Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Поэтому его характеристики определяются просто как интегральные кривыс системы г(х/гл' = и. Следовательно, контакгныс бихарактеристики совпадают с ~раскториями частиц в Я" (х,(). Для уравнения (25) характеристик Се соответствуюлгис уравнения бихарактеристик имеют вид пх/г(г — - ц + сз76/(з76ч, г(6 /г6 = — ц '76 — с,'576~ (/ =- .С х, р, х). (28) глс символами с нижним индексом 7' обозначены частные производные по указанным аргументам.
Для харакгсристик С в этих уравнениях следует заменить с на — с. При отыскании бихарактсристик путем интегрирования их дифференциальных уравнений следует учитывать, что начальныс данные для 86. ХАРАК!ГРИСТИКИ П СЛЛБЫВ РАЗРЫВЫ системы (28), включаюшие задание начальных значений всех производных 6, должны быть согласованы с исходным уравнением (25) и с условием 6о х) =- согзве. Характеристический коноид. Особый вид характеристической поверхности получается, если образовать геометрическое место всех бихарактсрнстик, выходящих из данной точки Р(хо,го). Чтобы представить совокупность всех таких бихарактеристик, необходимо учесть начальные данные к системе (28): х(ГВ) = хо бз(ГВ) = 6зо О = И х, у, к).
(29) условие согласования (25) в этом случае имеет вид где ио. оо, юо, со — значения известных функций в точке Р. Следовательно, если точка Р фиксирована, то в начальных данных (29) есть всего три свободных параметра, например 6 „, 6 „, 6„,. Однако если задавать искомую характеристическую поверхность уравнением 6(х,г) = О, то функцию 6 достаточно опрслелить с точностью до постоянного множителя. Можно заметить, кроме того, гго замена 6 на а6 (а = сопвг) нс меняет ни уравнений (28), ни условий (30). Это означает, что па самом деле в начальных данных (29) один из трех свободных параметров несуществен. Поэтому в результате решения задачи (28), (29) получится семейство кривых в й, зависящих от двух параметров, например г и а, с уравнениями вида х=Х(1,г,я), у=У(Г,г.з), х=-Я(йг,а). (81) Исключение из этих уравнений параметров (г, з) и дает искомую характеристическую поверхность 6(х,г) =- О.
Полученная этим построением характеристическая поверхность называется харакл~еристическин кокондон с вершиной Р и будет обозначаться символом К(Р). Вблизи точки Р этот коноид имеет вид искривленного конуса с вершиной Р и состои~ нз двух полостей; одна из них, Кч (Р), раскрывается в сторону й > О, а другая, К (Р), — в сгорону о1 < О. В целом форма характеристического коноида зависит от решения и может сильно искажаться вдали от его вершины Р.
В качестве примера легко построить характеристический копоид на Востоялкои решении, когда ц цо = созззг и с = го = сопви В этом случае вторая серия уравнений (28) принимает вид г(6 / зг = О, откуда вдоль бихарактеристик 6:= 6 „= соззяг дяя всех 11 Поэтому первая серия б2 Гллвл Ь Млтвмлтичвскля модель глзовой Линлмнки уравнений (28) интегрируется тривиально и дает в качестве(31) семейство прямых х = хо — (цс — сс~гйоД~Ьс )(à — 2о).
Исключение эрла приводит к уравнению характеристического коноида на постоянном решении /х — хо — по(е — го)Г' = сс(г — го)з. (32) На самом деле (32) есть уравнение харакьчерисшического конуса в пространстве й4(х. С) с вершиной Р(хо, гс). Сечение конуса (32) гипсрплоскостями г = сопят представляет собой сферу в ггз(х), центр которой движется со скоростью пс по прямой х =- хс + пс(2 — 2с), а радиус растет (с ростом С) пропорционально времени и равен со~( — го(. Эта сфера и ~родставляет собой перемсшаюшуюся в тгз(х) характеристику С(г). Можно показать, что конус (32) аппраксимирует вблизи вершины Р характсристичсский коноид К(Р) на любом гладком решсиии уравнений газовой динамики.
Характеристическая форма уравнений газовой динамики. Для определенности получаемых нижс условий на характеристиках уравнений газовой динамики уравнение характеристик Со будет записываться в виде ба(х,г) =- сопвг., а уравнения характеристик Сь — в виле й~(х,г) = =. сопзц На контактной характеристике ((8) ранг матрицы А(б) равен двум. Соотвстствуюшие лсвыс собствсниыс векторы Л =- (Л', Лз, Лз, Л'~, Лз) оказываются такими: Л - (О, О. О., О, 1), и еще два независимых вектора Л и Лз определяются соотношениями бЛ' — гуЛз ~ (Лз = О, Л" = Л' = О.
