Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ясно, что это будут не все рсшсния системы (1), они образуют лишь определенный класс решений, характеризуемый тем, что в нем искомые функции связаны инвариангными соотношсииями (16). Тем самым групповое свойство уравнений газовой динамики (1) открываст широкую возможность построения классов то шых частных решений системы (1), гак как допускасмыс сю группы С"- С') имеют бссконечнос множсство подгрупп.
Задачи и упражнения к главе 1 1. Пояс скоросзсй талано формулой и — х/) -)- а (а = соов)). Найти форму и положение прн любом 1зого лвижу~цегося объема, который при Г = 1 является шаром радиуса Н с иенгром х =- хо 18. Гцу<цюпои свой«!п<з 2. Показать, что в непрерывном движении газа справезц<ив интегральный закон сохрансция энтропии движущегося объема — 'Ярди =О. «! 3.
Исходя из абстрактного закона сохранения в форме (4.3), дать строгий вывол балансовых уравнений (!.4). 4. 7(оказать справедливость закона сохранения момента импульса (1.5) для цспрерывных лвижсннй и лля движений с сильным разрывом. 5.
Показать, что в илеальцом газе квалрш скорости звука выражается через внутреннюю энергию е = К(Т) формулой с = НГ(1 + К!Е'(Т)). 6. Показать, что внутренняя энергия е = е (!г, Т) имеет вил й((г, Т) = А((г) ч- нз(Т), сели н только если давление р = р( К Т) со< ь линейная функция температуры Т. 7. Доказать формулу Эйлера (3.5). й. Показы ь, что а лагранжевых координатах (хо, !), введенных согласно (1.!) и (1.2), система уравнсиий газовой динамики (3. ! 1) принимает вид — =О, М' — + — — =О, —, =О, д(рб) ° ди 1 др дд дМ ди <7! д! Рдхо ' д! ' д! д „ с матрицей М вЂ” — дх/дхо, сопряженной матрицей Л!" и б — — <!о! М. 9.
Показать, что скорость перемещения в направлении нормали и поверхности, заданной уравнением Г(х, !) = О, равна Г, О п 37Г' 1О. Пусть функция е = е()7, р) удовпстяоряет неравенсгву ср ( Ь)г (Ь = сопя! лля всех р и 17 < (го. Показать, что вдоль адиабаты 1ююнио будет йп 1' = г= 1', . ) О. 11. Показать, что скорость перемещения ударной жц<ны Г7„строго монотонно возрастас< вместе с силой разрыва [р], причем ГЗ -> оо при (р! ос. 12. Пусть Н< — адиабата Гю<'ецио с центром ('ты р<), и пусть точка (Гн рэ) б Пь Выяснить взаимное расположение кривой 77< адиабаты Я = Яз, хорлы с концами ((гз, р<) и (Из, рз) и адиабаты Гюгонио Нз с центром ((гз, рз). 13. Выяснить, ко<па постигается большая плогпостзк при сжатии одной ударной волной, повышающей лавлснис от р< ло рз, или при послсловатсльном сжатии лвумя уларными волнами, если в первой давление повышается от рз ло рз ( рз.
а во второй — о'< рз з!о 7зз. 88 Гллвл !. мл!Вмлтичгскля мали.!ь глзоВОЙ диилмики 14. Показать, что в случае слабой уларпой волны справедлива оценка (предполагается, что О„> итч ) х —. )г(у) и=, ! =ю=О, Р= —, а=по, 1 !' где ас = сопя( н Г(у) — произвольная функция, даю! точное решение уравнений газовой динамики (3 ! !). Найти обшнй внл решения, получаема!о нз данного преобразованиями группы С~, порожденной преобразованиями (В.Б) (в и (8.8) 3 ".
