Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 8
Текст из файла (страница 8)
! 5. Основныв свойствл тллтплх всвм 45 Теорема 3. Вдоль адиабаты Гюгвниа всюду Я (!3) ) 0 (р т= р~). (10) г)Н = гЫ+ -(Ъ' 1 2 К)г)р+ — (р ч- р~)в(Ъ' = да+ ргЛг, 1 2 где послелнсс равенство выполнено в силу уравнения И = !г~ + Й(р — р~) прямой 1. Сравнсние этого выражсния с уравнением (2.!), в котором диф- ференциалы взяты вдоль прямой 1, привалит к соотношению Тг)5 =- г)Н, (11) справедливому, в частности, вдоль 1ш. Функция Н на прямой 1ш обрашается а нуль в точках (Иор,) и ()гз.рз).
По теореме Рояля в интсрвалс (ры рз) найдется точка рз, в которой сКН = О. Но тогда из (! 1) получится, что дЯ(рз) = О. Так как рз зь р, то последнее равенство противоречит лемме 2.3. Следствие 3. Адиабата Гюгании звездна относительно своего центра. Это означает, что каждый луч, выходящий из иенигра Я, р~), либо Доклзят!с!ьство. В силу теоремы 2 неравенство (!0) выполнено в окрестности точки рп !1усть Ь"'(рз) = 0 в нскоторой точке рз ~ р,. Тогда определена прямая 1ш на плоскости йз(Кр), прохоляшая чсрез точки Я, рз) и (!'ш рз), где )гз = И'(рз). В силу теоремы ! прямая 1ш является прямой типа 1, причем ее угловой коэффициент равен й = г(ч'/ар =- = (!гз — Ь~)/(рз — рз).
С лругой стороны, из соотношения (5) в точке рг следует, что в этой точке И'(рз) = (Иг(рз) — Ъ~)/(рз — р~). Следоватсльно, прямая 1ш касается адиабаты Гюгонио в точке (К, р ) Теперь надо заметить, что наклон касательной к адиабате Гюгонио может быть вычислен дифференцированием тождества а(И'(р),р) = Я(р), не.
из уравнения а~ 1И'(р) + ор — — б'(р), которое, согласно сделанному предположению, в точке рз принимает вид а~ И'(ра) - т„= О. Наклон жс касательной к иззптропс а(бз) вычисляется дифференцированием тождества а(к'(р), р) = Яз, что дает аь 1'~(рз) + о„= О. Сравнение этих соотношений показывает, что )г'(рз) = Ич(рз), т. с. что изэнтропа а(Я ) касается аднабаты Гюгонно, а значит, н прямой 1ш в точке (Инр ). Согласно лемме 2.3 это означает, что энтропия Я вдоль прялюй 1 з имеет в этой точке максимальное значение. Однако сели рассмотреть изменение функции Гюгонно (4.!9) вдоль какой-нибудь прямой 1, проходяшей черсз точку Я,р~) (напрнмер 1~з), то для сс дифференцирования получится выражснис вь Глквя !. Мы емкгичьсккя модель газовой динамики вообще не пересекает аг)наба»!к Гюгонио, либо пвресекаеп! ве только в одной точке.
Образно выражаясь, эюжно сказать еи)е, что вся аг)иабата Гюгонио»видца» из своего центра, Свойство звездности вы»1екает иепосредственно из соотношения (11) и лшьпы 2.3. Уместно отметить, что звездность адиабаты Гюгонио следует только из условий ! определения 2.2, более того, она справедлива и при выполнении лишь условий (2.)2) для «газа Вайля». Условия 2' определения 2.2 использовались лишь лля установления свойства монотонности адиабаты Гюгонио. Из полученных фактов следует качественная карт)н)а расположения адиабаты Гюгонио срсди семейства иззнтроп, показанная на рис, 1. У.Уч У, У» Рис. ! Итак, вдоль всей адиабаты Гюгоиио энтропия строго возрастает с ростом давления.
Важность этого результата обусловлена тем, что с его помощью можно однозначно установить знаки скачков давления и плотности в ударной волне. Для этой цели привлекается второй зикон териодинамики, согласно которому энтропия тсплоизолированной системы ие убывает. Так как в рассматривасмой здесь модели газовой динамики процессом теплопроволности пренсбрегастся, то каждую частицу газа следует считать теплоизолированной. Согласно прсдыдушсму, если такая частица прошла через ударную волну с ненулевой силой разрыва, то в ней энтропия обязательно изменилась. В силу второго закона термодинамики это изменение должно быть возрастанием.
