Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Это обстоятельство вызывает принципиальные трудности доказательства разрешимости задачи Коши в целом по!, которые для уравнений газовой динамики до настоящего времсии не преодолены. В кяассах функций конечной гладкости справедлив аналог теоремы 1, утверждающий корректность постановки задачи Коши в малом по й для приложений этих результатов к конкретным задачам особенно важно свойство единственности решения.
Оно позволяет выяснить существенные структурные особенности движений газа. Теорема об опенке решения. Пусть (7 = (и, щ пл р, 5) сеть неко- торос решение системы (3.16), определенное прн 1 > О. Рассматривается ограниченная область П гб Гт4, граница которой состоит из трехмерной области шо, лежащей в гипсрплоскости ! =- О, и из расположенной при 1 > О кусочно-гладкой гипсрповерхностн Г, имеющей общую границу с областью ша. Пусп, б = (6. 71, ~, т) есть вектор внешней нормали к Г. Утверждение о единственности решения Г7 в области П тесно связано со свойством гнперболичности системы (3.!6), которое проявляется в следующем наиболес сущесзвенном дополнительном предположении: в каждой то«кс гипсрповерхностн Г выполнено нсравенство (3) Требуемая для доказательства единственное~и решения оценка связана с рассмотрением сечений ш(1) области й гиперплоскостями ! = сопл! > О (не путать с движущимся объемом!) и с введением для любой заданной на Й вектор-функции И" = (И',) ее Ьз-нормы ,'1Иг:1!! по таким сечениям, а именно: кр) где 1И'!з = 3,'И з(х,з).
В обозначении нормы ',!И7„11! явно указывает- 1 ся на ее зависимость от времени 1; как функция переменного 1 эта норма определена при 1 > О. Следующая теорема формулирует основной результат в виде сравнительной оценки разности двух решений.
Как и в теореме 1, здесь для простоты прсдполагастся, что плотность р отграничсна от нуля пояожительной константой (на самом деле, для решений класса С~ достаточно потребовать выполнения этого условия прн 7 = 0), т, с. что (6) Ы р(х,я) = р~ > О. бб ГТАВА 1, МАТЕМАТИЧескАЯ Модвль глэовой динАМИКи ,)И;й) < й))И;О)) «> О). (б) ДОКАзАтедьстиО. Для сокрашения записи удобно ввести символический индекс 7, принимающий значения 1, л, у, г, и матричный дифференциальный оператор (здесь н ниже д~ — — д/дг и т, д.) А д = А)д = А'д, + А*д + А"д„+ А'д„ с которым система (3.16) или (3,17) переписывается в виде одного уравнения А((7) д(7 = О.
В результате вычитания этого уравнения из ему аналогичного для с)' = сг+ Иг получается уравнение вида А(В) дИ' = В'Иг (7) с матрицей В', определенной соотношением В'Иг = (А(У) — А((г+ Иг)) д(Г'. Уравнение (7) умножается скалярно на вектор 2ИТ, и его левая часть пре- образуется согласно тождеству 2И (А д,и) =д,(И А И)-2И (д,А И), справедливому благодаря симметричности всех матриц Аз. Получается соотношение д (И' А'И') = И' ВИ; где  — — 2В' — 2д,АЗ. Это соотнощсние интегрируется по области йм остающейся после отсечения от области й гипсрплоскостью 1 = сопя), той се части, которая лежит выше этой гипсрплоскости. Примснснис теоремы Гаусса-Остроградского к интегралу в левой части полученного соотношения приводит к равенству ЯВ'-А'1уш — Як-А'ю ~ -Щв цсие'= О) ~)с) гр) = / Я и ели к.
(8) О О) Теорема 2. Если решение (7 с Сз(й) и область й удовлетворяют условиям (8) и (5), то для любого другого решения (7' й С) (й) найдется Ионстанта )с > О, с которой для разности Иг = (р — (1 справедлива оценка $7. Кгяввые злдлчи 67 где Г(1) — часть гнперповерхности Г, зактюченная между гиперплоскостя- ми 1 = солят и г = О.
