В частности, в тсрминах инвариантности соозветствующих объектов могут быть выражены основнгле законы природы (однородность и изотропность пространства-врсмени). Вообще.
следуст заметить, что свойства инвариантности используются в приложениях гораздо чащс, чем может показаться на первый взгляд. Пусть, например, некоторый физический процесс однороден во времени; тогда можно искать его сосшояния равновесия На языкс дифференциальных уравнений процесса это означаст, что уравнсния не солсржат явно времени ! (оно участвует только в диффсрснцированиях типа ди/д1; состояние равновесия ие должно зависеть от врсмсни (, и его уравнения получаются из исходных путем приравнивания нулю производных типа ди/М В частности, так определяются стационарныс точки в фазовом пространстве динамических систем.
Теперь надо сделать важный шаг: замети~ь, 74 Гллвн!. Млтвмптичвскяя модель гнзовой диинмики что в этом описании стандартной процелуры содержится элементарный алгебраический факт, состоящий в инвариантиости уравнений относительно группы переносов па времени, т.е. совокупности преобразований 1 — 1-ь а, где а — произвольный вещественный параметр, причем функции, описывающие состояние равновесия, образуют инвариантное решение исходных дифференциальных уравнений. Этот факт можно было бы игнорировать, как тривиальный (что часто и делается), если бы не возникал естественный вопрос: можно ли с помощью какого-то алгоритма распознать групповое свойство заданных дифференциальных уравнений? Ответ оказывается положительным, причем в его обшей форме далеко не тривиальным.
Надлежащее обобщение ряда фактов, аналогичных упомянутому выше, привело к созданию теории группового анализа дифференциальных уравнений, основы которой были заложены более 100 лет тому назад норвежским математиком Софусом Ли. Эта весьма общая и, в известном смысле, законченная теория дает алгоритмы выявления в полном объеме свойства инвариаитности любых дифференциальных уравнений и использование этого свойства для отыскания классов частных решений путем упрощения исходных уравнений за счет понижения размерности (уменьшения числа независимых переменных), Группа Галилея. В данном параграфе описывается групповое свойство инвариантности уравнений газовой динамики; его применение к построению классов частных решений излагается в З 12. Исходные уравнения газовой динамики здесь удобно взять в следующем виде: ос+ и '7п+ -З7Р= О, 1 Р рс + и ~гр+ р йт и = О.
рс т и т7р+ роз сЪ" и = О, где рс рассматривается как заданная функция переменных р, р, а именно: (2) рс =- о(р,р). Групповьсзс свайспсвасс системы (1) называется ес свойство оставаться неизменной (инвариантной) прн некоторых преобразованиях всех участвующих в (1) переменных а .= (Г, к, у, г, и, о. цс, р. Р). рассматриваемых как координаты точки пространства Я = )сэ(а). Если г': Я вЂ” У есть такое преобразование, то образ точки а с г,' дается формулой а' =- г"(а). Если при преобразовании (' система (1) ие меняется, Ь й гэупповоа свойство 75 а = 7'(а,а), (3) где а — вешествеиный параметр, изменяюшийся в некотором интервале гз, содержащем точку а = О, Групповой характер преобразования (3) выража- ется свойствами отображения С С'(о,О) =о, .г'(у(а,а),Ь) =Дша+Ь) ддя любых а, а и Ь и свойством гладвости, например — принадлежности у' классу Сьь. Согласно (4) групповой операцией является композиция преобразований; при этом обратный элемент есть преобразование, обратное к (3), а именно: а = С(а', -а).
В полном объеме решение задачи об определении всех групп С', допускаемых системой (1), изложено в [5), а здесь приводится лишь окончательный результат, который можно проверить непосредственной подстановкой. Группа С' преобразований (3) будет обозначаться символом 0~(С') Система (1) инвариантна относительно следуюших групп С'(7с) (штрихом обозначены координаты преобразованной точки а', переменные, которые явно не написаны, в каждом случае преобразуются тождественно, например: х' = х, р' = р и т, д.); г гз с'3 ).4, уя: у' уе У:у уа уа, )1О С1 =х+а =у+а =г- а и =и+а и' = и+а; = х -~- аС. = у4-аС, = з + аС, си -= ю + а; и'+ (си' = (и+ С,и)еса си' + Си' = (и~ + си)е': и'-~ Си' =- (и+ Си)е"; + С=' = (У +Сх = (г +Су =(л = С -~- а . ч- с )е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