Поэтому сели состояние 1 находится перед фронтом ударной волны, то обязательно должно быть Я > Яы и тогда из теоремы 3 следует, что рз > р! и рз > р,. Если же состояние 1 15. ()сз(овпык свой((вь викиных волн находится за фронтом, то в том состоянии 2, нз которого путем ударного псрсхода получилось состояние 1, необходимо должно быть Яз < д~ и, соотвстствснно, рз < р, и рз < р,. Итак, справедлив следующий вывод.
Следствие 4. Ударная волна всегда вызываеп( повышение давлезп(я и сжатие /уплотнение) газа; ударные волны разрсжсння невозможны. Теорема Цемплсна. Выражаемое следующей теоремой свойство ударного псрсхола фактически равносильно свойству возрастания энтропии вдоль алнабаты Гюгонио. В дальнейшем на исго будут делаться ссылки как на п(еорему Цемплена. Теорема 4. Абсолютная величина нарлиьзыип! составляю(чей скорости движения газа относи(пелы(о ударпод волнь( больше скорости звука пере(1 франтом и меньше скорости звука за франтом, т.
е. если состояние 1 — перед фронтом, то )пь, — 2)ь! > с(, !и„ь - 0п, < сз. (12) ДоклэлтидьСтись Рассматривается измснснис энтропии о' вдоль прямой р — рз = 1(Ъ' — 1() типа 1, проходящей через центр (1'(, рз) адиабаты Гюгонио и какую-либо се точку (1з.рз), гдс рз > ры так что й = =- (рз — р()/(1з — У() < О. Из соотношения (! !), справедливого вдоль ~акой прямой, следует, что (Ю = О в некоторой точке, лежащей строго внутри интервала с концами ()гз,р,) и (!'з.р ). В силу леммы 2.3 в этой точке Я достигает максимума.
Поэтому иа концах интервала должно быть ((ьЯ/(ЛГ)( < О, (((Я/((Ъ')з > О. (13) Дифференцирование по \' уравнения р = д(К Я) влазь прямой 1 дает соотношснис к = д~ -1- дв(((Я/(з'г'), откуда в силу того, что дк > О, и нсравенств (13) следуют неравенства Но формулы (2.13) и (2.1а) дают выражснис ди = -рзсг, в силу которого эти нсравснства равносильны следующим: з г Рз Р( з,з Рзсз > 1,, !. > Р(с( 48 глхвл !. ьлхткмх~ ичгскхя модклы лзовой динлмики Наконец, подстановка К = 1/Р~ (( = 1, 2) и учет уравнений сильного разрыва (4.16) приводят к неравенствам 2 Р~ Рз Р! 2 2 РзРз Р~ 3 сз > ="ня, с~ < Рз Ря Р~ Рз Рз Рь которые равносильны (12). Свойство определенности.
Следующий факт, называемый свойством олределелности ударной волны, нуждается в небольшом пояснении. Уравнения сильного разрыва для ударной волны (4.11) — (4.14) связывают семь величин (14) к„„р„р,,ив„рз,рз Рп. Говоряэ; что ударная волна определена, если все эти величины известны. Так как для них имеется всего три уравнения — (4.12), (4.13), (4.14), то четыре из семи величин (14) могут быть заданы, а оставшисся три должны находиться их этих уравнений.
Возникает вопрос, можно ли такое определение осуществить. В сущности, это есть вопрос о существовании и единственности ударного перехода при различных заданиях чстырсх из параметров (14). Здесь будет рассмотрено лишь такое заданис четырех параметров, когда движение по одну сторону от ударной волны извсстно, т.е. когда заданы параметры ()б) и„„ры ры и, разумеется, фиксировано некоторое направлснис нормали к поверхности ударной волны.
Ниже принимается, что нормаль п направлена в ту сторону, с которой находится заданное состояние (15). 11ри этом не предполагается, что движение (15) находится перед фронтом. Вопрос ставится так: будет ли ударный переход определен, если кроме значений (15) задать сще одну из оставшихся величин (14)? В частности, можно ли определить, на какой стороне фронта находится движение (15)? При такой постановке вопроса на величины (15) надо наложить некоторые необходимые ограничения. Данные (15) определяют адиабату Гюгонио с центром ((гыр,), где 1'~ = 1~р~ В силу (3) значение Рз не может быть задано произвольно.