Злесь А(б) = гА'+(А*+ОА" +~А* есть матрица (6.15), введенная при вычислении характеристик системы (3.16). Утверждается, что в силу условия (3) подынтегральная квадратичная форма Иг А(6) И' неотрицательна, т. е. что И' А(б)Иг/г ) 0 для любого вектора Иг = (а, )3, у, б, е). Действительно, вычисление дает И/ ' А(б) И' = РХ(оз+73з + 7з)"- (10) +2(а~+ 13п+ т()6+ бхбз+ хез, где Х = г+ и( + оз)+ ш~. Но всегда (неравенство Коши) с+за+к —,/и+ит7 Л'+7 'с и' Аси'/,~( т~+~'+с'(, ~гни+ г — с'+рРз~ ° . Далее, утвсрясаастся, что с некоторыми по:южитсльными константа- ми И, пз, М равномерно по области й справсдливы неравенства ЛУ~14~2 > Иг.
АЙИ/ > гп~и/~2 ~иг . ВИ/~ ( Х~ИГ, (11) т!!И',1!з < ЛХ(~И':О('~ + Ю / ~(И':1"' г(С', с (12) Здссь первыс два справедливы в силу ограниченности (ввиду условия (5)) и положительной определенности матрицы А', а последнее — в силу того, что элементы матрицы В равномерно ограиичсны па () (ввиду свойств нормального газа и принадлежности решений (7 и (7' классу С~(й)). Теперь видно, что благодаря неравенствам (9) и (11) из (8) слсдуст неравенство (с учетом обозначения (4)) 68 ! ллВА !.
ьллгкчактичаскля модель глзоеои!1иаглмики справедливое лля любого 1 б (О, Т), где Т = зцрй Если положить са то ()2) перепишется в равносильной форме (13) тр'(!) < а!Гу'(0) т Лсзз(!). Для решения этого диффсрснциального неравенства вводится функция ф(!) = р(!) ехр(-ндссспа), с которой оно принимаст вид Ф (с) < — ~р (0) ехр ( — —,) Л1 с с тдга и интегрируется с начальным условием ф(0) = О: ф(!) < ~~1 (О) 1 — схр следовательно, л!ар(т) < ла(чл'(0)(сх!а(!аз!/гаа) — 1), откуда видно, что правая часть в (!3) удовлетворяет неравенству Лс(~р'(0) + Л!иа(!) < Л!ф(0) сх!э(!ач/т).
Наконец так как ю'(1) = !)И': !)!з н сл(0) = ~~И'10)1а, то (6) следует иа(!3) с константой й = (Л1,ст) с ехр(Тач)2т). Единственность реп!ения задачи Коши. Из этой теоремы вытскаст ряд важных фактов. Прежде вссго, надо заметить, что соли дано рсшснис сг класса Са(! > О), то для фиксированной области шт в пространстве асз(х) сущсствуст бесконечное множество областей с «основанисм» шо типа той обо!асти П, которая рассматривается в теореме 2, т.
е. таких, что на их границе Г' выполнено неравенство (3). Пусть а)(аао) есгь объединение всех таких областсй. Справеллива следующая теор«на едиасственностас рсшсния задачи Коши. Теорема 3. Если равенство ба = сс вьшолнено на шо нри е =- О, то это равенство верна в любой точке (х. !) Е Й(иао). 4 7. Кшавыг: элдлчи 69 доклзлтш1ьство следует непосредственно из (6). Тем самым единственность решения залачи Коши для системы (3.16) установлена в классе Сь Область Й(ьэо) называется областью олределеллосми решения задачи Коши начальными данными на ыо.
