Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(8) Примснительно к конкретным уравнсниям (4), в результате надлежашей специализации функций г и ~р, из (8) получаются слсдуюшие уравнения сильного разрыва в газовой динамике (уравнения Гюгонио): !р(а„— Р„)[ — — О [рп(и„— Р„) — 'рп! == 0 (9) р —,а + е (и„— Р„) ч- ри„= О. Классификации разрывов. Пусть ц, сеть ортогональная составляющая вектора ц, лсжашая в касательной плоскости к поверхности разрыва В(г). Проектирование на эту плоскость второго из уравнений (9) дает соотношение р(и„— Р„)!ц ! = О, (10) которое позволяет дать слслуюшую классификацию сильных разрывов (прелполагается, что р ф О).
Первый тип разрыва: ин =- Р„. В этом случае скорость течения газа в направлении нормали и к В(г) равна скорости перемещения самой поверхности В(г) в том же направлении. Следовательно, через такой разрыв газ не течет. Из (9) следует, что на таком разрыве необходимо (р[ .= 0 н [и„, '= О.
Однако, вообшс говоря, может быть [р! ~ О, !в[ ~ 0 и [ц ' Ф О. Сильный разрыв этого типа называется контакп1ным разрывом. Второй тип разрыва: ив р Р„. В этом случае (ц 1 = О, но, вообше говоря. [ип! Ф О, [р[ ~ О. [р[ ~ О, А эе О, Через такой разрыв газ течет. Сильный разрыв этого типа называется ударной волной. Основное качественное различие двух указанных типов разрывов состоит в том, что контактный разрыв разделяет области, каждая из которых состоит все время из одних и тех жс частиц газа, а ударная волна распространяется по частицам газа.
Ударные волны. Поверхность ударной волны принято также называть 4ронпюм ударной волны. Опрелелеиие 4. Та сторона фронта ударной волны, с которой газ натекает на нее, называется передней стороной (или стороной перед фрон- и'ои) ударной волны. Противоположная сторона фронта называется задней ~~ороной (или стороной за фронтолО ударной волны. 40 Гллвк 1.
Мыемктическкя модель ~кзовой 11инлмики В дальнейшем (если не сделано специальных оговорок) принимается следующее соглашение: нормаль и к фронту ударной волны направлена в переднюю сторону (в область перед фронтом) ударной волны. Пусть индекс «!» отмечает значения газодинамических величин на передней стороне, а индекс «2» — на задней стороне ударной волны. 1!аконец, вводится скорость течения еаза относительно фронта в направлении нормали и: — нл — )-'л В последующих формулах используется также обозначение удельного обьема И = 1/р. После небольших преобразований исходные уравнения сильного разрыва для ударных волн принимают вил (12) ргсг =.
Р~гы г г Рг + Рггг = 1и з Р~ оы (13) ег +РгИг + сг = с~ " Р~(з + 1 г 1 г 2 2 (14) Они выражают соответственно законы сохранения массы, импульса и энергии в ударных волнах. Эти уравнения связаны с изменением вектора скорости в направлении нормали к фронту; кроме ннх еше выполнено уравнение сохранения касательной к фронту составляющей вектора скорости: п„ь = и„,. г Рг Рг Рг с, Р1 Рг — Р г Рг Рг — Рг сг = (16) и получить соотношение (сг — с~) = (Рз Р~)((6 ' ег) (17) Исключение относительных скоростей из (14) с помощью (16) дает 1 ег — ег — — — (Р + р~)Я вЂ” 1г).
(18) Из определения 4 и соглашения о направлении нормали и в сторону перед фронтом следует, что сг < О; в силу (!2) и положительности плотности р также ег < О. Кроме того, из (16) и (18) следует, что все скачки (Р! == Рг -Ры (р( =рг - Рг (е) = ег — е~ имеют один н тот же знак. Из уравнений (12) и (13) можно найти выражения для относительных скоростей Ь 5. Основные свойства главных волн 4! Адиабата Гюгоиио. При исследовании ударных волн ключевым является уравнение (!8), так как оно связывает только термодинамические величины. Более того, в силу уравнения состояния (2.7) верны выражения е1 =- е()гг,рз) и га = е(К,рз), благодаря чему уравнение (!8) определяет термодинамическос состояние (1'з,рз) газа за ударной волной только по термодинамичсскому состоянию ($'ыр1) перед волной.
