Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Извтермическве движение. Движение газа называется изоягерягическим, если в этом движении температура Т тождественно постоянна Т = сопзг. Если рассматривать давление как термодииамическую функцию от температуры и энтропии, то для изотермнческого движения р = р(Я), в силу чего давление должно сохраняться в частице.
Тем же свойством должна обладать и плотность р. При этих предположениях из (3.11) получится система уравнений 23р = О, сйчп = О, РТ)ц-ь остер = О (6) (где сг = сг(р)), которая оказывается переопределенной. В ней имеется пять скалярных уравнений для четырех искомых функций и, в, ш, р.
Хотя эта система и не противоречива, ее общее решение до настоащего времени не получено, Использование модели изотермического движения можно связать с возможностью сохранения температуры за счет подвода (отвода) некоторой энергии к каждой частице газа извне, например за счет действия какого-либо излучения (см,, например, 16]). Конечно, в получаемой модели энтропия в частице сохраняться ис будет и уравнение энергии должно принять другой вид, связанный с учетом механизма внешнего притока энергии.
Обычно, однако, уравнение энергии отбрасывастся и предполагается просто, что давление есть однозначная функция плотности, р = 2(р), как это имело бы место при условии Т = сопят без учета подвода энергии. При этом соглашении дифференциальные ~равнения снова приводятся к (2), однако с другим характером связи сг = с (Р). Например, для идеального газа согласно (2.3) получается, что давлсннс просто пропорционально плотности, откуда слсдуст постоянство скорости звука: (7) с = сопзц 87 1 9.
Тегмодннамическив модели условие (7) можно рассматривать как предположение, эквивалентное изотермическому характеру движения газа. В этом случае связь давления с плотностью имеет вид р=с р. (8) где постоянная с называется иэотержпческой скоростью звука. Система основных дифференциальных уравнений здесь снова имеет вид (2), но с постоянным коэффициентом сз. Что же касается условий на ударной волне, то в них также отбрасывается уравнение адиабаты Гюгонио, которое заменяется вытекающим из (7) и (3) уравнением изотермы (9) Рз г2 Р! г! 3десь возможен также учет изменения изотермической скорости звука при переходе через ударную волну, но тогда скачок (с! = сз — с! должен либо бмть задан непосредственно, либо определяться нз других соображений (например нз точных уравнений ударного перехода). Изобарическое движение.
Движение газа называется изобарическкм, если в этом движении давление р тождественно постоянно: (10) о = сопят. Для нормального газа в таком движении должно быть р = р(5) (заданная функция) и потому плотность должна сохраняться в частице. Следовательно, система дифференциальных уравнений изобарического движения имеет вид РР = О, .0и = О, г(19 и = О.
(П) Таким образом, в изобарическом движении все газодинамические величины сохраняются в частицах и потому полностью определяются их распределениями в некоторый момент времени, например при ! = О. Для описания таких движений удобно ввести лагранжевы координаты с = (с, !), !,) как значения координат частиц газа в момента = О. Тогда решение первых двух уравнений (11) дается равенствами р = р((), и = п(8). (12) В силу (12) каждая частица Е движется по своей траектории с постоянной скоростью, и потому ее траектория есть прямая линия х = б + п(с)й (13) Однако получасмое этим путем полс скоростей должно удовлетворять еще и послсднему уравнению (11).
Нссложнос вычисление показывает, что это 88 П(лвл!(. Спвцилльныв модвли лвижл(~ия глзл уравнение будет выполнено, если и только если входящие в (12) компоненты вектора скорости и = (и, и, ю) удовлетворяют системе уравнений ит+ и„+ 1аг =- О. ис ич ис ие~ еч н< О + ~+ ие ив ше шс ~ ш„иц ! и< и„ис ~ ие ьл иг = О. ыс и~„1аг (14) р = р(() В настоящее время барохронныс движения также достаточно хорошо изу- чены (16).
Июхорическоедвиженне. Движение газа называется изохорическнл(, если в этом движении (шотность р тождественно постоянна: (16) р = сопви Предположенис (16) в лнфференциальных уравнениях законов сохранения массы и импульса (3.11) приводит к системс уравнений движения идеальной неожи.иаеиой,жидкосжн (17) Жч п = О, рРи -(- ~7р = О. При изохоричсском движении нормального газа должно быть, кроме того, Рр = ГяРЯ = О, т.
е. давление должно сохраняться в частице. Добавление к (17) уравнения Рр = 0 приводит к системе уравнений изотсрмического движения газа (6). Тем нс менее модель несжимаемой жидкости можно использовать для приближенного описания движений газа. Зта модель должна быть хороша Это означаст, что изобарическое движение возможно только при некотором спсциальном начальном распределении скоростей. Уравнения (14) интегрируются; их общее решение зависит от трех произвольных функций двух независимых переменных.