Вектор Л1 даст в качествс условия на Св уравнение 0Я:- 0 (поэтому характеристики Са и называются «энтропийными»). Два оставшихся условия должны выражать факт коллинеарности вектора (С, 9, с) -- 8'Р о вектору р)Эц+т7р, что может быть записано в виде равенства нулю их векторного произведения. Следоватсльно, условия на контактных характеристиках Со таковьп 2ЭЛ~ = О. ОЯ -. О. »Ь~ х (р0зз+ Чр) = О. (33) Здесь последнее векторное условие на самом деле содержит лишь лва нсзависимых скалярных соотношения. На звуковой характеристике С+ (соотвстствуюшей знаку «минус» в ((9)) ранг матрицы А(б) равен четырем. Соотвстствуюший левый собственный вектор может быть взят в виде л = «, ~, с, — р 'е г~'- с., О).
бЗ 47. Кшевыь злллчи Зто приводит к слелуюшсму условию на звуковых характеристиках С+ .. РЬ + с~З76+~ = О. (34) рс(ь 6" Рц — си76, с)(т и) — ((! ьс6 !Рр — сЧЬ~ т7р) = О. Анапа~ичный вывод для характеристик С дает условия, получаемые ш (34) заменой с на -с; (Зб) РЬ вЂ” с!з76 / = О. рс( чЬ Рп -ь с(з76, :с)гк и) —; (',з76 Рр ч- сТ77с т7р) = О.
Полученная система из восьми (скалярных) дифференциальных уравнсний (ЗЗ), (34) и (35) для восьми искомых функций 6о, 6+, Ь, и, п, ш, р, л вместе с уравнением состояния р = у(р,5), образуегхарактеристическую фарзсу уравнений газовой динамики. с) 7. Краевые задачи Кажлое конкретное движение газа происходит в определенной обстановке, в некотором окружении газового потока другими физическими телами. Эз.а обстановка влияет на движение, формируя дополнитсльиыс условия, которым оно должно быть подчинено.
С точки зрения дифференциальных уравнений это означает наложение соответствующих условий на искомое рсшсние. К таким условиям предъявляется требование, чтобы с ними залача об отыскании конкретного решения была лссслсакзена корресстиас в определенном функциональном пространстве решение задачи должно сушествовать, быть единственным и непрерывно зависеть от лополнительных условий. Особенно широко распросгранен способ задания дополнительных условий ну~ем прелписания значений искомых функций и их производных на некоторых границах, акраяхв той области независимых переменных, в ко~арой желательно определить рсшение. Такие задачи получили название краевых зас)ач. Ниже дасгся краткое описание постановок наиболсс важных красвых задач для уравнений газовой динамики.
Пеобходимо иметь в виду, что в полном объеме корректность большинства таких постановок, несмотря на всю их физическую сстествснностсч к настояшсму времени доказана лишь в очень редких случаях. Задача Коши. Так называется задача. в которой лополпитсльнос условие состоит в задании движения в некоторый начальный момент вре- 64 ! лАйл !. Млгемл1ическля моды!ь Глзоной диплмнки мени 1 = 1о (без ограничения со = 0).
Состояние движения при 1, = О описывается набором функций — начальных течений основных величин п(х, О) = по(х), р(х, 0) — ро(х), р(х, 0) =. ро(х), (1) которые можно считать заданными на вссм пространстве 1ьз(х). Задача Коши называется еще задачей с иачазьныип данными (начальными условиямн). В этих терминах формулируется следующая постановка задачи Коши: найти такое решение уравнсиий газовой динамики, которос при 1 = 0 принимает заданные начальные значения (1). Задачу Коши можно рассматривать в различных функциональных классах, например (в порядке усложнения) в классе Сл аналитических функций, в классе С, бесконечно диффсрснцирусмых функций, в классах Сь (или Нь) функций конечной гладкости, в классе С непрерывных функций, в классе измеримых ограниченнгах функций, наконец, в классах обобщенных функций, Для того чтобы уравнения газовой динамики можно было рассматривать в классе Сл, необходимо нрсдположить, что входящая в термодинамнчсскос уравнснис состояния функция Г"(р, 5) является аналитической.
Кроме того, для простоты формулировки результатов улобно считать значения плотности в начальном условии (! ) ограничсннгвми от нуля положительной константой, а именно: (2) (пб ро(х) =.- ро > О. «ен' При этих условиях к системс (3.14) применима теорема Коиш-Кавпзевской, гарантирующая коррскпюсть постановки задачи Коши в классе аналитических функций. Теорема 1. Дзя любыя апалипптеских данных (1) суи!ествует единственное аналитическое решение систеиы уравнений (3.14), удоачетворяюи!ее ничальпы.и усливали Я. Э~на решение определена в области вида(г' = (х Е й~., !1, < п(х)), гдеп(х) > 0 длялюбагах б Ф, и непрерывна зависит от начальных данных (1) в метрике пространства аналитических функций ДОклзлтй;!ьстпО теоремы Коши-Ковалевской можно найти, например, в (9]. В этой теореме можно заменить пространство Ль любым множеством йу О йз, лишь бы данные (1) были аналнтичны в окрестности И.
Недостатком теоремы 1 является то, что она гарантирует существование решения задачи Коши только, как говорят, в малан по ! в смысле ограничения !р < сз(х). Однако, как выяснится в дальнейшем, та- 5 7. Кшлвык зхдлчи ое ограничснис необходимо присутствует даже при рассмотрении задачи в классе С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