Определение 5. Функция переменных (У, р) Н = Н(Кр; 'мы рз) = е(г',р) - е(1гы р1) + — ((г — (гз)(р 4- р|) (19) 1 2 называется функцией Гюгонио. Кривая на плоскости !1~((г,р), заданная уравненном Н((': р; ('ы р ) = 0, (20) называетсЯ адиабатой Логолио с центРам ((гы Р ) Иногда вместо термина «адиабата Гюгонио» употребляется синоним «ударная адиабата». С функцией Гюгонио (19) уравнение (! 8) записывается в виде Н(Ьз, рз', Ъз. р1) =- О, Для политропного газа, в силу выражения (2.6), уравнение адиабаты Гюгонио (20) приводится к виду (з -, 1)11 — Ь вЂ” 1)~' (2+1)! - (у -1)(г (21) Этому уравнению соответствует уравнение ударного перехода (!8), запи- санное вместо удельных объемов г', через плотности р;: рз (7 + 1)Р2 (7 1)Р1 (22) И+1)р — (у — 1)р йй.
Осиовные свойства ударных волн Злесь собраны фундаментальные свойства ударного перехода, т. е. изменсния основных величин при переходе через ударную волну. Эти свойства являются общими и верны для любого нормального газа (определение 2.2). Ниже они фиксируются в виде ряда теорем и их следствий. 42 гльвл 1 мктвмлтичвскля модвль глзовой дннкмыкн Форма адиабаты Гюгонио. Вначале устанавливается общая форма адиабаты Гюгонио (4.20) на плоскости гсз(К р). Теорема 1. Для любой точки (1 ы рз) б Я уравнение адиабаты Гкзганиа с центрам (Км р~) может быть записана в виде К = Иг(р) = И (р: ~;,р,) 2дН)ВК = 2еу(Кр) ь р+ р1 > О. Кроме того, поведение функции Н при фиксированном р таково, что Н ьх при К ос н, в силу(2.11), Н - — е(Ъ~,р1) — гК1(р- р1) < О 1 2 при К вЂ” О .
Поэтому для каждого р б (О,ос) существует елинствсннос значение К =- И'(р), при котором Н = О, т.е. справедливо представление адиабаты Гюгонио (1). Гладкость функции И' следует из условия 2' определения 2.2 для нормального газа. Далее, дифференцирование тождества Н(%(р), р: Уы р1 ) = 0 по р даст соотношенис (2си + р т р1) — - (2е + И'(р) — К) = О.
ВИг Вр (2) позволяющее установить знак производной ВИг/др, Первая скобка в (2), как отмечено выше, строго подожительна. Для оцснки второй скобки ис- пользуется неравенство (2.1О,Ь), в силу которого вдоль Н = 0 справедливы соотношения е(К р) — е(Кз,р1) 2ер г И'(р) — (г) = 2е„— 2 ' > р'~ р1 >2( — — — ') =2 >О. / е е — е1 ч ер~ + е1р ( р ° ° ) р(» + р ) Поэтому из (2) следует, что для р б (О,оо) всюду ВИ'/Вр < О.
Следствие 1. Вдаль адиабаты рюген»о сущеспмуют предельные значени» г о — 1(щ 1К(р) > г1 1' = 1(пз И'(р) < 1'м (б) о » Мозкна показать, чта в нариизьнач газе всегда Гс < ос. с трижс)ы непрерывна дифференцируемай функцией И'(р), котора» однозначна определена и является серого убывающей для всех р б (О, ос). Доклзлтндьство. В силу лсгвмы (2.1, с) справедливо неравенство 45.