Выделение класса изобаричсских решений уравнений газовой динамики полезно, такие решения часто встречаются при изучении других классов подмоделей. Примером служат решения с линейным полем скоростсй и = Аб с постоянной матрицей А. Сущсственным обобщением изобаричсских являются барохронные движения газа, выделяемые зависимостью давления только от времени: ! О. Устлновившиася двнжация в тех случаях, когда малые изменения плотности вызывают коночные изменения давления.
Так как Вр = сзВр, то это означает, что величина Вр мала по сравнению с величиной роз. В частности, для политропного газа из соотношений (2.20) вытекают равенства РР 1РР Вр роз 7 Р Р Поэтому движение несжимаемой жидкости можно трактовать как предельное для движения политропного газа, когда 7 — оо. Если исходныс уравнения взяты в форме (3.14), то и для произвольного нормального газа модель (17) формально получается как предельная при условии, что Рр/роз О. Уместно заметип, что если при этом не предполагать р = сола(, то останется еще уравнение Рр = О, С этим дополнительным уравнением система (! 7) описывает движснис неоднородной несжимаемой жидкости. На практике приближение, связанное с использованием модели идеальной несжимаемой жидкости, широко применяется в аэрогидромсханике, например при решении задач обтекания тел стационарным потоком.
Здесь применимость обсуждаемой модели опрслсляется малостью величины отношения скорости потока к скорости звука по сравнснню с единицей. Для ориентира можно напомнить, что скорость звука в воздухс (при нормальных условиях) с - 340 мlс, а в воде с — 1500 мlс. й 10. Установившиеся движения Движение газа называется устаиовившцися (или стационарньии), если основные величины нс зависят от времени: ц~:= О, р, = О, рг = О, Яс = О, (1) и являются, таким образом, функциями только точки х пространства Лз(х).
В литературе принято называть установившиеся движения также установившимися (стационарными) »1ечелилми газа. Этот термин хорошо отражает свойство неизменности во времени, «вечности» таких движений и будет также использоваться в дальнейшем изложении. Модель установившегося течсния систематически используется при решении конкрстных задач благодаря тому, что она приближенно описывает широкий класс реальных движений газа. Типичным примером приближенно ГЛАВА 11.
Спяциьлаиме модьли даижвнил ГАЗА 90 рп ° пдт = О, э~(рп+ рп(п п))сну = О, р+ р — оз+ и. пдт = О. (2) Дифференциальные уравнения гладких установившихся течсний могут быть взяты в прежней форме, например (3.1!), но с заменой оператора производной в частице (3.3) «укорочснным» оператором )3 = и 17 = и —, -~ и —, + ю —. д,д,д дх ду дх' (8) установившегося течения газа является движение, реализуемое при истечении газовой струи из большого сосуда через относительно малое отверстие.
Установившееся течение получается в пределе, когда размеры сосуда бесконечны и параметры газа в нем (на бесконечности) фиксированы, а процесс истечения ллится неограниченно долго. Другой важный пример дает равномерно-поступательное движение твердого тела в безграничном, покоящемся на бесконечности газе. Возникающее при этом неустановившееся движение газа сводится к установившемуся с помощью преобразования Галилея (см. 9 8) так, как это описано в з 7 (см. «Задача обтекания»).
В системе координат, движущейся вместе с телом, последнее неподвижно. Равномерный на бесконечности и имеющий там заданную скорость поток газа обтекает это неподвижное тело и, в силу неизменности граничного условия на теле, может рассматриваться как установившееся течение. Исходные уравнения. Установившиеся движения естественно рассматривать безотносительно к времени, только на пространстве течения Лз(х). Оказывается, что при этом их уравнения приобретают особые свойства, которые необходимо учитывать при постановке и решении краевых задач.
Описанию и анализу специфики уравнений установившихся течений н посвящено последующее изложение. При записи различных соотношений в декартовых координатах будут, как всегда, использоваться представления х = (х, у, х) и ц = (и, ю, щ). Исходные интегральные законы сохранения, взятые в балансовой форме (1.4), принимают вид уравнений нулевых суммарных потоков массы, импульса и энергии через границу 3 любой области ы С Яз(х): а 1О, устАнОВиВшиеся дВижения 91 Следовательно, система дифференциальных уравнений установивжщхся те- чений такова: Рр-ьрб(тц=О, рР'ц -1- 7р = О, Р'$= О, (4) Линии тока.
Специфика кинематики установившегося течения отражается следующим фундаментальным понятием. Определение 1. Линии в пространстве Вз(х), определенные как интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений (б) и(х,р,я) о(х,у,г) ю(х,р,л)' называются линиями тока установившегося течения с вектором скорости ц = (и, о, ю). В дальнейшем линии тока обозначаются символом Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