21. Показать, что система уравнений (8. 1) в случае иовитроиноп! газа попускает преобразование (8. 10) талька при з =- аг!3. и, 1- с! -1- н з + аз — 213„-. 0(у! ). 15. Проверить, что в уравнениях (6.33)-(6.35) характеристической формы уравнений газовой линамнки искомые функции и, р,,у дифференцируются только в касательном направлении к соответствующей характеристике. 16. Пусть начальные значения при ! = О некоторого непрерывного решения уравнений пдоскопараллельного движения (12.7) (см.
пример 12.2) постоянны в квадрате (!х) ( 1, !!7! ( 1). В пространстве событий )1~(х, у, !) найти область, в которой решение постоянно. 17. Для уравнений цлоскопараллельного движения (!2.17) (см. пример !2.2) построить характеристические поверхности Сь ца решении и = О, с = со (покой), проходящие через кривую, образованную яучами (х = — 1, О ( у < аа), (О ~( х < аа, у = — 1) и дугой окружности (хз '- уз = 1, х ( (О, у ( О). 18. Показать, что величины Лтр и г)!т и при псрсхоле через слабый контактный разрыв меняются нспрерь!вно, 19. Непосредственной подстановкой (заменой переменных) провепит!ь что скс!сма уравнений (8.!) доцускае! каждое из преобразований (В.а) г' -7 а. 20. Проверить, что функции ГЛАВА 11 Специальные модели движения газа Основные проблемы теоретического исследования движений газа связаны с отысканием решений полученной в главе 1 системы дифференциальных уравнений с условиями на сильных разрывах и дололнитсльнымн начальными и граничными условиями.
Большие математические трудности, возникающие на пути решения таких проблем вследствие сложности самой мололи движения, вынуждают к поиску более простых моделей, для которых можно было бы продвину~ь исследование дальше, чем в общем случае. Не будет преувеличением, сели сказать, что соврсменный прогресс в решении многих проблем газовой динамики достигнут благодаря успсшному использованию упрощенных постановок ее задач. В данной главе намечаются методы построения и приводится некоторый список таких упрощенных моделсй и, коротко говоря, лойиоделей. Всякос двнжснис газа нсразрывно связано с идущим в нем термодинамическим процессом.
При этом возможны такие ситуации, когда этот процесс является однопараметричсским. Отсюда возникают тсрмодинамическис лодмодсли, срсди которых наиболее важной н часто эксплуатируемой является модель изэнтропичсского движсния. Далее, большое место в газовой динамике занимаст тсория установившихся тсчсний (в том числе безвихревых). В этой подмодели пространство событий отходит на второй план, каждое событие является «вечным», застывшим во времени.
В пространстве течения процесс утрачивает, вообще говоря, свойство детерминированности, что влечет целый ряд новых эффектов. К ним относится, например, переход через скорость звука и связанное с ним изменение типа основных дифференциальных уравнений. Очевидно, что упомянутые выше и многие другие случаи подмоделирования сводятся к выделению и описанию тех или иных классов точных решений уравнений газовой динамики.
При этом естественна постановка вопроса о наиболее широком раскрытии возможностей, предоставляемых лля этой цели самой исходной моделью. Здесь решающим является ее групповое свойство, возможности которого иллюстрируются многочисленными примерами классов инвариантных и частично инвариантных решений. В газовой динамике, особенно при решении конкретных практических задач, широко используются также различные методы приближенного под- 1лхвл!1. Спвцилльныг мольти лвижнння Глзл моделирования.
Здесь характерно сочетание предваритсльного физического анализа (учитывающего экспериментальные данные) с надлежащим формально-математическим ввслением малого параметра и последующим предельным персходом. Конечно, приведенный в этой главе список упрощенных моделсй далеко не исчерпывает всех случаев точного и тем болсе приближенного полмоделирования уравнсний и задач газовой динамики. Цслылавы — дать общее прсдставлснис о богатстве множества конкрстньгх подмоделей и о некоторых основах и методах их построения. В 9.