Основныь свойских тлпеиых во:щ 43 Поведение вблизи центра. Следующие факгы относятся к поведению адиабаты Гюгонио вблизи ее центра. Пусть Я(р) .= а(И'(р), р) — значения энтропии вдоль адиабаты Гюгонно, В послслующих формулах индексом «1» обозначаются значения величин в центре Я. р|), например: 51 = Я(р1 ) н т.п, Теорема 2. Справедливо предельное соотношение 5(р) — $1 111П э .—. Й! > О, „,)э (4) 2е =- — (р+ р1)И" — (И/ — 'е1) (здесь и ниже штрихами обозначены производныс по р).
С другой стороны, сели в уравнснии (2.1) взять производные всех величин по р вдоль адиабаты Гюгонио, то оно примет вид ТЯ' .= е + рИг'. Исключение величины е с помощью предыдущего выражения приводит к соотношению 2Т$' = (р — р1)И" — (И' — Кз). Отсюда следует, что Я', = О.
Дифференцирование (5) дает 2Т'$' 4 2ТЯп = (р — р ) И'", откуда $," = О. Наконец, еще одно дифференцирование приводит к равенству 2Тп5' Ь 4Т'Яп + 2ТЯап = И'и т (р — р1)И'"', нз которого получаеэся, что 2Т~5',и = И',". Для вычисления значений И", и И'эп использУстсЯ тождество У(Иг(Р), 5(Р)) = Р, диффсРенциРованис ко- торого один и лва раза даст уиИп -ь двЯ' = 1, у ~И/'" + 2уивИпЯ'+ у~в5'з + у~И'и -ь у~Яп = О.
и в центре ()гы р1) адиабата Гюгонио илэеет с иээнтропой а(51 ) касание второго порядка. Доклзятнльство. Пусть е(р) = е(И'(р), р). Дифференцирование тождества 1э'(И'(р), р; ) ы р~) = О по р приводит к выражению Гллвл!. Мкттмлтичксккя молвль гмзовой липлмики 44 Иг, == —. 1 и Уии Иг, з Уи (7) где значения правых частей взяты в центре Я, рз). 1епсрь ясно, что фор- мула (4) следует из (6), причем lп == (1/6)Я',". Кроме того, для производных функции У(р), опрсдслснной уравнением у(1г, 51) = р и задающей изэн- тропу а(51) в виле И = И(р), справедливы соотношения уи1,~ 1, у Г~г+у Ип О из которых в силу (7) следует, что И:= Ъ и И',в — — !г,". (8) Следствие 2.
Для удир~ых волн справедливы следующие предельные соотношепия при рз — р1 вдоль идиабаты Гюгониог !Пп = сы !пп ~(пч1 — )'-Зп( = )шф~п2 с 2! — с1 рз Р~ д Рг — Р1 (9) и„„ — и„, !ш рз — р1 Р1сь' Равенства (9) легко получаются с помощью (4) из определения (2.3) и формул (4.16), (4.17). Величину скачка р — р, = [р! в ударной волне называют (абсолютной) силой разрыва.
Предыдущие рсзуяьтагы можно описать, сказав, что скачок энтропии в ударной волне есть величина третьего порядка малости, а скачки плотности и нормальной составляюшсй вектора скорости (а также и внутренней энергии) суть величины псрвого порядка малости по сравнению с силой разрыва, когда последняя стрсгвится к нулю. Второе соотношенис (9) означает, что при этом относительная скорость движения газа по нормали к поверхности ударной волны стреми~ся к скорости звука. Другими словами, ибссконечно слабыеи ударныс волны распространяются по газу со скоростью звука.
Возрастание энтропии. Соотношение (4) показываст, что локально, вблизи центра Я,р~), энтропия Я(р) моно~анно возрастаег с ростом р. Оказывается, что это свойство справедливо и в целом. В силу прсдылушсго в точке ( Ь и р1 ) эти равенства приннмшот вид уи Иг,' = 1, д1 ь И",з+ у~ И'," = О. Итак, получаются следующие выражения для производных: (6) 27'у~~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
