Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Б 6. ХАРАктеРистики и ш!Авые РлзРывы 51 Ясно, что точки пересечения в 1Н квадранте нет при достаточно боль,иих значениях (и„, — и„,)з и что нижняя грань таких значений определяется прохождением гиперболы через точку (Го.О). Итак, в 1Н квадранте есть решение, если ии ) ~ Р!(1'о — Р'!) (23) б 6. Характеристики и слабые разрывы Уравнения !азовой динамики (3.
16) образуют систему квазилинсйных дифференциальных уравнений первого порядка из пяти уравнений для пяти искомых функций от четырех независимых переменных. Фуидаментальнос свойство этой системы состоит в ес гилербояичпослш и описывается с помощью характеристик. 1! оэтому вначале уместно напомнить ряд общих фактов, связанных с понятием характеристик. Нормальные характеристические векторы; гиперболичность. Рассматривается система из и! квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка для и! искомых функций и = (и'...., и™) от и независимых переменных х = (т"...., т"): Е,':пг! — '," =У! (1=1.....ти). дх' а=1 ь=! глс коэффициенты а'ч и правые части )! являкггся заданными функциями переменных (х. ц).
С помощью квадратных т х гп-матриц А' с элемента- ми а'! (й — номер столбца, ! — номер строки) и обозначсния и, = ди/дх! систему (1) можно записать в матричной форме: и А'и, = )'. ь=! (2) Злесь введен вектор-столбец )' = (!г, ..., г" ) и прслполагается, что кажлая матрица А' умножается на вектор-столбец с элементами (и,',..., и,'") и нет решения в случае нсравснства противоположного знака. В случае (23) указание стороны фронта для движения (! 5) определяет единственное реп!ение, а именно решение, лсжащсе во И квадрантс (если движение (15) находится перса фронтом), или решение в 1Н квадранте (если движение (15) находится за фронтом). В противоположном случае сеть всего одно решение во 1! квадранте, соответствующее расположению движения (15) перед фронтом.
52 Гллвл 1. Ляхтемлтичлюкня модель газовой линлмнки по обычному правилу «строки на столбцы». Пусть б =. (~,, ..., с„) есть вспомогатсльный н-мерный вектор. Системе (1) или (2) сопоставляется се характеристическая матрица » А(Е) --: ~ ~А'с,. 1'=1 Элементы матрицы А(С) даются формулами » Аы(с) .= ~~ аысг (Й,1= 1, ..., т). ~4П (4) Определение 1.
Вектор б называется нормальным характеристическим векторам системы (1) в точкс (х, и), соли (б) г)еС А(б) —.- О; при этом направление (и — 1)-л~срной тшсрнлоскости в пространстве 11н (х), заданной уравнением п С,х' = сопят, называется характеристическин ианраегением для системы (1) в точ- ке (х,п). Уравнение (5) относительно вектора С называется характериг стическюи уравнением.
С нормальным характеристическим вектором б ранг г матрицы А(~) меньше гп Значит между сс сзроками есть линейная зависимость: существует хотя бы один левый собственный векнюр Л, с которым справедливо равенство (б) ЛА(б) =- О . б = т(х+ гг (з1 ~т = О). В обшем случае для данного б опрсделсно векторное подпространство (пространства П ) векторов Л, удовлетворяющих (6), В этих терминах формулируется фундамснтальнос понятис гинербоаичнасти системы (!).
Пусть г1 = (пы...,бт) сеть фиксированный единичный вектор, )т1~ = 1. Тогда Е может быть разложсн на двс составляюшис; по направлению г1 н по направлению, ортогональному г1, т.с. лредставлсн в виде 53 з 6. Хлглктвгистики н олхвыг глзгыпы В результате подстановки этого выражения с!ас Л(б) становится многочле„ом от степени пз с коэффициентами, зависящими от сг, а харктеристическое уравнение принимает вид с)а!А(г)а + о') = 0 (7) Определение 2.
Система (1) называстся гиперболической, если существует такой вектор г), что при любом векторе сг уравнение (7) имеет т вещественных корней (счгпасмых с их кратностью) и сели в пространстве )7г" существует базис из левых собствснных векторов, соответствующих всем этим корням. Систсма (1) называется эллиптичсской, если ни при каком векторе г) уравнение (7) не имеет вещсствснных корней.
Злмлчлнив 1. Скиметрические системы (1), в которых все магркцы Л* симметричны и некоторая линейная «омбииация О,Лс с всшествсниыми йс являссся положительно определенной магрицей, являл»сея гиперболическими. Необходимо учитывать, что для нслинсйных систем вида (1) свойство гиперболичности может зависеть от решения, Пусть набор функций и" = уь(х) (Й = 1,..., гп) образует некоторое решение системы (1). Оно будет кратко называться «решением Ф». На решении Ф точка (х, ц) = (х.