Термодинамические модели Вынесенное в заголовок названис специального класса математических моделей газовой динамики означает„что в таких моделях делаются дополнительные предположения о характере тсрмодинамичсского процесса в газе. В простейшей формс они сводятся к условию постоянства в рассматриваемом движении какой-либо из тсрмодинамичсских величин. Эти предположения в лсйствительности обычно выполняются приближснно, в зависимости от конкретных условий движения газа. Использование таких предположений на практике требует каждый раз тщательного анализа и экспериментального подтверждения. Привлекательной стороной примснения различных тсрмодннамичсских моделей является то, что в них обычно достигается определенное упрощение описания движения газа и облегчается получение результирующих аналитических формул и выполнсние численных расчстов.
Здесь в сжатой формс рассматриваются некоторые из таких моделей с целью показать основные особснпости в получаемых уравнениях движения газа. Изэнтропическое движение. Движснис газа называется изэнтролическии, если в этом движении энтропия 5 тождественно постоянна Я = соцвг. Основание для изучения изэнтропичсских движений дает следующий, уже отмсченный в ЧЗ факт; энтропия сохранястся в частице газа.
Поэтому, если в некоторой массс газа в какой-то момент времени распределение энтропии по частицам газа было постояннылц то оно будет постоянным в этой массе газа и в последующее время. Конечно, это утверждение безоговорочно справедливо лишь для нспрсрывных движений. Если же по массе газа пройдет ударная волна, то, согласно выводам З5, энтропия в ней изменится и может стать уже нс постоянной по частицам. В случае ударных волн малой интенсивности можно, однако, принимать З9. Тсемодипамнчгскнв молгти ~~ойство сохранения энтропии приближенно, учитывая, что скачок энтропии есть величина третьего порядка малости по сравнению с силой разрыва (теорема 5.2).
В случае изэнтропичсского движения уравнение Р — — О выпадает из системы дифференциальных уравнсннй (3.! 1). Кроче того, при этом будет чр = сз»р согласно опрсдслснию 2.3. Поэтому дифференциальные уравнения изэнтропических движений газа принимают вил Рр + р г))т ц = О. РРц+ с~чр = О, (2) гле с = сз(р) рассматривается как заданная функция. Модель изэнтропического движения особенно проста для политропного газа, в котором в силу (2.5) и (2.18) справедливо соотношение г(с 7 г г(Р с 2 Р позволяюшее исключить плотность р из системы (2). В результате получа- ются уравнения изэнтропнчсского движения политропного газа Рс+ сйтц = О, т-! (4) Рц+ сакс = О, 2 где з — показатель аднабаты.
Уместно отметить, что в ряде работ по газовой динамике встречается термин «баротропный газ», Обычно под этим подразумевается, что давление р является однозначной функцией плотности р, и пишется «уравнение состояния» вида р =- Д(р). Однако необходимо помнить, что уравнснис р = =- ) (р) отражает нс свойство газа как физической среды, а лишь свойство лвижения газа, при котором такая связь давления с плотностью реализуется. Но эта связь и есть следствие предположения об изэнгропичности исследуемого движения газа, который в других условиях вполнс может проявлять и те свойства, которые связаны с изменением энтропии (напрнмер при прохождении сильных ударных волн). При решении задач об нзэнтропичсском движении газа с относительно слабыми ударными волнами, когда изменением энтропии в ударных волнах прснсбрегается, уравнения ударного персхода (4,12) и (4.13) остаются прежними, а вмссто уравнения адиабаты Гюгонио (4.14) или (4.18) к ним Лобавляется уравнение адиабаты Пуассона Ь' = Яо = сонат.
последнее при ГЛАВА П. СпециАльные модели движения ГАЗА записи исходного уравнения состояния в виде р = у(р,5) равносильно уравнениям Рз =1(Р»БВ), Рг = ЙРг бо). (5) При этом необходимо допускать только такие ударные переходы, для которых скачки давления и плотности положительны, т.е. (еслн (рз,рз)— состояние перед волной) (р) = р, — р, > О, (Р, = Р, — Р, > О. хотя здесь эти неравенства уже не следуют из закона возрастания энтропии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
