Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При использовании настоящих лекций как основы для фактического чтения лекционного курса можно ориентироваться на то, что матсриал каждого параграфа приблизительно соответствует содержанию одной-двух лекций. Оз клонения возможны как за счет болсс детального и, значит, более длительного изложения отдельных вопросов, так и за счст сокращения некоторых элементов, которые могут быть уже известны аудитории. Этой схеме автор следовал как лектор в течение ряда лет в Новосибирском университете, глс обязательный лля специальности «прикладная математикаь годовой курс газовой динамики предваряется небольшим (полугодовым) общим введенисм в механику сплошных сред.
Конечно, подобная пропедевтика не обязательна, так как настоян(ис лекции содержат все необходимое для независимого изучения основ теоретичсской газовой динамики. От изучающего газовую динамику в рамках настоящих лекций требуется определенная общая математическая кулыура и навыки в матсматичсском анализе, развиваемые на первых двух курсах механико-математических и физических факультстов. Все специфические для газовой динамики понятия, тсрмины и обозначсния разъяснены непосредственно в текстс. Небольшос количество упражнений и задач, привсдснных в конце глав, имеет целью проверку усвосния матсриала и возможностей самостоятельного рсн1сния изучающим частных вопросов, органически примыкающих к основному тексту.
При полготовке настоящих лекций к изданию существенную помощь автору оказали сотрудники кафедры гидродинамики НГУ В. М. Тсшуков н В. М. Меньшиков, читающие курс лекций по газовой динамике в течение нескольких последних лет. Они вниматсльно просмотрели весь текст и приняли консгруктивное участие в отшлифовкс отдельных мест, а также в отборе упражнений и задач. Значитсльную работу по оформлению рукописи выполнила Э.З.Боровская. Всем упомянутым говарищам автор выражает свою искреннюю благодарность. Векторы выделяются полужирным шрифтом. Символ а Ь обозначает скалярное произведсние векторов а и Ь. Символ ЕЕ" лля любого и = = 1, 2, 3, ..
обозначает и-мерное свклидово аффиннос векторное пространство. Символ Л" (а) обозначаст пространство Ет" с общим вектором а, Координатное представление вектора а в ортогональном базисе записывается равенством а = (а, ..., а"); в эгом случае вместо Й" (а) пишстся также ЕЕ" (и'...., а"). Конец доказательства обозначается знаком. ° Внутри кажлого параграфа используется независимая нумерация формул, определений, тсорем, рисунков и т. д.
Г!ри ссылках на формулы, определения и г. д. нз другого параграфа впереди номсра формулы добавляется номер этого параграфа, 11апрнмср, ссылки «теорема 4 5и, «уравнение !11.14)и или «рис. 17.! Ои отсылают к теореме 5 из б4, уравнению (14) из 4! 1 или рис. 10 из я! 7. Ссылки на литературу даются в квадратных скобках. х х, !д г и ч'= .ц! р Р 1г.= Е/Р Я с М эЕГ г!!т а г1ег. А Основные обозначения время — радиус-вектор — координаты векторах — вектор скорое~и — координаты вектора ц — модуль скорости — давление — плотность — удельный объем энтропия удельная внутрснняя энергия — удельная энтальпия —.
скорость звука — число Маха — градиент функции à — дивергенция вектора а опредслитсль матрицы А ГЛАВА 1 Математическая модель газовой динамики Согласно общим физическим представлениям всякий ограниченный объем газа ш состоит из конечного числа движущихся молекул )з, (з 1, 2, ..., Х). Каждая молекула р, имеет массу т„вектор скорости и„ импульс (количество движения) ~п,п„кинстичсскую энсргию (1/2) гло ц, ~з и внутреннюю энергию е,.
При неизменности массы каждой молекулы ее импульс и энергия изменяются в результате столкновений (соударений) с другими молекулами, что придаст движению молскул в ансамбле ш свойство некоторой хаотичности, Основной задачей газовой динамики является изучение движения газа как целого и его взаимодействия с другими физическими телами. «Лобовой» способ математического описания эзого движения и взаимодействия, состоящий в использовании дифференциальных уравнений движения всех молекул, неприемлем нс только из-за очень большого их числа (в 1 сиз воздуха при нормальных условиях содержится 2,7 !О'о молекул), но также ввиду невозможности указать точные начальныс данные.
Поэтому в газовой динамике используется осредлеллое описание движения и взаимодействия. При таком подходе наиболее изученными являются две математические модели соток«нети ~соках и фелоиелологическая. В кинетичсской теории газов используется модель, основанная на статистическом (всроятностноги) описании поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели играсз уравнение Больцмаиа для функции распределения молекул по их положениям в просгранстве и по скоростям. Газокиистическая модель сушсстаенна и успешно применяется для описания поведения сильно разрсжснных газов.