у(х)) определяется точкой х б сс". В соответствии с этим очсаидным образом определяются понятия нормального характеристического вектора, характеристического направления и гиперболичности системы (1) в точке х иа реисеиии Ф. Определение 3. Пусть дано некоторое решение Ф. Гиперповсрхность Г с Я"(х), в каждой точке которой касательная гиперплоскость имеет характеристическое направление на решении Ф, называется характеристической новерхссостью (кратко; характеристикой) системы (1) на решении Ф. Отысканис характеристик основано на том, что гиперповерхность Г с уравнением 6(х) = соггаг является характеристикой на решении Ф, если и ~олька если вектор Е = '76 удовлетворяст характеристическому уравнению (5), т.
а, уравнению с)аС А(~7Ь) = О., (й) в котором сделана подстановка (8). Само по себе уравнение (9) есть дополнительное уравнение с частными производными первого порядка (вообще говоря, нелинейное) относительно одной неизвестной функции 6. Если на каком-нибудь решении Ф вещественные нормальные характеристические векторы существуют для целой области точск х, то уравнанис (9) также гимеет решения 6(х). 54 Глхвх!. Млтгм хтичв! кьл модвш члзовой динамики т / л т т ч=! (10) Оказывается, что это соотношение обладает следующим важным свойством.
'Теорема 1. Если функция 6(х) удовлетворяеп! уравнению (9) на некоторои решении Ф и есчи в (10) положипчь Л = Л( !76), то каждое из выралсений в круглых скобках равенства (10) есть производная от функции и" вдоль некоторой кривой, лежащей на поверхности 6(х) = сопзк Докхзхтидьство. Производная от иь вдоль кривой, заданной параметричсски уравнениями х! = х'(1) (! = 1, ..., и), дастся формуяой » дик х г)х' ди" чй ~ гч! дхч т=! Поэтому достаточно показать, что для каждого фиксированного й кривая1 определяемая системой дифференциальных уравнсний т дх' ч — Л'аы (! = 1,, и) г(1 ч=! и проходящая чрез точку хс, принадлежащую поверхности 6(х) = сопв6, лежит на этой поверхности целиком. Но вдоль такой кривой ч» дх' п т Л У аь! !, -= ~~' Л Аы(576) = О, ,=! ' !=-! ч(6(х) С бх' д6 С" д! ~-; йа дх! т где послсднес равенство выполнено по построению.
Следовательно, вдоль всей этой кривой 6(х) = 6(хо) .= сочти Соотношения (!О), получаемые для некоторой харакгсрнстики 6(х) = сопв! со всевозможными всюорамн Л = Л(хУ6), опредсляемыми из (6), называются усчовилии на характеристике. Зхмвчхииш Если коэффициенты системы (!) ие зависят от серсменных и, то в ирелылуших формулировках можно опустить слова «иа решении Ф»» В этом случае характеристики определяются независима от решения. Условия иа характеристиках. Пусть Л вЂ” (Л',....Л"') сеть левый собственный вектор матрицы А('7!!).
В результате умножения 1-го уравнения (1) на Л! и суммирования по ! получается соотношение ! 6. Ххвхкгг:вис гики и слхвыв гхзгывы Важность факта существования условий на характеристиках обусловлена тем, что в условиях (10) дифференциальные операторы, действующие на каждую из искомых функций и, являются операторами внутреннего дифференцирования на характеристике Г(6(х) = сопьг). Это означает, что результат действия этих опсраторов (круглыс скобки в (10) может быть вычислен, если искомые функции и заданы только на гиперповерхности Г. я Это свойство может быть положено в основу следующего определения понятия характеристик, эквивалентного определению 3. Определение 3'. Гиперповсрхность Г С В"(х) называется харакжернсеикой системы (1) (на решении Ф), если существует такая линейная комбинация уравнений (1), в которой дифференцирования всех искомых функций являются внутренними по отношению к Г.
Задача Коши. Характеристики играют важную роль в качсствснной теории дифференциальных уравнений, в частности, при постановкс, анализе и решении краевых задач. Например, задача Коши для системы (1) ставится так: на некоторой «начальиойв гипсрповсрхностн Г задаются значения искомых функций (данные Коши) и" =- Ф (х) (Й = 1, .,., т; х Е Г), (11) и требуется найти решснис (7) в окрестности Г, принимающее зти значения на Г.
Существование условий на характеристике означает, что данные Коши (1!) нельзя задавать произвольно, сели Г является характеристикой системы (1). Эти данные должны быть связаны соотношениями (10). Кроме того, даже если данные (11) удовлетворяют соотношениям (1О) на характеристике Г, то решение задачи Коши, вообще говоря, не единственно. Действительно, если бы этими данными решение определялось однозначно, то по ним из системы (1) можно было бы найти значения производных по направлению нормали к Г.
Но это невозможно, так как в системе (1) имеется всего пз уравнений и гп — т > 0 из них равносильны уравнениям вида (!О), в которых, согласно теореме 1, содержатся производные от всех иь только вдоль Г. Эти соображения показывают, что задача Коши с данными вида (11) на характеристике являстся нсдоопрсделенной. Слабый разрыв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