Именно, если движение (15) находится перед фронтом, то должно быть (16) Р~ ( Рз < Р . =- 1/К а если движение (15) — за фронтолк го (17) б 5. Осповньл свойс.!вл юыгных волн 49 далее, так как точка (!гг, рг), в силу (4, ! б), лежит на прямой р-р! = -Рсоз()'-1!). г,г (18) и! л 'Р!(Р!( !го — Ъ'!). (10) Теорема 5. Дяя любого заданного движеная (15) существует один и тазько один ударный переход, в ко!порам одна из величин сиз, рг или Р„ имеет произвольно задаю!ое значение (с ограничения.ии (16), (17), (10), причеи этим заданием определяется и сторона фронта, с которой находи>лся движение (15).
Если же к движению (15) дополнительно задасш ветчина и„,, пю соотвел!ствующнй ударный переход всегда существует, но, в зависииости оп! абсолютной величины скачка !и„), возиожны одно или два реисепил. В последнем случае едшютвенное решение выделяется указаниеи стороны фронта, с которой находится движение (15). ДОклзктю!ьстВО. !!усть дополнительно к данным (15) задано рг. Сравнение р с р! и учет того, что ударные волны ведут к повышению давления, определяет, с какой стороны фронта находится лвижсние (15).
В обоих случаях по адиабате Гюгонио (4.20) однозначно определяется значение )гг = 1/рг, после чего можно найти Рл из уравнения (4. ! 6), а именно: Рг Р— Р! Р! Рг — Р! (20) В силу соглашения о нанравленнн нормали и в сторону движения (15), в формуле (20) следует взять знак «+», если движение (15) находится перед фронтом, и знак « -», если (15) — за фронтом. Накопал, и„, определяется из уравнения ргиг = рси!, что дает Рг (21) н тем самым случай заданного рг исчерпан. Если дополнитсльно к (15) задано рг, то сравненис Рг с р! определяет сторону фрон~а для движения (15), а по адиабате Гюгонно находится соосветствусошес значение рг (всегда сушествуюшес при выполнении огра- то в случае рг с рс, т. с. когда движение (15) находится за фронтом, значение и!г (связаннос с заданием Р„) нс может быть очень мало.
Его нижняя грань опрсзелястся из условия прохождения прямой (18) через точку ()го, О) пересечения адиабаты Гюгонно с осью р = О. Следовательно, в этом случае должно быть 50 1 лхнл !. Мхтвмлтическхя мОдель глзовой !!ннлмнкн ничений (!6) или (19)). После этого все делается так же, как н в первом случае, Пусть дополнительно к (15) задана скорость перемещения ударной волны Р„. Тогда можно сравнить ш — 脄— Р„со скоростью звука с, в движении (15), которая вычисляется по формуле сз — — — К~ 9ь % оз), и применить теорему 4.
Прн,о~' > с~ движение (15) находи~ся перед фронтом, а прн !оз~ с сг — за фронтом, В последнем случае надо проверить условие (19), и если оно выполнено, то, без дальнейших ограничений, можно утверждать, что система уравнений (18) н г1(К р: Кмрз) == !) нмсст единственное решение (Кз.рз), отличное от (Кыр~). Справедливость этого утверждения вытекает из следствия теоремы 3 (звездности алнабаты Гюгонио).
После этого величина п„з определястся по формуле (21). Наконец, пусть задана величина пгм Здссь для определения величин Кз,ря имеется система нз двух уравнений;(4.17) и (4.18) илн (р — р~)Я вЂ” К) = (и„, — н„,)'. Н(К,р; Кмр~) =- О. (22) Если начало координат на плоскости г!з(Кр) поместить в точку (Кы р~), то ветви гиперболы, описываемой первым уравнением (22), расположатся в гсх жс квадрантах П и 1Ч, в которых лежит аднабата Гюгонио. Из свойств адиабаты Гюгонню (теорема ! ) следусз; что во 11 квадранте всегда есть одна и только одна точка пересечения ее с гиперболой (22), а в 1т' квадрантс— илн одна такая точка, илн нн одной (рнс. 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