В механике сплошных сред использустся фсиомснологичсская модель, связанная с представлением о средних всличипах, непрерывно распределенных по занимаемому газом обьему, а законы изменения средних величин устанавливаются на основе дополнительных предположений, согласуюшихся с обшими физичсскимн законами. Эта молель всссторонне апробирована практикой и приемлема для описания поведения лостаточно плотных газов. Она и принимается за основу в настоящих лекциях.
Гллвл !. Мхткчх!нивская мотель газовой диилыики Процедура формирования срслних величин такова. Основными физи«о-математическими характеристиками совокупности молекул в объеме ы являются зюсси газа и тл =-- ~ гг!,, ~.= ! иплульс (количество движения) н К=~~ щп, и лолиая энергия Пусть !ы есть величина объема ы. Тогда с помощью указанных величин определяются средняя плотность р,р —— гл / ~ьэ~, средняя скорость п,р — — К,Гп! и средняя внутренняя энергия х -ар — г ) й ~ ~ г ' 1=.! Отсюда масса„импульс и полная энергия газа в объеме ы выражаются через средние величины по формулам !и .= ~ ~~рвы К = ~ы,:ргргз,р, Феноменологическая теория отождествляет любой достаточно малый ($ю все еще содержащий достаточно большое число молекул) физический обьем газа ы с кматериальной точкойи, постулируя, что при стягивании к точкс объема ! введенные среднис величины имеют конечный прелел н тем самым порожда!от сплоп!ныс распределения плотности, вскгора скоРости и внутренней энергии.!1олучасмыс распределения н являются прел- метом изучения в математической модсяи газа как сплошной среды.
Эта модель основана па том, что в пределе формулы (*) для любого конечного объема ы дают выражения основных физико-математических харакгеристик в виде интегралов по объему ° от указанных средних величин. 14слью первой главы является установление н общий предварительный анализ основных законов, управляю!них упомянутыми распределениями. 16 Гллвл!. Млтгмл! ичгскля чк!!!алылзовой линлмики й 1. Интегральные законы сохранения Движсние газа происходит в трсхмерном пространстве Ес~(х) точек (векторов) х, причем состояние движения в точке х зависит от времени б Поэтому пространством событий газовой динамики является четырехмерное пространство Ес'(х. 1). Основные величины. Основными величинами, описывающими движение газа, являются и = ц(х,1), р = р(х.1), р = р(х,г), е =- (х,1).
вектор скорости !»!отпасть давление удельная внутренняя энергия Величина п(х,с) есть скорость частицы газа, занимающей положение х У ЕЕз в момент времсни Ь С другой стороны, само положение х частицы зависит от времени и скорость его изменения равна производной дх/дй Поэтому описанис движения частиц газа дастся дифференциальным уравнением дх/дс = м(х.1).
В координатой форме, когда в одной и той жс декартовой системе коор- динат х = (х, у, г) и ц = (и, щ !в), уравненис (1) может быть записано в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений дх/дс = и(х, у, г. 1), йу/сй = п(х. у, г, 1), да/да = ж(х, у, -, 1). х = х(йхо). Если вскторнос поле и задано в некоторой обяасти й с Есч, непрерывно в й и удовлетворяет условию Липшица по х, то область й однократно покрыта семейством интегральных кривых уравнения (1). Эти кривыс являются, таким образом, «мировыми линиями» частиц газа в пространстве событий ЕУ!(х,Е).
Их проекции на пространство Лз(х) называются траектория«и чагпшн. Следует иметь в виду, что тсрмин «траектории» часто употреблястся и для самих мировых линий частиц, что обы'шо нс приводит к нсдоразумсниям. Каждая интегральная кривая однозначно опрслелена условием прохождения через заданную точку хо С й в момент времени 1 = О, т.е. начальныл! условиеи х(0) .= хс. Поэтому рсшепис уравнения (1) зависит от начального значения хо и должно записываться в виде $ к Интггглльныа зьконы сохелнвния Это описание позволяет дать абстрактное опредсленис понятия «частица газа»: этим термином называется точка х Е ??', зависящая от времени ! по формуле (2) нри !риксированном хо.
??рн этом (2) истолковывается как уравнение движения частицы по ее траектории, Значения хс отличают одну частицу от другой н являются, таким образом, загранжевыми координата,Ч! Движущийся объем. Область и!(!) с зсз, состоящая прн вссх г из одних и тех же частиц, называется !)вижуи?имея обьеиом (иногда говорят— матсриальным объемом). Абстрактное понятие частицы газа является математическим эквивалентом представления о том достаточно малом физическом объеме газа, с помощью которого еще можно сформировать средние значения скорости, плотности и т.д. Движущийся объем сеть конечный объсм, содержащий в процессе движения вес врсмя одну и ту же порцию газа. В феноменологической теории каждый движущийся объем рассматривается как единое физическое тело, снабженное следующими физико-механическими характеристиками: масса ф рды, .л!! имнульс ~~~ рц сй !, ?!) Я (-',Е+л)м глс !) = ~ц~ сеть длина (модуль) вектора скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
