Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кроме того, переход к пределу в (**) при Р) — ос дает равенство 26 ГЛАВА !. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОЛЕЛЬ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Свойства аднабат. Послелуюшее изучение термодинамических соотношений проводится на плоскости )с~(Ъ', р) в квадранте Я = (О < (г < оо, О < р < оо), Кривые 5 = сопво называются адиабатами (или адиабатами Пуассона, или изэнтрснаии), Алиабата, вдоль которой 5 = 5о, обозначается а(5о).
Для кажлого 5о из интервача (5.,5") рассматривается область Я(5о), опрсделенная неравенством 5 > 5о; ес границей является адиабата а(5о). Лемма 2. Сенейства адиабат (а(5)) обладает следующими свайствами: (а) через любую тачку ((го, ро) е (В проходит одна и талька одна адиабата а(5о): (Ь) 5з < 5з, если и только если а(5з) С 1г(5з); (с) дл» любого 5о область чг(5о) строго выну»»а; (с(! »юная адиабата а(5о) имеет асимнтаты !г = О (лри р — оо) и р = О (лри И вЂ” э Ос).
ДоклэлтгГльсг!зо. В силу (!2, б) и (9) прн фиксированном Ъ' значение р = д()г, 5) монотонно возрастает вместе с 5, пробегая всеь интерваз (О, оо), откуда следует (а). Итак, сугцествуст опрелсленная на („ функция 5 = а(р',р), с которой выполнено тождество д(г;а((г,р)) = р. Его дифференцирование дает соотношсния (16) д~ ->дэви .= О, двар — — 1, откуда, в силу (!2), аи > О и ар > О. Значит, градиент 5 в точках адиабаты а(5о) направлен строго внутрь области Я(5о), что влечет свойство (Ь).
Да~се, строгая выпуклость области Я(5о) гарантируется неравенством (!2, с), Наконец, из (8, Ь, с) и определенности ( при всех р,5 следует, что р Ос равносильно р — эо, откуда, вместе с (9), вытекает свойство (6). Прямая с уравнением р =- И' + Ь называется прямой типа 1, если й > О, и прямой типа 1 , если Ь < О. Из леммы 2 следует, что вдоль любой прямой типа 1э энтропия 5 меняется монотонно, возрастая с ростом р (или \') от 5. до 5'. Напротив, для каждой прямой типа 1 сушсствует сдинственное значение 5о, при котором оиа является опорной прямой для выпуклой области (;З(5о), т,с, касательной к адиабате а(5о).
Пусть ((о.ро) — соотвстствуюшая точка касания. В этом случас поведение энтропии 5, рассматриваелюй на 1 как функция от (г согласно выражению 5 .= а((г. Ь(г ч Ь), описывается слслуюшим утверждением. 12. ТегмодинАчические сВОЙстВА 27 Лемма 3. На прямой типа ! энтро- р пия О имеет единственную стационарную пючку )г = 1 о, в которой Я достигает максимума, причем й8!й!'> О(1'< Го), (17) д5,7д < О(1 >1о) Доккзхтгп!ьство, Из леммы 2 следу- О р ет, что адиабата а(5н) при 5н > Яо не пересекает ! и что любая адиабата а(5') при Я' < Яо пересекает ! ровно в двух точках 1 и 2, причем !гг < (го и (гз > (го (рис.
1). Дифференцирование формулы 5 = а(!г. Ь(г -Р Ь) по (г даст гБ,Гг( ' = о! -!- )сар, или, в силу (!б), г(я)г()г = (й — ди)~дни Так как дв > О (см. (12, д), то неравенства (17) являются следствием свойства строгой выпуклости адиабаты а(5'), гарантируюшего, что (д~ )1 < й и (д~ )з > !с Действительно, если бы было, например, (д1 ) ~ = !с, то точка! была бы точкой псрсгиба для а(э'), в которой необходимо должно выполняться равенство д! иЯ, Я') = О, противоречашес (12, с). Термодинамические функции.
В дальнейшем будут играть важную роль некоторые термодинамичсскис функции, опрсдслясмые заданными уравнениями состояния нормального газа (7). Определение 3. Скоростью звука (термодинамической) называется величина с > О, заданная формулой (18) удельной энтальпией (или теплосодержанием) называется величина, заданная формулой 1 = е(К р) -'~ ргг .
(19) Из (18) и условия нормального газа (8,с) слсдует, что д(сэ)/др = =,)рр > О, т. с. выполнено свойство взаимно однозначного соответствия между скоростью звука с и плотносп ю р. Состояние вакуума (!5) также определяется равенством с = О. 28 глава 1. ма гамю ич явка я модялы хзо вой динамики Для политропного газа явные выражсния этих функций легко находятся из уравнений (5) и (б) и имеют внд с = — =-Эр~; 1= — - = — с. ЭР . 3 Р 1 з Р ' 'у — 1Р э — 1 (20) Полезно отмстить ешс, что если улсльная энтальпия 1 рассматривается как функция 1(р.