Можно показать, что сели граница Г(гво) области 11(ыо) является гладкой гипсрповсрхностью (класса Сг), то на ией (3) выполнено со знаком равенства, т. с. она есть характеристика системы (3.16) на решении Г В частности, сели лля некоторой точки Р .= (х. 1), гдс г > 0 существует характеристический коноид К.. (Р), направленный в сторону г(1 ( 0 (см. 96) и пересекающий гиперп:юскость 1 = О по области шш то этот коноид совпадаст с областью Й(шо), В этом случае область шо =- шо(Р) называется обзасшью зависимости точки Р. Этот термин понимается в том смысле, что значсние решения У(Р) определяется только сто начальными значсниями на области оо(Р) и не зависит от значений начальных данных вне этой области (для решений класса Сз).
С другой стороны, если при 1:= О взято некоторое множество Ио и в каждой точке Ра б Ыо построен характеристический коноид К~(Ро), направлсниый в сторону М > О, то объединение К(Мо) всех таких (открытых) коноидов будет таким, что значение решения в каждой точке Р Е К(Л(о) необходимо зависит от значений начальных данных на множестве Л1о. Поэтому К(Ыо) называется областью вяияння множества ЛХо.
В частности, область влияния точки Ро сеть коноид К~(Ра). Существование конечных областсй определенности, областсй зависимости и областей влияния открывает возможность предсказывать во многих задачах газовой динамики качсственный характер лвижсния без его детального построения или расчета. Обобщения задачи Коши. Начальные данные, т е. значения всех искомых функций, можно задавать нс только на гипсрплоскости 1 = сопзб Если носителем начальных значений является некоторая гипсрповерхность Е, то говорят о постановке обюей эпдпчи Коши. Корректность такой краевой задачи можно гарантировать в том случае, когла 7. всюду лространсглву подобна, т.е. когда на Е выполняется строгое нсравснство вида(3). Если жс некоторые бихарактеристики лежат в гипсрповсрхносзн Е или даже только касаются ес, то общая задача Коши может быть некорректной.
В каждом конкретном случае этот вопрос требует дополнитсльного исследования. В смешанной эш)пче Коши наряду с начальными данными (например при 1 = 0) залаются граничные условия на некоторой времени подобной гипсрповсрхности 7ч примыкающей к гипсрплоскости 1 = О. При задании дополнитсльных данных на Е необходимо принимать во внимание расположенис а, не только относительно звуковых бихарактеристик, но также и 70 Гллвл 1. Мхтвмлтичвскхя модаль глзовой динамики относительно контактных бихарактеристик, т.с.
траекторий частиц. В общем случае вопрос о корректности постановки таких задач довольно сложен и во многом до настоящего времени остается открытым. Один из важных частных случаев рассматривается ниже Задача о поршне. Так называется специальная смешанная задача Коши, когда гиперповерхность Е является контактной характеристикой, т. е.
когда всюду на Е выполнено равенство т = 0 или (14) г -ь ис - ит1 + шь = О, где с = (с, г7, ь, т) — вектор нормали к е. В этом случае через е газ не течет. Совокупность сечений гг(т) гиперповерхности Е гиперплоскостями $ = сопле можно интерпретировать как движущуюся в пространстве В~(х) непроницаемую поверхность, которая оттесняет газ, расположенный от нее с одной стороны.
Следовательно, т(т) действует на газ, как кпоршень», форма которого меняется со временем. Задача о поршне поставлена корректно, в частности, она разрешима в классах функций конечной гладкости (в малом по 1) при выполнении некоторых условий согласования начальных данных с формой гиперповерхности Е вблизи поверхности т(0), по которой Е пересекается с гиперплоскостью 1 = О.
Эти условия связаны с тем, что область определенности решения начальз ными данными при г = 0 в задаче о поршне всегда отделена от Е звуковой характеристикой Г, проходящей через с(0) (рис. 1). Условия согласования нулевого порядка состоят в равенстве значений скорости п),Ю> и скорости перемещения поверхности Е в точках с(0) в направлении вектора и( 1с1. Условия согласования первого порядка состоят, сверх того, в равенстве первых производных от этих скоростей (дифферсицировать надо только вдоль Е) и т.д. При этом характеристика Г будет, вообще говоря, поверхностью слабого разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