Я), то, в силу определения (18) и первого соотношения (2), для ес производной справедлива формула сй! сз др~. (21) ° В=сопи При решении задач газовой динамики часто встречается также безразмерная функция состояния газа, определенная формулой т '= РБа)Б (22) В силу свойства (8, с) в нормальном газе всегда т > О. Для политропного газа эта функция есть константа;т = ч — 1. В частности,с величинами (18) и (22) формулы (13) принимают вид д~ =- -рзг, д~ и =- (т а- 2)рэсз. (28) В силу (21) для величины т получается выражение с((сз) дг — = га. (24) : В=сопэс Величина рс называется илтедаисоян согласно (23) она характеризует, как говорят, «жесткость» среды.
Из (23) легко выводится формула д(рс) + г пр 2 (25) $ 3. Диффереицииззьные уравнения С точки зрения рассматриваемой математической модели движеииеи (или течением) газа в области й с: В" (х.)) называется набор функций ц, р. р., определенных в й и уловлстворяюших уравнениям (1.3). Опрелеленне 1. Движение газа называется нладкии в области й С г1», если функции ц, р, р, в непрерывны вместе с первыми производными всюду а й. З 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31 массы иапо принять / = р, сР = О.
Здесь (7) лает дифференциальное урав- нение рс + с)1ч(рп) = О, (8) которое называется уравнением нерозрывнослссс. Для закона сохранения импульса удобно ввести его проекции согласно представлению и = (и, и, и). рассматривая проекцию на ось х, следует положить / = ри и сР = (р, О, О), и тогда из (7) получится уравнение (ри)» + сйч(рии) + р, = О. После преобразования с учетом равенств (ри)с = Рис -' ирс. с)1ч(рип) = = ис(1ч(рп) + Рп 37и и уже найденного соотношения (8) это уравнение упрощается до следующего: рис+ рп 17и+р, = О, где индексом х обозначена частная производная д/дх. Аналогичное преобразование лвух других проекций (на оси у и г), после свертывания полученных трех скалярных уравнений в одно векторное, приводит к уравнению пс + и 17ц+ — 37р = О, 1 Р которое называется уравнением инлульсов (илн уравнением количества движения).
Наконец, для последнего из законов сохранения (1.3) следует взять / = р( -с1~ + Е) и сс = рц. В этом случае (7) дает уравнение 71 г (,2 р — с7 +е +с(1ч р -с7 ' е ц+рц =О. которое в силу (8) и (9) упрощается до следующего: ес+ и. 37Е+ — сйчп = О. р Р Дальнейшие преобразования связаны с использованием вытекающего из (8) выражения сйн и = — -1УР 1 Р после подстановки которого и замены 1' = 1/р получается 7)е+ рот = О. 32 Гллнч 1. млтемк! ичкскля модкзл ГА3ОВОЙ дннлмики Но в частице газа, движуглейся по траектории, выполняется первый закон термодинамики: Т'Р5 =-.
Р ч рРИ благодаря которому оказывается, что дифференциальное уравнение закона сохранения энергии вместе с (8) и (9) равносильно уравнению (10) Рр+ ргйт и = О, Рц-1 -'чр = О, 1 Р Р5 = О, (11) которая замыкается уравнением состояния р == Др, 5). Уравнения (! !) записаны а инвариантных векторных операциях. Для их подробной скалярной записи в декартовых координатах х = (х, р, а), и = (и, и, ш) используются, кроме (3), выражения операторов '7р = (р,.
ря, р,), гйи и = и, + оя ч- ш,. Поэтому в декартовых координатах система (1 1) имеет вид р, 1.ир,+ор„-.шр,+р(и,+ил'-ш,)= О, из т ии,. + сил — ' ши, + — р, = О, 1 р * о~ + ио, + ноя + шо, + -р„=. О, 1 (12) он + иш + щоя + шш, ь -р, =- О. 1 Р 5з + и5 + о5„+ ш5, = О, где индексами обозначены частные производные по соответствующим ко- ординатам, например: р~ =- др/дг, и, = ди/дх и т.д. Из формулы (3) для оператора Р видно, что он имсст смысл оператора дифференцирования по времени вдоль траектории частицы.
Поэтому сто называют операшорож дифференцирования в чаепшце (иногда говорят— операгпор полного дифференцировония) по б Свойство движения газа, выражаемое уравнением (10), можно сформулировать так: при гладком движении газа энтропия сохраняется в частице. Окончательно для гладкого движения получается следующая система дифференциальных уравнений газовой динамики: Э 3. !!иеаавенци*льные уРАвньпия В различных вопросах газовой динамики система (1!) может быль редставлсна в других равносильных формах.
Например, можно исключить энтропию 5, заметив, что Рр = ~„Рр + БРБ. Так как ~р —— сэ, то уравненис Р5 = О равносильно уравнению .Рр=с Рр Рц+ -т7р= О, 1 Р Рр + рс1ю ц = О, Рр+ р да)т и — О, (14) где величину рсэ следует рассматривать как функцию от р и р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
